江蘇省2024-2025學年八年級上學期期中專題復習最值問題專題訓練

2024-2025學年度江蘇省八年級上學期期中專題復習最值問題專題訓練一、單選題1．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點P是的平分線上一點，于點E，點F為射線上一點．若，則長的最小值是（

）

A．4 B．5.5 C．6 D．82．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，中，，，線段的兩個端點D、E分別在邊上滑動，且，若點M、N分別是的中點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．3.5 D．43．（23-24八年級上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，，面積是24，的垂直平分線分別交、邊于、點，若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．144．（23-24八年級上·江蘇南京·期中）如圖，等邊的邊長為4，過點B的直線，且與關于直線l對稱，D為線段上一動點，則的最小值是（

）

A．6 B．12 C．8 D．5．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，直線m是中邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點．若，，，則周長的最小值是（

）A．9 B．10 C． D．11二、填空題6．（23-24八年級上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，，．直線，是上一動點．則的最小值是．7．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，點D，E分別是邊上的兩點，連接，，已知，，則的最小值的平方是．8．（23-24八年級下·江蘇揚州·期中）如圖，已知正方形的邊長為，點是邊上一動點，連接，將繞點順時針旋轉到，連接，則的最小值是．

9．（22-23八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，為等邊的BC邊上的高，E、F分別為線段上的動點，且，若時，則的最小值為，若時，的最小值為．10．（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）中，為邊上的中線，N為的中點，M為上一動點，的最小值

11．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在等邊中，，點為高上的一動點，以為邊作等邊，連接，則的最小值的平方為．12．（23-24八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點是的中點，、在射線與射線上運動，且滿足，則在運動過程中面積的最小值為．13．（23-24八年級上·江蘇連云港·期中）如圖，在銳角中，AB＝＝10，，的平分線交于點，點，分別是AD和AB上的動點，則的最小值是．14．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，和都是等腰三角形，，，且，，點是線段上一動點，時，線段取得最小值．15．（23-24八年級上·江蘇南京·期中）已知，M是邊OA上的一個定點，且，N、P分別是邊、上的動點，則的最小值是．16．（23-24八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，，點分別在射線上，，，點P是直線上的一個動點，點P關于的對稱點為，點P關于的對稱點為，連接、、，當點P在直線上運動時，則面積的最小值是．17．（23-24八年級上·江蘇連云港·期中）如圖，中，，用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點D，，P為上一動點，則的最小值為．18．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在銳角中，，，，是邊上的一動點，點關于直線，的對稱點分別是，，連接，則的最小值為．

19．（23-24八年級上·江蘇南通·期中）如圖，在中，，，點是邊上的一個動點，連接，以為邊作，使，為的中點，連接，則線段的最小值為．20．（23-24八年級上·江蘇淮安·期中）已知等邊中，，，若點P在線段上運動時，的最小值為．21．（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習）如圖，中，，點D是邊上的動點，連接，以為邊在的左下方作等邊，連接，則點D在運動過程中，線段長度的最小值是．三、解答題22．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖，長方形中，，，點P在邊上，且不與點B、C重合；將沿直線AP折疊得到，點落在矩形的內部，延長交直線于點F．(1)證明；(2)當P為中點時，求的值；(3)連接，求周長的最小值；23．（22-23八年級上·江蘇無錫·期中）（1）在中，，，則__；（2）如圖1，在中，，點D在邊上且，求點D到邊的距離．（3）如圖2，在中，，點P是邊上一動點，將沿著過點P的直線翻折，使點C恰好落在邊上，求的最小值．24．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖1，直線．，垂足為O，直線l分別與射線、相交于點、，且，，連接．(1)求線段的長；(2)若點C為直線l上的一個動點，求點O到點C的距離的最小值；(3)如圖2，將沿直線l折疊，點O落在點D處，，垂足為點E，求的長；(4)若點F從點O出發(fā)，速度為，沿著射線方向運動，當點F的運動時間t為何值時，以為頂點的三角形是等腰三角形（直接寫出t的值）．25．（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，點為的中點，，過點E分別作、，垂足分別為，，連接，．

(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)；(3)若，，點分別為、上的動點，直接寫出的最小值．26．（23-24八年級上·江蘇連云港·期中）如圖，在中，，，，點P從A點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接．設點P運動的時間為t秒．

