專題04 立體幾何（老師版）

專題04立體幾何一、單選題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖①所示，其俯視圖水平放置的直觀圖如圖②中粗線部分所示，其中其中四邊形為平行四邊形，，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直觀圖還原可知,俯視圖是邊長為4的正方形,結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知,該幾何體后半部分為長方體,前半部分為半個(gè)圓柱,長方體的邊長分別為2,2,4,則其體積為,半個(gè)圓柱的底面半徑為2,高為4,則其體積為,因此,該幾何體的體積為:,故選:A.2.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】如圖，正方體的棱長為分別是棱，的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面分別與棱，交于點(diǎn)，設(shè).給出以下四個(gè)命題：①平面與平面所成角的最大值為45°；②四邊形的面積的最小值為；③四棱錐的體積為；④點(diǎn)到平面的距離的最大值為.其中命題正確的序號(hào)為（）A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④【答案】A【解析】對于①,由面面平行的性質(zhì)定理可得,,可得四邊形為平行四邊形,又直角梯形和直角梯形全等,可得,即有四邊形為菱形,且,平面在底面上的射影為四邊形,設(shè)平面與平面所成角為,由面積射影公式可得,由,可得,可得平面與平面所成角的最大值不為,故①錯(cuò)誤;對于②,由,可得菱形的面積的最小值為,故②正確;對于③,因?yàn)樗睦忮F的體積為,故③正確;對于④,,,設(shè)到平面的距離為,可得,所以(其中,當(dāng)即時(shí),取得最大值,故④正確.故選:A.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】如圖，在直三棱柱中，，，，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接、、.易知是的中位線，所以且.又且，為的中點(diǎn)，所以且，所以且.所以四邊形是平行四邊形，所以，所以就是異面直線與所成的角.因?yàn)?，，，、、分別是、、的中點(diǎn)，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故選：C.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】如圖，網(wǎng)格上紙上小正方形邊長為1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】該棱錐如圖，，它可以看作是從正方體中截出的一部分，其體積為．故選C．5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】已知直三棱柱A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹比庵校珹B＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）】如圖是一個(gè)裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm，高8cm(不含杯腳)，已知水的高度是4cm，現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底，且體積不變.如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠（）A．98顆 B．106顆 C．120顆 D．126顆【答案】D【解析】作出圓錐的軸截面圖如圖，由題意，，，，設(shè)，則，即.則最大放入珍珠的體積因?yàn)橐活w珍珠的體積是.由.所以最多可以放入珍珠126顆.故選：D7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】已知△SAB是邊長為2的等邊三角形，∠ACB＝45°，當(dāng)三棱錐S﹣ABC體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB時(shí)，三棱錐S﹣ABC體積達(dá)到最大，如圖所示，則點(diǎn)D，點(diǎn)E分別為△ASB，△ACB的外心，并過兩個(gè)三角形的外心作所在三角形面的垂線，兩垂直交于點(diǎn)O．∴點(diǎn)O是此三棱錐外接球的球心，AO即為球的半徑．在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°?∠AEB＝90°，由正弦定理可知，2AE，∴AE＝EB＝EC，延長CE交AB于點(diǎn)F，則F為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D在直線SF上，∴四邊形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，則有OE⊥AE，又∵OE＝DFSFAB，∴OA．∴S球表面積＝4πR2＝4π×（）2．故選：B．8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何”，羨除是一個(gè)五面體，其中三個(gè)面是梯形，另兩個(gè)面是三角形，已知一個(gè)羨除的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則該羨除的表面中，三個(gè)梯形的面積之和為（）A．40 B．43 C．46 D．47【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體的直現(xiàn)圖如圖五面體，其中平面平面，，底面梯形是等腰梯形，高為3,梯形的高為4,等腰梯形的高為，三個(gè)梯形的面積之和為,故選C.9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷（二）】已知長方體，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在長方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）A．6 B． C． D．9【答案】D【解析】如圖所示,設(shè),,,,分別為,,,,的中點(diǎn),則,,所以平面,平面,又,所以平面平面,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是六邊形及其內(nèi)部,因?yàn)?,所以,,,到的距離為,所以六邊形的面積,故選:D.10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷二】“中國天眼”是我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)，世界最大單口徑，最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡（如圖）．其反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，h為球冠的高）設(shè)球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當(dāng)時(shí)，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，又，，解得：，即，故選：B11.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷一】鼎是古代烹煮用的器物，它是我國青銅文化的代表，在古代被視為立國之器，是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖，圖中四棱臺(tái)是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形是矩形，其中，，，點(diǎn)到平面的距離為，則這個(gè)方鼎一次最多能容納的食物體積為（）（假定烹煮的食物全在四棱臺(tái)內(nèi)）A． B． C． D．【答案】D【解析】幾何體為四棱臺(tái)，所以延長必交于一點(diǎn)，記為O，且四棱錐相似于，所以.