考點(diǎn)11 概率與統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)11概率與統(tǒng)計(jì)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】1.名稱定義符號(hào)表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）（或）相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等A=B并事件（和事件）事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）（或）交事件（積事件）事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）（或）互斥事件若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥對(duì)立事件若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件且（U為全集）2.古典概率模型：我們將具有以下兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概率：（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.3.古典概型的概率公式（1）在基本事件總數(shù)為n的古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是相等的，即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是.（2）對(duì)于古典概型，任何事件的概率為.4.離散型隨機(jī)變量的分布列（1）如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.（2）一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為取每一個(gè)值的概率，則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.X……P……5.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1）；（2）；（3）.6.常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型（1）兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為X01Pp則稱X服從兩點(diǎn)分布.（2）超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中任取n件，其中恰有X件次品，則，其中，且，稱分布列X01…mP…為超幾何分布.7.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X……P……（1）均值稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.（2）方差稱為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值的平均偏離程度，并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為.8.均值與方差的性質(zhì)（1）.（2）.9.兩點(diǎn)分布的均值、方差若X服從兩點(diǎn)分布，則.10.條件概率及其性質(zhì)（1）一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.（2）條件概率的性質(zhì)：（i）；（ii）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則.11.全概率公式一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對(duì)任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.12.相互獨(dú)立事件（1）對(duì)于事件A、B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱A、B是相互獨(dú)立事件.（2）若A與B相互獨(dú)立，則，.（3）若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立.（4）若，則A與B相互獨(dú)立.13.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（也叫n重伯努利試驗(yàn)）一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（n重伯努利試驗(yàn)）中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作計(jì)算公式用表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為14.二項(xiàng)分布的均值與方差：若，則，.15.正態(tài)曲線的定義函數(shù)（其中實(shí)數(shù)和為參數(shù)）的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.16.正態(tài)曲線的特點(diǎn)（1）曲線位于x軸上方且與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值；（4）曲線與x軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿x軸移動(dòng)；（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”；越大，曲線越“矮胖”.17.正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作.18.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n（）個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.（2）最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有兩種：隨機(jī)數(shù)法和抽簽法.19.分層抽樣（1）定義：一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.（2）應(yīng)用范圍：總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成的.（3）分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征的差異進(jìn)行分層，實(shí)質(zhì)是等比例抽樣，抽樣比.20.頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：（1）求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)，每小組的頻數(shù)與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計(jì)算各小組的頻率，列出頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標(biāo)（小長(zhǎng)方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長(zhǎng)方形的面積，即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.各個(gè)小長(zhǎng)方形面積的總和等于1.21.頻率分布折線圖和總體密度曲線（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.（2）總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.22.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分，分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大小.方差：；標(biāo)準(zhǔn)差：.23.百分位數(shù)（1）把100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第p個(gè)和第p+1個(gè)數(shù)據(jù)分別為.可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，我們?nèi)∵@兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)，或p%分位數(shù).（2）一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.（3）四分位數(shù)常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)（即中位數(shù)），第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等.24.變量間的相關(guān)關(guān)系（1）常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系.與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.（2）在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).25.兩個(gè)變量的線性相關(guān)（1）從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.（2）回歸直線方程①最小二乘法：通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.②回歸方程：方程是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)的回歸方程，其中是待定參數(shù).，其中稱為樣本點(diǎn)的中心.（3）相關(guān)系數(shù)r①；②當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)r的絕對(duì)值大于或等于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（4）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.在線性回歸模型中，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化，在統(tǒng)計(jì)中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量.26.分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.27.列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：總計(jì)abcd總計(jì)可構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量，其中為樣本容量.28.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用獨(dú)立性假設(shè)、隨機(jī)變量來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)研究表明：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為X與Y無關(guān)；當(dāng)時(shí)，有95%的把握說X與Y有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有99%的把握說X與Y有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有99.9%的把握說X與Y有關(guān).1.某中學(xué)高一有21個(gè)班、高二有14個(gè)班、高三有7個(gè)班，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些班中抽取6個(gè)班對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力檢查，若從抽取的6個(gè)班中再隨機(jī)抽取2個(gè)班做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析，則抽取的2個(gè)班均來自高一的概率是()

A. B. C. D.2.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.73.某國(guó)企進(jìn)行節(jié)能降耗技術(shù)改造，下面是該國(guó)企節(jié)能降耗技術(shù)改造后連續(xù)五年的生產(chǎn)利潤(rùn):年號(hào)x12345年生產(chǎn)利潤(rùn)y（單位：千萬元）0.70.811.11.4預(yù)測(cè)第8年該國(guó)企的生產(chǎn)利潤(rùn)為()

參考公式及數(shù)據(jù)：.

