2024-2025學年高中數學第一章集合1.3.1交集與并集學案含解析北師大版必修1

PAGE§3集合的基本運算3.1交集與并集內容標準學科素養(yǎng)1.理解兩個集合的并集和交集的定義，明確數學中的“或”“且”的含義．2.借助于Venn圖或數軸，會求兩個集合的交集和并集．3.能夠利用交集、并集的性質解決有關參數問題.精確分類探討提升數學運算嫻熟數形結合授課提示：對應學生用書第8頁[基礎相識]學問點一交集的概念eq\a\vs4\al(預習教材P11－12，思索并完成以下問題)(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當兩個集合沒有公共元素時，這兩個集合沒有交集．()(2)若A∩B＝?，則A＝B＝?.()提示：(1)×(2)×[(1)不正確．當兩個集合沒有公共元素時，這兩個集合的交集為空集．(2)不正確．A∩B＝?存在三種狀況：①集合A，B均為空集；②集合A，B中有一個是空集；③集合A，B均為非空集，但無相同元素．]學問梳理交集的三種語言表示(1)文字語言：由既屬于集合A又屬于集合B的全部元素組成的集合，稱為A與B的交集．(2)符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)圖形語言：如圖所示：學問點二并集的概念eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)已知A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞0}，則A∪B等于()A．{x|x＞1} B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}(2)滿意{1}∪B＝{1,2}的集合B的個數是________．提示：(1)B(2)2學問梳理并集的三種語言表示(1)文字語言：由屬于集合A或屬于集合B的全部元素組成的集合，稱為集合A與B的并集．(2)符號語言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)圖形語言：如圖所示：學問點三并集與交集的運算性質eq\a\vs4\al(思索并完成以下問題)(1)集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”包含哪幾種狀況？提示：集合中的“或”包含三種狀況：①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B.(2)集合A∪B，A∩B與集合A、集合B有何關系？提示：因為A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，故A?(A∪B)，B?(A∪B)，(A∩B)?A，(A∩B)?B.(3)A∪A，A∩A，A∪?，A∩?分別等于什么？提示：A∪A＝A，A∩A＝A，A∪?＝A，A∩?＝?.學問梳理并集的運算性質交集的運算性質A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪?＝AA∩?＝?A?B?A∪B＝BA?B?A∩B＝A思索：1.“A∪B就是把集合A中的元素和集合B中的元素放在一起形成的新集合．”這種說法正確嗎？提示：不正確．如A＝{1,2}，B＝{2,4}，則A∪B＝{1,2,4}，而不是A∪B＝{1,2,2,4}，即A∪B作為一個新集合，必需滿意集合中元素的特性．2．“A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，即集合A∪B中的元素不在A中，就肯定在B中，不行能既在A中，又在B中”．這種理解正確嗎？提示：不正確．如A＝{0,1}，B＝{1,2}，則A∪B＝{0,1,2}，對于元素1，其滿意1∈A，且1∈B.也就是說，對“或”的理解應從三方面把握：(1)x∈A但x?B；(2)x∈B但x?A；(3)x∈A且x∈B.3．能否認為A與B沒有公共元素時，A與B就沒有交集？提示：不能．當A與B無公共元素時，A與B的交集仍存在，此時A∩B＝?.[自我檢測]1．設集合A＝{2,3}，集合B＝{0,1}，則A∪B等于()A．?B．{1,2,3}C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}解析：A＝{2,3}，B＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．答案：D2．若集合P＝{x|2≤x＜4}，Q＝{x|x≥3}，則P∩Q等于()A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}解析：結合數軸，得P∩Q＝{x|3≤x＜4}．故選A.答案：A3．設集合M＝{x|x＞1}，集合N＝{x|x＜2}，則M∪N＝________，M∩N＝________.解析：由數軸，得M∪N＝R，M∩N＝{x|1＜x＜2}．答案：R{x|1＜x＜2}授課提示：對應學生用書第9頁探究一交集運算[例1]已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求實數a的值[思路點撥]eq\x(M∩N＝{3})→eq\x(3∈M)→eq\x(a2－3a－1＝3)→eq\x(計算a并驗證)[解析]∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.但當a＝－1時，集合N中元素不滿意互異性；當a＝4時，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合題意．∴a＝4.