過點(diǎn)作OH⊥面于H，作OG⊥面于G，則,又，解得：OG=,OH=，四棱臺(tái)的體積.故選：D12.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！恳阎襟w的棱長為1，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】：點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因?yàn)?，而，故，故選：B.13.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】如圖，水平桌面上放置一個(gè)棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個(gè)小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時(shí)，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.故選：D.14.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一?！磕嘲嗫萍寂d趣小組研究在學(xué)校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測量頂部的面積，將圖書館看成是一個(gè)長方體與一個(gè)等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測量長方體的底面正方形的的邊長為26米，高為9米，當(dāng)正四棱錐的頂點(diǎn)在陽光照射下的影子恰好落在底面正方形的對角線的延長線上時(shí)，測的光線與底面夾角為，正四棱錐頂點(diǎn)的影子到長方體下底面最近頂點(diǎn)的距離為11.8米，則圖書館頂部的面積大約為（）平方米（注：）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖1，根據(jù)題意得：，，，所以，故，故在中，設(shè)，則，，所以，即：，解得所以如圖2，在正四棱錐中，，，取中點(diǎn)，連接，所以由正四棱錐的性質(zhì)得為直角三角形，故，所以，所以正四棱錐的側(cè)面積為.故選：C15.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一?！恳阎?，，，點(diǎn)在線段上除，的位置運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得線段上存在一點(diǎn)，滿足平面；若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】易知要滿足平面有兩個(gè)極限狀態(tài)，第一是為的角平分線時(shí)，此時(shí)，第二是點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)；故，則實(shí)數(shù)的最大值為1，故選：A.16.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（六）】已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，因?yàn)槠浔砻娣e為，所以，即，又因?yàn)樗膫?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A17.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】如圖，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點(diǎn)分別在半圓弧，(均不含端點(diǎn))上，且，，，在球上，則（）A．當(dāng)點(diǎn)在的三等分點(diǎn)處，球O的表面積為B．當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)處，過，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形C．球的表面積的取值范圍為D．當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)處，三棱錐的體積為定值【答案】D【解析】如圖1，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，根據(jù)題意，球心在線段上，設(shè)，則由余弦定理，設(shè)，則，，因?yàn)椋榍虻陌霃剑?，所以，所以，所以球的表面積為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)點(diǎn)在的三等分點(diǎn)處，，則，所以，所以球的表面積為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，取中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在的上時(shí)，連接，在平面中過點(diǎn)作的平行線，與線段分別交于，延長與相交，連接交點(diǎn)與點(diǎn)交于，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)處，過，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面為五邊形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)處，三棱錐的體積為，為定值，故D選項(xiàng)正確.故選：D18.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！吭谥彼睦庵?，底面是邊長為6的正方形，點(diǎn)在線段上，且滿足，過點(diǎn)作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面積的最大值與最小值之差為，則直四棱柱外接球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樗睦庵侵崩庵?，且底面是正方形，所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作，過點(diǎn)向底面作垂線，垂足為，則，連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為6的正方形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，則，所以外接球的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且滿足，則，又，所以，因?yàn)橹彼睦庵?，?cè)面，，所以側(cè)面，所以，又底面，所以，又，所以，則；根據(jù)球的特征，過點(diǎn)作直四棱柱外接球的截面，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面圓面積最大，此時(shí)截面面積為；當(dāng)截面時(shí)，此時(shí)截面圓半徑為，所以此時(shí)截面圓面積為；又截面面積的最大值與最小值之差為，所以，因此，即，所以.故選：C.二、多選題1.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過AB作一垂直于直線B1C的平面交平面ADD1A1于直線l，動(dòng)點(diǎn)M在直線l上，則（）A．B1C//lB．B1C⊥lC．點(diǎn)M到平面BCC1B1的距離等于線段AB的長度D．直線BM與直線CD所成角的余弦值的最大值是【答案】BC【解析】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過AB作一垂直于直線B1C的平面交平面ADD1A1于直線l，l就是AD1，所以B1C⊥l，B正確，A錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)M到平面BCC1B1的距離等于線段AB的長度，正確；對于D，直線AB與直線CD平行，所以直線BM與直線CD所成的角即，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，為，此時(shí)余弦值為1，故錯(cuò)誤，故選：BC.