第10講勾股定理逆定理及簡單應(yīng)用（3種題型）（原卷版）

第10講勾股定理逆定理及簡單應(yīng)用（3種題型）1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．一．勾股定理的逆定理1．（2022秋?句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝252．（2022秋?阜寧縣期末）下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．（2022秋?大豐區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，點(diǎn)D是Rt△ABC外一點(diǎn)，連接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的長；（2）求證：△BCD是直角三角形．4．（2022秋?南通期末）下列各組數(shù)中能作為直角三角形三邊長度的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，85．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，已知線段a，b和點(diǎn)P，且線段的端點(diǎn)和點(diǎn)P都在格點(diǎn)上，在網(wǎng)格中找一格點(diǎn)Q，使線段a，b，PQ恰好能構(gòu)成直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)Q有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（2022秋?興化市期末）一個三角形三邊長為15、20、25，則三角形的面積為．7．（2022秋?丹徒區(qū)期末）若三角形的邊長分別為5cm、12cm、13cm，則它的最長邊上的中線為cm．8．（2022秋?邗江區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：（1）BD的長；（2）△ABC的面積．9．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求證：∠BAC＝90°；（2）點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．二．勾股數(shù)10．（2022秋?泰興市期末）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52 C．3，4，5 D．11．（2022秋?宿豫區(qū)期中）下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，6112．（2022秋?鹽都區(qū)期中）觀察下列勾股數(shù)組：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一組勾股數(shù)，則根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）13．（2022秋?銅山區(qū)期中）若m、n為整數(shù)，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．請你證明a、b、c為勾股數(shù)．14．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）如果直角三角形的三邊的長都是正整數(shù)，這樣的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)組．我國清代數(shù)學(xué)家羅士琳對勾股數(shù)組進(jìn)行了深入研究，提出了各種有關(guān)公式400多個．他提出：當(dāng)m，n為正整數(shù)，且m＞n時，m2﹣n2，2mn，m2+n2為一組勾股數(shù)組，直到現(xiàn)在，人們都普遍采用他的這一公式．（1）除勾股數(shù)3，4，5外，請再寫出兩組勾股數(shù)組，；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，請你證明x，y，z為一組勾股數(shù)．15．（2022秋?盱眙縣期末）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；（2）若第一個數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和，請用所學(xué)知識說明它們是一組勾股數(shù)．16．（2022秋?高郵市期中）課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、、；（2）若第一個數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律：4＝，12＝，24＝……，則用含a的代數(shù)式表示每組第二個數(shù)和第三個數(shù)分別為、；（3）用所學(xué)知識加以說明．17．（2022秋?灌南縣期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請你觀察下列三組勾股數(shù)：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．當(dāng)勾為3時，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；當(dāng)勾為5時，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；當(dāng)勾為7時，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝，弦＝，則據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是．（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整數(shù)．求證：以a，b，c為邊的△ABC是直角三角形．18．（2022秋?江都區(qū)期中）同學(xué)們都知道，凡是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，稱之為“勾股數(shù)”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）請你寫出另外兩組勾股數(shù)：6，，；7，，；（2）清朝的揚(yáng)州籍?dāng)?shù)學(xué)家羅士琳提出了四個構(gòu)造勾股數(shù)的法則，其中有兩個法則如下：（I）如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)（Ⅱ）如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，，是一組勾股數(shù)①如果在一組勾股數(shù)中，其中有一個數(shù)為12，根據(jù)法則（I）求出另外兩個數(shù)；②請你任選其中一個法則證明它的正確性．三．勾股定理的應(yīng)用19．（2022秋?句容市期末）在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢觸地面處離竹根3尺），問：折者高尺．20．（2022秋?無錫期末）如圖，長為2.5m的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.5m，則梯子頂端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m21．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）一種盛飲料的圓柱形杯，測得內(nèi)部底面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管放進(jìn)杯里（如圖所示），杯口外面至少要露出3.6cm，為節(jié)省材料，管長a的取值范圍是cm．22．（2022秋?江都區(qū)期末）看著冉冉升起的五星紅旗，你們是否想過旗桿到底有多高呢？某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量旗桿高度，進(jìn)行以下操作：如圖1，先將升旗的繩子拉到旗桿底端，發(fā)現(xiàn)繩子末端剛好接觸到地面；如圖2，再將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)繩子末端距離地面2m．請根據(jù)以上測量情況，計算旗桿的高度．