(1)的長為；(2)當t為秒時，線段的長最小，且長的最小值為；(3)當t為秒時，為等腰三角形．（請直接填空）27．（23-24八年級上·江蘇蘇州·期中）如圖：在中，，，，動點從出發(fā)沿射線以的速度運動，設運動時間為秒．(1)當______時，平分的面積．(2)當為等腰三角形時，求的值．(3)若點、分別為、上的動點，請直接寫出的最小值．28．（23-24八年級上·江蘇常州·期中）如圖，在中，，，點F是邊上一點，．用直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），并回答問題：(1)在邊上作點D，使得點D到邊的距離相等；(2)在射線上作點E，使得點E到點A、點C的距離相等；(3)若點P是射線上一個動點，當取最小值時，在圖中作出符合要求的點P，的最小值是．29．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）如圖，中，，，點O在邊上運動（O不與B、C重合），點D在線段上，連結，．點O運動時，始終滿足．(1)當時，判斷的形狀并說明理由；(2)當?shù)淖钚≈禐?時，此時；(3)在點O的運動過程中，的形狀是等腰三角形時，求此時的度數(shù)．30．（22-23八年級上·江蘇鹽城·期中）【問題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個共頂點的等邊三角形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，即．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，不妨稱之為“手拉手”基本圖形，當圖形中只有一個等邊三角形時，可嘗試在它的一個頂點作另一個等邊三角形，構造“手拉手”基本圖形，從而解決問題．【方法應用】

(1)等邊三角形中，是邊上一定點，是直線上一動點，以為一邊作等邊：等邊三角形，連接．①如圖2，若點在邊上，求證：．②如圖3，若點在邊的延長線上，線段、、之間的關系為__________（直接寫出結論）(2)如圖4，等腰中，，，，且交于點，以為邊作等邊，直線交直線于點，連接交于點，寫出、、之間的數(shù)量關系，并加以說明．(3)如圖5，在中，，，點是的中點，點是邊上的一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接，則是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒有，請說明理由參考答案1．C【詳解】解：∵直線外一點到直線的所有線段中，垂線段最短，∴時長有最小值，∵點P是的平分線上一點，于點E，，∴時，，∴長的最小值是6，故選C．2．A【詳解】解：如圖，連接、，中，，，，∵，點、分別是、的中點，∴，，∵，∴當、、在同一直線上時，取最小值，∴的最小值為：．故選：A．3．D【詳解】解：連接，．∵是等腰三角形，點D是邊的中點，∴，∴，解得，∵是線段的垂直平分線，∴點C關于直線的對稱點為點A，∴，∵，∴的長為的最小值，∴的周長最短．故選：D．4．C【詳解】解：如圖所示，連接，∵是邊長為4的等邊三角形，∴，∵與關于直線l對稱，∴也是邊長為4的等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴當三點共線時最小，即此時最小，最小值為，故選C．5．A【詳解】解：如圖，直線m與交于點D，∵直線m垂直平分，∴B、C關于直線m對稱，∴當P和D重合時，的值最小，最小值等于的長，∴周長的最小值是．故選：A6．5【詳解】如圖，延長至點G，使，連接交于點F，連接，

∵，，∴，即∴，∵，∴當A、D、G三點共線時，的值最小，即線段的長度，∵，，，∴∴,∴的值最小值為5，故答案為：5．7．136【詳解】過點作，并使得連接，則，∴，

∵在中，，∴，∵，∴，∴，∴，連接CF，即可得知CF的長度即為的最小值，也就是的最小值，∵，∴，，故答案為：．8．【詳解】解：連接，過點F作交延長線于點，

將繞點順時針旋轉到，，且，∴,，在和中，，，，，，，，點在的射線上運動，作點關于的對稱點，，，，，，是的角平分線，即點在的角平分線上運動，點在的延長線上，當三點共線時，最小，在中，，，的最小值為，故答案為：．9．【詳解】解：當時，取得最小值，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴；即的最小值為；如圖，作，且，連接交于M，連接，∵是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴當B、F、H共線時，如圖2，的值最小，即的長，此時是等腰直角三角形，且，∴，故答案為：；．10．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴垂直平分，∴點C與點Ａ關于對稱，連接交于M，則此時的值最小，且，