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等【答案】BC【解析】根據(jù)題意，假設(shè)直線D1D與直線AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,與矛盾，所以直線D1D與直線AF不垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)锳1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故選項(xiàng)B正確．平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1，由題得該等腰梯形的上底下底,腰長為，所以梯形面積為，故選項(xiàng)C正確；假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于，而不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】已知球是正三棱錐(底面為正三角形，點(diǎn)在底面的射影為底面中心)的外接球，，，點(diǎn)在線段上，且，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】如下圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，可得，，設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，即，解得，故最大的截面面積為在三角形中，，由余弦定理得在三角形中，，設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，故最小的截面面積為所以過點(diǎn)作球的截面，所以截面圓面積的取值范圍是故選：．4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷二】已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BD【解析】對于A，若，，，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤；對于B，若，，，則由線面平行的性質(zhì)得，故B正確；對于C，若，，，則或，故C錯(cuò)誤；對于D，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確.故選：BD.5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷一】已知正方形的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為【答案】ACD【解析】對A：，AC中點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑，，，故選項(xiàng)A正確；對B：當(dāng)平面平面時(shí)，四面體體積的最大，此時(shí)高為，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：設(shè)方形對角線AC與BD交于O，由題意，翻折后當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，為邊長為的等邊三角形，此時(shí)，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為，故選項(xiàng)C正確；對D：結(jié)合C的分析知，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點(diǎn)，底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的，即所求曲面的面積為，故選項(xiàng)D正確.故選:ACD.6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！咳鐖D，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上（不含端點(diǎn)）且，將，分別沿，折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）．A．B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球體積為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：正方形由折疊的性質(zhì)可知：又面又面，；故A正確.B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在中，，則由A選項(xiàng)可知，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，把三棱錐放置在長方體中，可得長方體的對角線長為，三棱錐的外接球半徑為，體積為，故B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在中，，則故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則在中，，則即故D正確；故選：ACD7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一?！咳鐖D，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計(jì)算出塔的高度的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】解一個(gè)三角形，需要知道三個(gè)條件，且至少一個(gè)為邊長.A.在中，已知，可以解這個(gè)三角形得到，再利用、解直角得到的值；B.在中，已知無法解出此三角形，在中，已知無法解出此三角形，也無法通過其它三角形求出它的其它幾何元素，所以它不能計(jì)算出塔的高度；C.在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D.如圖，過點(diǎn)作,連接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故選：ACD8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（六）】已知α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則給出的下列說法中，正確的是（）A．若，，則 B．若，m∥，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【解析】根據(jù)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，所以A正確；若，當(dāng)，m∥時(shí)，平面與不一定平行，所以B不正確；由，則可能在平面內(nèi)，所以C不正確；由兩平面平行，其中一個(gè)平面的垂線也一定垂直于另外一個(gè)平面，所以D也是正確的.故選：AD.9.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！咳鐖D，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，正確的為A．B．截面C．D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【解析】因?yàn)榻孛媸钦叫?，所以，又平面所以平面又平?平面平面截面，故B正確同理可證因?yàn)?，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和不一定相等，故C錯(cuò)誤故選：ABD10.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三?！咳鐖D，正三棱柱各棱的長度均相等，為的中點(diǎn)，、分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足，當(dāng)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是（）A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形【答案】ABC【解析】取、的中點(diǎn)、，連接、、.