23．（2022秋?泰興市期末）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實際沿著BC航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米，求該河的寬度AB．（兩岸可近似看作平行）24．（2022秋?徐州期末）《九章算術(shù)》卷九中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木柱根部8尺處時繩索用盡，問繩索長是多少？25．（2022秋?常州期末）數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子沿旗桿垂到地面時，測得多出部分BC的長為2m（如圖1），再將繩子拉直（如圖2），測得繩子末端的位置D到旗桿底部B的距離為6m，求旗桿AB的長．26．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A處的居民樓與馬路相距14m，當(dāng)居民樓與馬路上行駛的汽車距離小于50m時就會受到噪聲污染，若汽車以15m/s的速度行駛經(jīng)過，那么會給這棟居民樓帶來多長時間的噪聲污染？27．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止在AD的位置時，踏板離地的垂直高度為0.6m，將秋千AD往前推送3m，到達(dá)AB的位置，此時，秋千的踏板離地的垂直高度為1.6m，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．（1）根據(jù)題意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長度．（3）如果想要踏板離地的垂直高度為2.6m時，需要將秋千AD往前推送m．28．（2022秋?興化市期末）如圖是一個長方形的大門，小強(qiáng)拿著一根竹竿要通過大門．他把竹竿豎放，發(fā)現(xiàn)竹竿比大門高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大門的對角線的長．已知大門寬4尺，請求出竹竿的長．29．（2022秋?亭湖區(qū)期末）一個零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計算一下這塊鋼板的面積嗎？一．選擇題1．（2023?廣陵區(qū)一模）如圖，有四個三角形，各有一邊長為6，一邊長為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是（）A． B． C． D．2．（2022秋?如皋市校級期末）以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．4，5，6 C．6，12，13 D．9，12，153．（2022秋?相城區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．AD為△ABC的角平分線，CD的長度為（）A．2 B． C．3 D．4．（2022秋?邗江區(qū)期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．0.3，0.4，0.5 B．8，15，17 C． D．3，4，45．（2022秋?句容市期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件能判斷△ABC不是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a(chǎn)2＝（b+c）（b﹣c） C．a(chǎn)＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a(chǎn)＝9，b＝23，c＝256．（2021秋?泗陽縣期中）下列各組數(shù)中，哪一組是勾股數(shù)（）A．1，1，2 B．6，8，10 C．32，42，52 D．7，12，15二．填空題7．（2022秋?天寧區(qū)校級期中）【教材例題】判斷由線段a．b，c組成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．解：因為132+142＝169+196＝365，152＝225．所以132+142≠152，根據(jù)，這個三角形不是直角三角形．8．（2022秋?沭陽縣期中）已知a、b、c是一個三角形的三邊長，如果滿足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，則這個三角形的面積為．9．（2022秋?秦淮區(qū)校級月考）若三角形三邊滿足a：b：c＝3：4：5，且三角形周長為24cm，則這個三角形最長邊上的高為．10．（2022秋?江陰市期中）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直（如圖所示），試問繩索有多長？”．根據(jù)題意求出繩索的長為尺．11．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）《九章算術(shù)》中記載著這樣一個問題：已知甲乙兩人同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為每單位時間走7步，乙的速度為每單位時間走3步，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：如圖，設(shè)甲乙兩人從出發(fā)到相遇用了x個單位時間．根據(jù)勾股定理可列得方程為．12．（2022秋?句容市期末）已知△ABC的三邊長分別為3、4、5，則最長邊上的中線長為．13．（2022秋?金湖縣期中）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則△ABC的外角∠ACD等于°．14．（2022秋?連云港期中）如圖，一根竹子原高10尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高為x尺，則可列方程為．（不用化簡）15．（2021秋?邳州市期中）觀察下列各組勾股數(shù)：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此規(guī)律，將第n組勾股數(shù)按從小到大的順序排列，排在中間的數(shù)，用含n的代數(shù)式可表示為．16．（2022秋?新吳區(qū)期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目的大致意思是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都是1尺（1尺＝10寸），則AB的長是幾寸？若設(shè)圖中單扇門的寬AD＝x寸，則可列方程為：．三．解答題17．（2022秋?贛榆區(qū)校級月考）如圖2，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．樂樂在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點(diǎn)A時，過點(diǎn)A作AC⊥BD于C，點(diǎn)A到地面的距離AE＝1.5m（AE＝CD），當(dāng)他從A處擺動到A'處時，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足為F．求A′到BD的距離A'F．18．（2022秋?泗洪縣期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…；翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC＝1尺）將它往前推進(jìn)兩步（EB＝10尺），此時踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索OB的長度．18．（2022秋?漣水縣期中）八年級的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得如圖所示風(fēng)箏的高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC＝15米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.6米．求風(fēng)箏的高度CE．20．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，貨車卸貨時支架側(cè)面是Rt△ABC，已知AB＝2.5m，AC＝2m．求BC的長．21．（2022秋?