方法技巧求兩個集合的交集的方法：(1)識別所給集合的意義；(2)化簡集合，使集合中的元素明朗化；(3)依據交集的定義干脆視察寫出結果．有時要借助于Venn圖或數軸寫出交集，借助于數軸時要留意數軸上方“雙線”(即公共部分)下面的實數組成了交集．跟蹤探究1.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，則A∩B＝()A．{3} B．{x|x≥1}C．{2,3} D．{1,2}解析：由題意，知A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，結合Venn圖分析，可得A∩B＝{1,2}．答案：D探究二并集運算[例2]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3≥3x－2}，求A∪B.[思路點撥]先把集合A、B進行化簡，再在數軸上表示出來，取它們全部元素構成的集合，即得A∪B.[解析]A＝{x|x＞5}，B＝{x|x≤－1}，在數軸上表示為：依據并集的定義，圖中陰影部分即為所求．∴A∪B＝{x|x≤－1或x＞5}．方法技巧1.用描述法表示的數集，假如干脆視察不出并集的運算結果，那么就要借助于數軸寫出結果，此時要留意：(1)并集是全部部分；(2)當端點不在集合中時，用“空心圓圈”表示．2．用列舉法表示的數集，依據并集的含義，干脆視察或用Venn圖寫出集合運算的結果．跟蹤探究2.已知A＝{x|x≤－2或x＞5}，B＝{x|1＜x≤7}，求A∪B.解析：將x≤－2或x＞5及1＜x≤7在數軸上分別表示出來．依據并集的定義，圖中陰影部分即為所求，故A∪B＝{x|x≤－2，或x＞1}．探究三交集、并集性質的應用[例3]已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，試求k的取值范圍．[思路點撥]eq\x(A∪B＝A)→eq\x(B?A)→eq\x(分B＝?和B≠?)→eq\x(結合數軸求解)[解析]∵A∪B＝A，∴B?A，∴B＝?或B≠?.(1)當B＝?時，k＋1＞2k－1，∴k＜2.(2)當B≠?，則依據題意如圖所示：依據數軸可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1≤2k－1，,－3＜k＋1，,2k－1≤4，))解得2≤k≤eq\f(5,2).綜合(1)(2)可得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(kk≤\f(5,2))).方法技巧利用集合交集、并集的性質解題的方法及關注點(1)方法：當題目中含有條件A∩B＝A，A∪B＝B，解答時常借助于交集、并集的定義及集合間的關系去分析，將關系進行等價轉化如：A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B等．(2)關注點：當題目條件中出現B?A時，若集合B不確定，解答時要留意探討B(tài)＝?和B≠?的狀況．跟蹤探究3.已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，求(1)A∪B＝A時，實數m的取值范圍．(2)A∩B＝A時，實數m的取值范圍．解析：(1)∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.當B＝?時，有m＋1＞1－m，解得m＞0.當B≠?時，用數軸表示集合A和B，如圖所示：∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m，,0≤m＋1，,1－m≤4，))解得－1≤m≤0.綜上所得，實數m的取值范圍是m＞0或－1≤m≤0，即{m|m≥－1}．(2)∵A∩B＝A，∴A?B.如圖：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m，,m＋1≤0，,1－m≥4，))解得m≤－3.故實數m的取值范圍是{m|m≤－3}.授課提示：對應學生用書第10頁[課后小結]1．對并集、交集概念的理解(1)對于并集，要留意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)分，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種狀況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由全部至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合．(2)A∩B中的元素是“全部”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分．特殊地，當集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.2．集合的交、并運算中的留意事項(1)對于元素個數有限的集合，可干脆依據集合的“交”“并”定義求解，但要留意集合元素的互異性．(2)對于元素個數無限的集合，進行交、并運算時，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要留意端點值能否取到．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視端點值造成錯解易錯案例：若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，則使得A?(A∩B)成立的全部a的集合是________．易錯分析：解此類題的關鍵是由題目給出的條件得到集合關系，進而轉化到a的不等式組，得到a的取值集合；另外肯定要看是否包括端點值．集合問