對于A選項(xiàng)，且，，，且，易知四邊形為梯形或平行四邊形，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，，則，且，為的中點(diǎn)，，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，，，平面，，平面，平面，因此，平面平面，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，因?yàn)榈拿娣e為定值，，平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，所以，點(diǎn)到平面的距離為定值，進(jìn)而可知，三棱錐的體積為定值，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，平面，平面，，為的中點(diǎn)，則，若為直角三角形，則為等腰直角三角形，則，設(shè)正三棱柱的棱長為，則，則，因?yàn)?，故，所以，不可能為直角三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】母線長為，底面半徑為的圓錐內(nèi)有一球，與圓錐的側(cè)面、底面都相切，現(xiàn)放入一些小球，小球與圓錐底面、側(cè)面、球都相切，這樣的小球最多可放入__________個(gè)．【答案】10【解析】由題意可知圓錐軸截面為正三角形，高為3，如圖所示：設(shè)球O半徑為R，由∠OCB=30°，可得OC=2R，故OA=OC=2R，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.設(shè)小球半徑為r，同理可得,故，所以小球半徑為，且.這時(shí)到直線AO的距離為．這些小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個(gè)半徑為的圓M上，如圖所示：H為相鄰兩球切點(diǎn)，分別為相鄰兩球球心，設(shè)∠，則，，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，∴，∴，，，∵，故可得能放入小球個(gè)數(shù)最多為10故答案為102.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】已知三棱柱的各頂點(diǎn)均在表面積為的同一球面上，，則這個(gè)三棱柱的高是______.【答案】【解析】球的表面積，解得.因?yàn)椋字耐饨訄A的半徑，因?yàn)槿庵黜旤c(diǎn)均在同一球面上，故該三棱柱必為直三棱柱，所以三棱柱的高.故答案為：.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底】在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C為直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，M，N分別為側(cè)棱PA，PC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線MN與平面PAB所成的角為α.當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，則三棱錐P－ABC的體積為__________.【答案】【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與平面所成的角為二面角的大小時(shí)，此時(shí)線面角達(dá)到最大，設(shè)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，作于，于，連結(jié)，二面角為直二面角，面面，，面，面面，面，，又，，面，，，則，設(shè)，，，，，，故答案為：.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】如圖，大擺錘是一種大型游樂設(shè)備，常見于各大游樂園，游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn).座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).年月日國慶節(jié)，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點(diǎn)處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸在平面內(nèi)繞點(diǎn)左右擺動(dòng)，平面與水平地面垂直，擺動(dòng)的過程中，點(diǎn)在平面內(nèi)繞點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，.已知，在“大擺錘”啟動(dòng)后，直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大；此時(shí)直線與平面所成角的正弦值為故答案為：5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）】四棱錐各頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD為矩形，，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，BC中點(diǎn)，則平面AEF被球O所截得的截面面積為___________．【答案】【解析】由題設(shè)知球心O為PC中點(diǎn)，故球O的直徑，故，設(shè)球心到平面AEF的距離為d，截面圓的半徑為r，由題設(shè)球心O到平面AEF的距離等于點(diǎn)B到平面AEF的距離，在三棱錐中，由等體積法得，∴，故截面面積為．故答案為：6.【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期三?！磕撤N游戲中，黑?黃兩個(gè)“電子狗”從棱長為1的正方體的頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”.黑“電子狗”爬行的路線是，黃“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第i段所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù)).設(shè)黑“電子狗”爬完2021段?黃“電子狗”爬完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑?黃“電子狗”間的距離是___________.【答案】【解析】由題意，黑“電子狗”爬行路線為，即過6段后又回到起點(diǎn)，可以看作以6為周期，同理，黃“電子狗”爬行路線為，也是過6段后又回到起點(diǎn).所以黑“電子狗”爬完2021段后實(shí)質(zhì)到達(dá)點(diǎn)B，黃“電子狗”爬完2020段后到達(dá)第4段的終點(diǎn)D1.此時(shí)的距離為.故答案為：.7.．【湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（七）】假設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動(dòng)棱長為的立方體，則它在平面上的投影面面積的最大值是________.【答案】【解析】當(dāng)正方體與底面只有一個(gè)交點(diǎn)，并且過此點(diǎn)的對角線所在直線與此平面垂直，這時(shí)，投影面積最大.如圖，為此時(shí)正方體在平面的投影，此圖形是正六邊形，中間的虛線構(gòu)成等邊三角形，并且邊長為正方體面對角線，長度為，此等邊三角形的面積為正六邊形的面積為.故答案為：．四、解答題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學(xué)高三下學(xué)期第四次適應(yīng)性考試】如圖1所示，在矩形中，，，為中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到點(diǎn)處，且平面平面，如圖2所示.（1）求證：：（2）在棱上取點(diǎn)，使平面平面，求平面與所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）余弦值為.