【整合課件】7.5-正態(tài)分布

隨機(jī)變量及其分布第七章7.5正態(tài)分布課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)凝練1．通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量．2．通過具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征．3．了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.1．在理解正態(tài)分布概念過程中，提升數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)．2．利用求解正態(tài)分布問題過程中，增強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)案(1)正態(tài)曲線：對于給定函數(shù)f(x)＝__________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．我們稱f(x)為_______________，它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱___________.(2)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～___________．特別地，當(dāng)_______，_______時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．一、正態(tài)分布正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)曲線N(μ，σ2)μ＝0σ＝1(3)用正態(tài)分布求概率：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的_______，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的_______.面積面積(4)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①正態(tài)曲線在x軸的_______；②正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為____；③曲線是_______的，它關(guān)于直線_______對稱；④曲線在x＝μ處達(dá)到峰值__________；⑤當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．上方1單峰x＝μ

⑥μ決定正態(tài)曲線的位置：當(dāng)參數(shù)取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，如圖(1)所示；⑦σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“_______”，表示隨機(jī)變量的分布比較_______；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“_______”，表示隨機(jī)變量X的分布比較_______，如圖(2)所示．(5)正態(tài)分布的均值和方差：若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝____，D(X)＝_____.瘦高集中矮胖分散μ

σ2

如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝______，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__________，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________.盡管正態(tài)變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間___________________內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況幾乎_____________.在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值．二、“3σ原則”0.50.68270.95450.9973[μ－3σ，μ＋3σ]不可能發(fā)生1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)正態(tài)變量函數(shù)表述式中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的變化而變化的． ()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱． ()(4)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，σ越大，曲線越“矮胖”． ()答案(1)×(2)×(3)×(4)√3．(多選題)把一條正態(tài)曲線a沿著橫軸方向向右移動2個(gè)單位，得到一條新的曲線b，下列說法中正確的是 ()A．曲線b仍然是正態(tài)曲線B．曲線a和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C．以曲線b為正態(tài)分布的總體的方差比以曲線a為正態(tài)分布的總體的方差大2D．以曲線b為正態(tài)分布的總體的均值比以曲線a為正態(tài)分布的總體的均值大2答案ABD解析正態(tài)曲線向右平移2個(gè)單位，σ不發(fā)生變化，故C錯誤，其他正確．課堂探究案探究一正態(tài)曲線的圖象及其應(yīng)用答案A解析根據(jù)正態(tài)曲線的特征：對稱軸方程x＝μ，σ表示正態(tài)曲線的形狀．由圖可得，選A．(2)如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線，試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的均值和方差．答案D解析因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，所以可得μ1<μ2＝μ3，又因?yàn)棣业闹捣从车氖沁@組數(shù)據(jù)的集中情況，其σ值越小圖象越瘦長，σ值越大圖象越矮胖，所以可得σ1＝σ2<σ3． (1)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝ ()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2答案C解析∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，對稱軸是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝0.3．探究二服從正態(tài)分布變量的概率問題(2)在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,4)，求正態(tài)總體X在(－1,1)內(nèi)取值的概率．[變式]本例(2)中已知條件不變，試求P(X≥5)．[方法總結(jié)]利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827,0.9545,0.9973求解．[訓(xùn)練2]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，則P(X>4)＝ ()A．0.1585 B．0.1586C．0.1587 D．0.3413答案C 在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從一個(gè)正態(tài)分布，即X～N(90,100)．(1)試求考試成績X位于區(qū)間[70,110]內(nèi)的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績在[80,100]之間的考生大約有多少人？探究三正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用[方法總結(jié)]

解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率．在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想．[訓(xùn)練3]某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路線較短，但交通擁擠，所需時(shí)間(單位為分)服從正態(tài)分布N(50,102)；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時(shí)間服從正態(tài)分布N(60,42)．(1)若只有70分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線？(2)若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線？解

由已知X～N(50,102)，Y～N(60,42)．由正態(tài)分布的2σ區(qū)間性質(zhì)P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9545.然后解決問題的關(guān)鍵是：根據(jù)上述性質(zhì)得到如下結(jié)果：對X：μ＝50；σ＝10；2σ區(qū)間為(