A.1.88千萬元 B.2.2l千萬元 C.1.85千萬元 D.2.34千萬元4.生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為()A. B. C. D.5.某學(xué)校要從10名候選人中選2名組成學(xué)生會(huì)，其中高二(1)班有4名候選人，假設(shè)每名候選人被選到的機(jī)會(huì)相同，若X表示選到高二(1)班的候選人的人數(shù)，則()

A. B. C. D.6.先后投擲骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6），兩次落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件A為“為偶數(shù)”，事件B為“中有偶數(shù)，且”，則()A. B. C. D.7.某超市統(tǒng)計(jì)了一個(gè)月內(nèi)每天光顧的顧客人數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_________.8.甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率是，沒有平局假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以3:2獲勝的概率是______________.9.某鋼管銷售商欲從鋼管廠預(yù)定10000根內(nèi)徑為20mm的鋼管，要求內(nèi)徑誤差不得高于0.05.已知鋼管內(nèi)徑（單位：mm）服從正態(tài)分布，技術(shù)人員通過對(duì)以往該類產(chǎn)品的數(shù)據(jù)分析，估計(jì)即將生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑低于19.95mm的鋼管占鋼管總數(shù)的，則應(yīng)生產(chǎn)的鋼管根數(shù)至少應(yīng)為___________.10.在貫徹中共中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過程中，某單位在某市定點(diǎn)幫扶某村100戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對(duì)這100戶村民的年收入情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)x.將指標(biāo)x按照，，，，分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定若，則認(rèn)定該戶為“絕對(duì)貧困戶”，否則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶”；當(dāng)時(shí)，認(rèn)定該戶為“亟待幫助戶”.工作組又對(duì)這100戶家庭的受教育水平進(jìn)行評(píng)測(cè)，家庭受教育水平分為“良好”與“不好”兩種.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析絕對(duì)貧困戶數(shù)與受教育水平不好是否有關(guān)；

單位：戶受教育水平良好受教育水平不好合計(jì)絕對(duì)貧困戶2相對(duì)貧困戶52合計(jì)100（2）上級(jí)部門為了調(diào)查這個(gè)村的特困戶分布情況，在貧困指標(biāo)處于的貧困戶中，隨機(jī)選取兩戶，用X表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附，其中.0.10.050.012.7063.8416.635

答案以及解析1.答案：A解析：高一、高二、高三的班級(jí)個(gè)數(shù)之比為，根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)可知所抽取的6個(gè)班中，高一、高二、高三的班級(jí)個(gè)數(shù)分別為3，2，1，設(shè)抽取的高一的3個(gè)班級(jí)分別為A1，A2，A3，高二的2個(gè)班級(jí)為B1，B2，高三的1個(gè)班級(jí)為C1，從這6個(gè)班中再隨機(jī)抽取2個(gè)班的可能情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè)，抽取的2個(gè)班級(jí)均來自高一的可能情況為，，，共3個(gè)，所以所求的概率為.2.答案：B解析：設(shè)事件“只用現(xiàn)金支付”，事件“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”，事件“不用現(xiàn)金支付”，則.故選B.3.答案：C解析：由題可得，所以，所以年生產(chǎn)利潤(rùn)關(guān)于年號(hào)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，

當(dāng)時(shí)，，故選C.4.答案：B解析：設(shè)3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)的兔子為A，B，C，另外2只兔子為a，b，從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則樣本空間，共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，其中“恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)”包含的樣本點(diǎn)共有6個(gè)，分別為，，，，，，因此所求的概率為，故選B.5.答案：D解析：解法一：由題意得隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且，，，則.

解法二：由題意知X的可能取值為0，1，2，

，

，

，

所以X的分布列為X012P所以.

故選D.6.答案：A解析：若事件A發(fā)生，則同奇或同偶，，事件同時(shí)發(fā)生，則都為偶數(shù)，且，所以.故選A.7.答案：33.75解析：由題圖可知，的頻率為0.14，的數(shù)率為0.24，的頻率為0.32，的頻率為0.2，的頻率為0.1，前兩組頻率前三組頻率所以中位數(shù)在第三組.設(shè)中位數(shù)為，則.，解得故估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3