∵D為的中點，，∴，∴，過A作于點G，∵．∴∴∵N為的中點，∴∴∴，∴的最小值為，故答案為：11．3【詳解】解：是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，在與中，，，，作點D關于的對稱點G，連接，則，的最小值即為線段的長，，，，是等邊三角形，，，，，的最小值的平方為：，故答案為：3．12．【詳解】解：∵，，點是的中點，∴，，，且，在和中，，∴∴，，∵，∴，即：，∴為等腰直角三角形，當時，最短，的面積最小，此時，，故答案為：13．5【詳解】如圖，在上取一點，使，連接，是的平分線，，在和中，，，，，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當時，取得最小值，，，解得，即的最小值為，故答案為：．14．4【詳解】解：∵兩點之間，線段最短，∴當B，A，E三點共線時，線段取得最小值．∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴點D為的中點，∴，故答案為：4．15．4【詳解】解：作M關于的對稱點Q，過Q作于N，交于P，連接，如圖，∵作點M、點Q關于的對稱，∴，∴，根據垂線段最短可知：當時，最小，∴根據作圖可知此時：最小，且最小為，∵，作點M、點Q關于的對稱，，∴，，∴，∵，∴在中有：，∴，故答案為：4．16．18【詳解】解：如圖，連接，過點作交的延長線于，∵，且，∴，∵點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，∴的面積為，由垂線段最短可知，當點與點重合時，取得最小值，最小值為，面積的最小值是故答案為：18．17．5【詳解】解：當時，根據垂線段最短可知，此時的值最?。勺鲌D可知：平分，，，，，的最小值為5，故答案為：5．18．8【詳解】解：連接，，，，，如圖所示：

因為點關于直線，的對稱點分別是，，所以是的垂直平分線，是的垂直平分線，則，，，即，所以是等邊三角形，則，當時，取最小值，因為，，所以當時，取最小值，因為，上的高，所以的最小值，故答案為：8．19．2【詳解】解：如圖，取中點，連接，，，點是中點，點是中點，∴，，，∴，∴，，，，在和中，，≌，∴，有最小值，也有最小值，當時，有最小值，，，，∴，線段的最小值為．故答案為：．20．12【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過點P作于點E，如圖所示：∴，∴，∴當取最小時，即為最小，∴當點B、P、E三點共線時且時最小，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∴最小值為；故答案為：12．21．3【詳解】解：如圖，取的中點Q，連接，

∵，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當時，最小，此時的值最小，在中，∵，∴，∴的最小值為3．故答案為：322．(1)證明見解析(2)(3)12【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形，∴，∴，由折疊的性質可知，∴，∴（2）解：∵P是的中點，∴，由折疊的性質可知，設，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴；（3）解：由題意得，∴要使的周長最小，即要使最小，∴當三點共線時最小，連接，在中，由勾股定理得，∴，∴的周長最小值為；23．（1）12；（2）；（3）3【詳解】（1）過點A作，于點E，∵，，∴.在中，，∴.故答案為：12；（2）過點D作，交的延長線于點F，過點A作，垂足為E，連接，∵，，∴，∴在中，∴.∵，∴，∴，∴；（3）設點C落在AB上的G點，由翻折得，所以當時最小.設則，，∴，∴，∴，∴的最小值為3．24．(1)(2)(3)(4)或或【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：如圖，過O作于點C，此時最小．，，故點O到點C的距離的最小值為：；（3）解：連接交于點C，如圖所示：由折疊的性質可知，，垂直平分，，，，設，則，在中，，在中，，，解得：，；（4）解：①如圖，當時，是等腰三角形，，，點F速度為，運動的時間；②如圖，當時，是等腰三角形，由（1）可知，，，，，點F速度為，運動的時間；③如圖，當時，是等腰三角形，設，則，在中，，，解得：，即，點F速度為，運動的時間；綜上可知，當點F的運動時間t為或或時，以為頂點的三角形是等腰三角形．25．(1)見解析；(2)；(3)【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵、，∴∵為的中點，，∴DE垂直平分，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：∵、，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵平分，、，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，解得：，即，∴，過點作于點，過點作于點，如圖所示：

∵，∴四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴設，，則，，在和中，由根據勾股定理得：，∴，，聯(lián)立整理得：，解得：，（舍去），∴，∴，作點關于的對稱點，連接，，如圖所示，∵為的平分線，∴點關于的對稱點一定在上，根據對稱性可知，，∴，∵兩點之間線段最短，∴，∵垂線段最短，∴，∴，∴的最小值為的長，即的最小值為．26．(1)10(2)3.6；4.8(3)2或5【詳解】（1）解：，，，，故答案為：10；（2）解：當點P運動到，時，線段的長最小，如圖，

此時，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴．∴當t為3.6秒時，線段的長最小，且長的最小值為4.8．（3）解：①當時，，；②當時，即，，，，，，；③在線段上移動，所以，故不存在；綜上所述，或5．27．(1)(2)或或(3)【詳解】（1）解：由題意，得：當為中點時，平分的面積，∵，，，∴，∴，∴；故答案為：；（2）解：①當時，如圖：∵，∴，在中：，即：，解得：；②當時，如圖：即：，解得：；③當時，如圖：∵，∴，∴，即：，解得：