2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計數(shù)原理1.1第1課時分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理第一課時分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁[自主梳理]一、分類加法計數(shù)原理(也稱加法原理)1．原理內(nèi)容完成一件事，可以有n類方法，在第一類方法中有m1種方法，在其次類方法中有m2種方法，……，在第n類方法中有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．問題特征(1)完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類；(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；(3)把各類的方法數(shù)________，就可以得到完成這件事的全部方法數(shù)．二、分步乘法計數(shù)原理(也稱乘法原理)1．原理內(nèi)容完成一件事須要經(jīng)過n個步驟，缺一不行，做第一步有m1種方法，做其次步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法．那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．問題特征(1)完成一件事須要經(jīng)過n個步驟，缺一不行；(2)完成每一步有若干種方法；(3)把各個步驟的方法數(shù)__________，就可以得到完成這件事的全部方法數(shù)．[雙基自測]1．從甲地到乙地一天之中有三次航班、兩趟火車，某人利用這兩種交通工具在當(dāng)天從甲地趕往乙地的方法有()A．2種 B．3種C．5種 D．6種2．一個口袋里有15封信，另一個口袋里有4封信，每封信的內(nèi)容均不相同．從兩個口袋中任取一封信，有________種不同的取法．3．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，則不同的二次函數(shù)共有________個．[自主梳理]一、1.m1＋m2＋…＋mn2.相加二、1.m1×m2×…×mn2.相乘[雙基自測]1．C從甲地到乙地有2類方法(坐飛機(jī)和坐火車)，坐飛機(jī)有3種方法(三次航班)，坐火車有2種方法(兩趟火車)，所以結(jié)合分類加法計數(shù)原理，從甲地趕往乙地的方法有5種．2．19由分類加法計數(shù)原理知N＝15＋4＝19.3．100a有4種取法，b與c各有5種取法，授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第1頁探究一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用[例1]在填寫高考志愿表時，一名中學(xué)畢業(yè)生了解到，A、B兩所高校各有一些自己感愛好的強(qiáng)項專業(yè)，詳細(xì)狀況如下：A高校B高校生物學(xué)醫(yī)學(xué)化學(xué)會計學(xué)數(shù)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)假如這名同學(xué)只能選一個專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？[解析]這名同學(xué)可以選擇A、B兩所高校中的任一所．在A高校中有5個強(qiáng)項專業(yè)，即有5種選擇方法，在B高校中有4個強(qiáng)項專業(yè)，即有4種選擇方法．由于沒有一個強(qiáng)項專業(yè)是兩所高校共有的，因此依據(jù)加法原理，這名同學(xué)可能的選擇種數(shù)為5＋4＝9.分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)姆诸悾诸悤r應(yīng)留意，分類的過程中自始至終要按同一個標(biāo)準(zhǔn)，不能在前半部分按這個標(biāo)準(zhǔn)，后半部分又出現(xiàn)另一個標(biāo)準(zhǔn)．假如有重漏現(xiàn)象就是分類的標(biāo)準(zhǔn)不合適，必需換一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類．1．小明衣服上左、右各有一個口袋，左邊口袋裝有30個英語單詞卡片，右邊口袋裝有20個英語單詞卡片，這些英語單詞卡片都互不相同，問從兩個口袋里任取一個英語單詞卡片，有多少種不同的取法？解析：從口袋中任取一個英語單詞卡片的方法有兩類：第一類：從左邊口袋取一個英語單詞卡片有30種不同的取法；其次類：從右邊口袋中取一個英語單詞卡片有20種不同的取法．上述任何一種取法都能獨立完成“取一個英語單詞卡片”這件事，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，所以從中任取一個英語單詞卡片有30＋20＝50種不同的取法．探究二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用[例2]用0,1,2,3,4這5個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的(1)銀行存折的四位密碼？(2)四位數(shù)？[解析](1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分四步完成：第一步：選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；其次步：選取左邊其次個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的四位密碼共有5×4×3×2＝120個．(2)完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步完成：第一步：從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；其次步：從剩余的四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步：從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步：從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可組成的不同的四位數(shù)共有4×4×3×2＝96(個)．