2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.1歸納推理學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE§1歸納與類比1．1歸納推理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、歸納推理的定義依據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中________都有這種屬性．我們將這種推理方式稱為歸納推理．三、歸納推理的特征歸納推理是由部分到________，由個(gè)別到________的推理．[雙基自測]1．?dāng)?shù)列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38 B．39C．40 D．412．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集個(gè)數(shù)歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個(gè)數(shù)為()A．n B．n＋1C．2n D．2n－13．在數(shù)列{an}中，已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，則a33為()A．3 B．－3C．6 D．－64．視察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，則可歸納出________．5．如圖(1)，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向三角形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖(2)，如此接著下去，得圖(3)…試用n表示出第(n)個(gè)圖形的邊數(shù)an＝________.[自主梳理]一、合情演繹二、每一個(gè)事物三、整體一般[雙基自測]1．C前6項(xiàng)從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.2．C由前三個(gè)集合子集的個(gè)數(shù)分別為21,22,23，可歸納得出{a1，a2，…，an}的子集個(gè)數(shù)為2n.3．A由題意可得，a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，歸納出每6項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，則a33＝a3＝3.4．1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1)(n∈N＋)利用歸納推理，不等號的右邊的分母與左邊的最終一項(xiàng)的分母的算術(shù)平方根相同，而右邊的分子的改變遵循規(guī)律2n＋1，n為正整數(shù)．5．3×4n－1視察圖形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{an}是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，故an＝3×4n－1.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁探究一數(shù)、式中的歸納推理[例1]已知：1＞eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＞1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＞eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)＞2；….請你歸納出一個(gè)最貼切的一般性結(jié)論.[解析]1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左邊最終一項(xiàng)的分母為2n－1，而不等式右端依次分別為：eq\f(1,2)，eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，…，eq\f(n,2).歸納得一般結(jié)論：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(n,2)(n∈N＋)．依據(jù)給出的數(shù)與式，歸納一般結(jié)論的思路：(1)視察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征，如數(shù)、式與符號的關(guān)系，代數(shù)式的相同或相像之處等；(2)提煉出數(shù)、式的改變規(guī)律；(3)運(yùn)用歸納推理寫出一般結(jié)論．1．視察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為________．解析：由前三個(gè)式子可以得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號的左邊是從1起先的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次多1，等號的右邊是一個(gè)正整數(shù)的平方，后一個(gè)正整數(shù)依次比前一個(gè)大3,4，….因此，第五個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二幾何圖形中的歸納推理[例2]有兩種花色的正六邊形地面磚．按下圖的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案，則第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A．26 B．31C．32 D．36[解析]法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個(gè)有菱形紋正六邊形圍繞外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊有菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的有菱形紋正六邊形)，故第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為6＋5×(6－1)＝31.[答案]B圖形的歸納推理問題，可從圖形的改變規(guī)律入手求解，一般探討圖形中點(diǎn)、線或面等的增加改變數(shù)值，結(jié)合數(shù)列的學(xué)問得出規(guī)律．2．(1)如圖(a)(b)(c)(d)為四個(gè)平面圖形．?dāng)?shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們分別圍成了多少個(gè)區(qū)域？請將結(jié)果填入下表(按填好的例子做)；頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)463(b)(c)(d)(2)視察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系；(3)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有1005個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了1005個(gè)區(qū)域，試依據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)圖形有多少條邊．解析：(1)填表如下：頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)463(b)8125(c)694(d)10156(2)由該表可以看出，所給四個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間有下述關(guān)系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我們可以推斷：任何平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間都有下述關(guān)系：頂點(diǎn)數(shù)＋區(qū)域數(shù)－邊數(shù)＝1.(3)由上面所給的關(guān)系，可知所求平面圖形的邊數(shù)．邊數(shù)＝頂點(diǎn)數(shù)＋區(qū)域數(shù)－1＝1005＋1005－1＝2009.對歸納推理的特征駕馭不精確致誤[例3]對隨意正整數(shù)n，猜想2n與n2的大小關(guān)系是________．[解析]當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12；當(dāng)n＝2時(shí)，22＝22；當(dāng)n＝3時(shí)，23＜32；當(dāng)n＝4時(shí)，24＝42；當(dāng)n＝5時(shí)，25＞52，當(dāng)n＝6時(shí)，26＞62；所以可以猜想當(dāng)n＝3時(shí)，2n＜n2；當(dāng)n∈N＋且n≠3時(shí)，2n≥n2.[答案]當(dāng)n＝3時(shí)，2n＜n2；當(dāng)n