2.4曲線與方程（講義6大題型）（原卷版）

2.4曲線與方程1、結(jié)合已學(xué)過的曲線與方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2、理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；3、通過具體的實(shí)例掌握求曲線方程的一般步驟，會(huì)求曲線的方程．知識(shí)點(diǎn)1曲線的方程與方程的曲線1、曲線與方程定義一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線與方程之間具有如下關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．則稱曲線為方程的曲線，方程為曲線的方程．【注意】（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．它闡明的含義是曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)．（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．它闡明的含義是適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上，即沒有遺漏的點(diǎn)．所以兩個(gè)條件充分保證了曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不多，一個(gè)也不少，即曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．2、兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）已知曲線和曲線，求這兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到．（2）直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷直線與曲線的交點(diǎn)問題，一般通過聯(lián)立兩方程消元得到關(guān)于或的方程．若是一元二次方程，則根據(jù)一元二次方程根的判別式來判斷（有時(shí)也可利用數(shù)形結(jié)合來判斷）：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，由兩個(gè)交點(diǎn)；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，無交點(diǎn)；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與曲線相切．知識(shí)點(diǎn)2由曲線求它的方程1、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（如果沒有平面直角坐標(biāo)系，需先建立）；（2）寫出要滿足的幾何條件，并將該幾何條件用的坐標(biāo)表示出來；（3）化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)所得方程是否為的軌跡方程．2、建立坐標(biāo)系的基本原則（1）讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上；（2）盡可能地利用圖形的對(duì)稱性,使對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求曲線方程的首要一步,應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，如中心對(duì)稱圖形，可利用對(duì)稱中心為原點(diǎn)建系；軸對(duì)稱圖形以對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建系；條件中有直角,可將兩直角邊作為坐標(biāo)軸建系等．知識(shí)點(diǎn)3軌跡與軌跡方程1、軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡方程是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）.2、“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別（1）“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小（范圍）等特征；（2）“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍．【常用解題技巧】1、曲線與方程的關(guān)系判定曲線的方程是的充分必要條件是曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，并且以方程的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，這是識(shí)別曲線和方程關(guān)系的基本依據(jù)．曲線與方程建立了對(duì)應(yīng)，即把點(diǎn)和坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)過渡到曲線與方程的對(duì)應(yīng)，因此判斷曲線與方程的關(guān)系時(shí)，需同時(shí)判斷以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上及曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是否都是方程的解．2、判斷點(diǎn)與曲線關(guān)系的方法（1）從點(diǎn)的坐標(biāo)角度若點(diǎn)在方程所表示的曲線C上，則；或若，則點(diǎn)不在方程表示的曲線C上．（2）從方程的解的角度若，則點(diǎn)在方程所表示的曲線C上；或若點(diǎn)不在方程表示的曲線C上，則．3、求曲線方程的常用方法（1）直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，根據(jù)幾何條件尋求之間的關(guān)系式．（2）定義法：如果所給幾何條件正好符合已學(xué)曲線的定義,則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．（3）代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)．具體地說，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)，并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線的方程，由此可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系．（4）參數(shù)法：如果問題中所求動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件不易得出，也沒有明顯的相關(guān)點(diǎn),但能發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)受某個(gè)變量(像角度、斜率、比值、截距、時(shí)間、速度等)的影響，此時(shí)，可先建立分別與這個(gè)變量的關(guān)系，然后將該變量(參數(shù))消去,即可得到的關(guān)系式．4、設(shè)曲線C的方程為：，一般有如下規(guī)律：①如果以代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；②如果以代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；③如果同時(shí)以代替x，以代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．例：曲線C的方程為：，則曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．題型一曲線與方程的概念【例1】曲線的方程是：，那么是點(diǎn)在曲線上的（

）A．充要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】“點(diǎn)M在曲線上”是“點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式12】“點(diǎn)M在曲線上”是“點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式13】（2324高二上·上?！て谀┮阎鴺?biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線C上，則下列命題中正確的是（

）A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程C．凡坐標(biāo)不適合方程的點(diǎn)都不在曲線C上D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合方程題型二點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系【例2】下列各點(diǎn)中，在曲線上的點(diǎn)是A．（2，2） B．（4，3） C．（3，10） D．（2，5）【變式21】（2223高二上·安徽·期末）方程表示的圖形經(jīng)過點(diǎn)，，，中的（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式22】設(shè)曲線和的交點(diǎn)為P，那么曲線必定（）A．經(jīng)過P點(diǎn) B．經(jīng)過原點(diǎn)C．不一定經(jīng)過P點(diǎn) D．經(jīng)過P點(diǎn)和原點(diǎn)【變式23】若點(diǎn)在方程的曲線上，則．題型三由方程研究曲線的圖形【例3】（2223高二下·四川南充·月考）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（

）A．與 B．與C．與 D．與【變式31】（2324高二上·福建莆田·期中）設(shè)方程表示的曲線是（

）A．一個(gè)圓和一條直線 B．一個(gè)圓和一條射線C．一個(gè)圓 D．一條直線【變式32】（2324高二下·貴州六盤水·期末）關(guān)于的方程對(duì)應(yīng)的曲線不可能是（

）A．B．C． D．【變式33】（2223高三上·重慶·月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的方程為，則曲線圍成的圖形面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12題型四由方程研究曲線的性質(zhì)【例4】（2324高二下·上?！て谥校╆P(guān)于方程所表示的曲線，下列說法正確的是（

）A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱 C．關(guān)于對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱【變式41】（2324高二上·廣東中山·月考）（多選）下列四個(gè)方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱的是（

）A． B．C． D．【變式42】（2324高二上·北京海淀·期中）兩個(gè)曲線方程：，：，我們可以推斷出它們的性質(zhì)，其中錯(cuò)誤的是（

）A．曲線關(guān)于y＝x對(duì)稱B．曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積D．曲線與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積【變式43】（2223高二上·上海閔行·期中）關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的是（

）①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線中；③曲線是不封閉圖形，且它與圓有四個(gè)公共點(diǎn)；④曲線與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形.A．①② B．①②③ C．①③④ D．②④題型五兩曲線交點(diǎn)問題【例5】曲線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式51】已知曲線與曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式52】（2223高二上·遼寧沈陽·期末）方程有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式53】（2223高二上·北京海淀·月考）已知曲線與曲線恰好有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型六求平面軌跡方程【例6】（2324高二上·河南開封·期中）到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于的點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式61】（2324高二上·江西上饒·）已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（