利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的留意點(1)分步是有先后依次的；(2)各步中的方法相互依存，缺一不行．2．現(xiàn)支配一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共5個人，每個人都可以多值幾天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一個人值班，問此值班表共有________種不同的排法．解析：先排第一天，可排5人中任一人，有5種排法；再排其次天，此時不能排第一天已排的人，有4種排法；再排第三天，此時不能排其次天已排的人，有4種排法；同理，第四、五天各有4種排法．由分步乘法計數(shù)原理，可得值班表不同的排法共有：N＝5×4×4×4×4＝1280(種)．答案：1280探究三兩個計數(shù)原理的選擇[例3]一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機(jī)卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機(jī)卡．(1)某人要從兩個袋子中任取一張自己運用的手機(jī)卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機(jī)是雙卡雙待機(jī)，想得到一張移動手機(jī)卡和一張聯(lián)通手機(jī)卡供自己今后運用，問一共有多少種不同的取法？[解析](1)從兩個袋子中任取一張卡有兩類狀況：第一類：從第一個袋子中任取一張移動手機(jī)卡，共有10種取法；其次類：從其次個袋子中任取一張聯(lián)通手機(jī)卡，共有12種取法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有10＋12＝22種取法．(2)想得到一張移動手機(jī)卡和一張聯(lián)通手機(jī)卡可分兩步進(jìn)行：第一步，從第一個袋子中任取一張移動手機(jī)卡，共有10種取法；其次步，從其次個袋子中任取一張聯(lián)通手機(jī)卡，共有12種取法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有10×12＝120種取法．解兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用題時，最簡單出現(xiàn)不知道應(yīng)用哪個原理解題的狀況，其思維障礙在于沒有區(qū)分該問題是“分類”還是“分步”，突破方法在于仔細(xì)審題，明確“完成一件事”的含義．詳細(xì)應(yīng)用時敏捷性很強(qiáng)，要在做題過程中不斷體會和思索，基本原則是“化繁為簡”．3．某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息．(1)若小明的爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？解析：(1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第一類，選東面的空閑凳子，有8種選法；其次類，選西面的空閑凳子，有6種選法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，小明爸爸共有8＋6＝14(種)坐法．(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：第一步，小明先就坐，從東西兩面共14個凳子中選一個坐下，共有14種坐法(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13)；其次步，小明爸爸再就坐，從東西兩面余下的13個空閑凳子中選一個坐下，共13種坐法．由分步乘法計數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有14×13＝182種不同的坐法．對兩個基本原理相識不清致誤[典例](1)把3封信投到4個信箱，全部可能的投法共有________．A．24種 B．4種C．43種 D．34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4趟，輪船有3次，此人的走法可有__________種．[解析](1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法．(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，依據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(種)．[答案](1)C(2)7[錯因與防范]1.解決計數(shù)問題的基本策略是合理分類和分步，然后應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理來計算．解決本題易出現(xiàn)的問題是完成一件事情的標(biāo)準(zhǔn)不清晰導(dǎo)致計算出現(xiàn)錯誤，對于(1)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)不同，誤認(rèn)為每個信箱有三種選擇，所以可能的投法有34種，沒有留意到一封信只能投在一個信箱中；對于(2)，易混淆“類”與“步”，誤認(rèn)為到達(dá)乙地先坐火車后坐輪船，運用乘法原理計算．2．每封信只能投到一個信箱里，而每個信箱可以裝1封信，也可以裝2封信，其選擇不是唯一的，所以應(yīng)留意由信來選擇信箱，每封信有4種選擇．3．在處理詳細(xì)的應(yīng)用問題時，首先必需弄清晰“分類”與“分步”的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)是什么．選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事情，可以避開計數(shù)的重復(fù)或遺漏．用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解析：(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種)．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0