江都區(qū)期中）如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量．小明測得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求這塊土地的面積．22．（2022秋?漣水縣期中）如圖，已知CD⊥AB，垂足為D，BD＝1，CD＝2，AD＝4．求證：∠ACB＝90°．23．（2021秋?句容市期中）觀察下列各組勾股數(shù)有哪些規(guī)律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．請解答：（1）當(dāng)a＝11時，求b，c的值；（2）判斷21，220，221是否為一組勾股數(shù)？若是，請說明理由．24．（2020秋?盱眙縣期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論．像3、4、5這樣為三邊長能構(gòu)成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【應(yīng)用舉例】觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，當(dāng)勾為3時，股4＝，弦5＝；當(dāng)勾為5時，股12＝，弦13＝；當(dāng)勾為7時，股24＝，弦25＝．請仿照上面三組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝，弦＝．【問題解決】（2）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖也提出了構(gòu)造勾股數(shù)組的公式．具體表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m為大于1的整數(shù)），則a、b、c為勾股數(shù)．請你證明柏拉圖公式的正確性；（3）畢達(dá)哥拉斯在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)弦與股的差為1，若用2a2+2a+1（a為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個數(shù)，請你找出另外兩個數(shù)的表達(dá)式分別是多少？25．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2，求整式B．聯(lián)想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中B的值：直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ/8勾股數(shù)組Ⅱ35/26．（2022秋?蘇州期中）“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點(diǎn)相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應(yīng)建在距A多少千米處？并判斷此時△DEC的形狀，請說明理由．27．（2022秋?梁溪區(qū)期中）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風(fēng)箏沿CD方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？28．（2021秋?江都區(qū)校級月考）滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．（1）請把下列三組勾股數(shù)補(bǔ)充完整：①，8，10②5，，13③8，15，．（2）小敏發(fā)現(xiàn)，很多已經(jīng)約去公因數(shù)的勾股數(shù)組中，都有一個數(shù)是偶數(shù)，如果將它寫成2mn，那么另外兩個數(shù)可以寫成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．請你幫小敏證明這三個數(shù)2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股數(shù)組．（3）如果21，72，75是滿足上述小敏發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的勾股數(shù)組，求m+n的值．29．（2021秋?東臺市月考）一架方梯AB長25米，如圖所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端離墻7米，這個梯子的頂端距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？30．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）“村村通”公路是我國的一項重要的民生工程，如圖，A，B，C三個村都分別修建了一條互通公路，其中AB＝BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判斷△ACM的形狀，并說明理由；（2）求公路AB的長．31．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）國慶節(jié)前，學(xué)校開展藝術(shù)節(jié)活動，小明站在距離教學(xué)樓（CD）35米的A處，操控一架無人機(jī)進(jìn)行攝像，已知無人機(jī)在D點(diǎn)處顯示的高度為距離地面30米，隨后無人機(jī)沿直線勻速飛行到點(diǎn)E處懸停拍攝，此時顯示距離地面10米，隨后又沿著直線飛行到點(diǎn)B處懸停拍攝，此時正好位于小明的頭項正上方（AB∥CD），且顯示距離地面25米，已知無人機(jī)從點(diǎn)D勻速飛行到點(diǎn)E所用時間與它從點(diǎn)E勻速飛行到點(diǎn)B所用時間相同，你能求出無人機(jī)從點(diǎn)D到點(diǎn)E再到點(diǎn)B一共飛行了多少米嗎？請寫出相應(yīng)計算過程．32．（2022秋?高新區(qū)校級月考）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20kn，?？空続、B之間的距離為25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長；（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過D點(diǎn)到B處的路程是多少？33．（2022秋?連云港期中）如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的AC上，這時點(diǎn)B到墻底端C的距離BC為0.7米．（1）求AC的值；（2）如果梯子的頂端沿墻面下滑0.4米，那么點(diǎn)B是否也向外移動0.4米？請通過計算說明．34．（2022秋?玄武區(qū)期中）如圖，某人從A地到B地共有三條路可選，第一條路是從A到B，AB為10米，第二條路是從A經(jīng)過C到達(dá)B地，AC為8米，BC為6米，第三條路是從A經(jīng)過D地到B地共行走26米，若C、B、D剛好在一條直線上．（1）求證：∠C＝90°；（2）求AD和BD的長．35．（2022秋?東?？h期中）在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為100元，試計算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？一．選擇題1．下列各組數(shù)不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，12．如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長為（）A．1m B．2m C．3m D．4m3．一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米4．在《九章算術(shù)》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.555．如圖，有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺二．填空題6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，則△ABD的面積是．7．若三角形的邊長分別為6、8、10，則它的最長邊上的中線為．8．如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行