【解析】(1)在矩形中,連接交于點(diǎn),由題知,,,所以,即,又,所以,所以,即,故在翻折后的四棱錐中,有,又,所以平面,又平面,所以;(2)如圖所示,以點(diǎn)為原點(diǎn),方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,在矩中,經(jīng)計(jì)算可得,因此,過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,所以平面,所以,又由(1)知,且,所以平面,所以,即有,因?yàn)辄c(diǎn)在上,設(shè),則,由解得,即,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,由,令,即,又平面的一個(gè)法向量為,所以,所以平面與所成銳二面角的余弦值為.2.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測】如圖，在四棱錐中，底面四邊形為矩形且，平面底面，且是正三角形，是中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）因?yàn)閭?cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以底面.又平面，所以.因?yàn)榈酌鏋榫匦吻?，所?所以，所以.所以，即.又因?yàn)椋?、平面，所以平面；?）因?yàn)?，?cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以.由勾股定理得，，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得.3.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)摸底】已知底面為正三角形的斜三棱柱中，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面投影為邊的中點(diǎn)，，.（1）證明：//平面；（2）若，，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求點(diǎn)的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)靠近點(diǎn)的六等分點(diǎn)處.【解析】（1）因?yàn)樾比庵比庵鱾?cè)面均為平行四邊形則是的中點(diǎn)又分別是棱，的中點(diǎn)，則又則四邊形為平行四邊形則為的中點(diǎn)則在三角形中，//連接則//所以//又平面平面；則//平面；（2）點(diǎn)在底面投影為邊的中點(diǎn)，所以平面,又因?yàn)槿切螢檎切?，為中點(diǎn)，所以分別以所在直線為分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，，則，，所以，，，，，，，，，設(shè)則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量則，，令，，所以.設(shè)AM與平面所成角為所以令同聯(lián)立可得當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)靠近點(diǎn)的六等分點(diǎn)處時(shí)，符號(hào)條件.4.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）】已知四棱柱中，底面為菱形，，為中點(diǎn)，在平面上的投影為直線與的交點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，由于為中點(diǎn)，且，故為中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形,由于四棱柱且故四邊形為平行四邊形,由于底面為菱形，故，且，由于，故四邊形為平行四邊形，所以故：平面ABCD又平面平面故平面平面（2）由（1）BH，BD，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為，故，令，故設(shè)平面的法向量為，故，令，故由圖像得二面角為銳角，故故5.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（三）】在如圖所示的圓柱中，AB為圓的直徑，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，EA，F(xiàn)C，GB都是圓柱的母線．（1）求證：平面ADE；（2）設(shè)BC=1，已知直線AF與平面ACB所成的角為30°，求二面角A—FB—C的余弦值．【答案】（1）見解析（2）.【解析】（1）連接，因?yàn)镃，D是半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，又，所以均為等邊三角形.所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫鍭DE，平面ADE，所以平面ADE.因?yàn)镋A，F(xiàn)C都是圓柱的母線，所以EA//FC.又因?yàn)槠矫鍭DE，平面ADE，所以平面ADE.又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）連接AC，因?yàn)镕C是圓柱的母線，所以圓柱的底面，所以即為直線AF與平面ACB所成的角，即因?yàn)锳B為圓的直徑，所以，在，所以，所以在因?yàn)?，又因?yàn)?，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在內(nèi)，作于點(diǎn)H，連接AH.因?yàn)槠矫鍭CH，所以平面ACH，又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角.在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值為.6.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（五）】如圖，在四棱錐中，面，，且，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】（1）證明：在直角梯形中，由已知可得，，可得，過作，垂足為，則，求得，則，∴．∵面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）解：由（1）知，，則為二面角的平面角為，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得．∴直線與平面所成角的正弦值為：．7.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第一次高考模擬】如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點(diǎn)，以AE為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：AE⊥PB；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接BD，設(shè)AE的中點(diǎn)為O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE為等邊三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折疊后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB?平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB內(nèi)作PQ⊥平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，∴直線PB與平面ABCE夾角為∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q兩點(diǎn)重合，即PO⊥平面ABCE，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為（x，y，z），則，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）為平面PAE的一個(gè)法向量，設(shè)二面角A﹣EP﹣C為α，則|cosα|＝|cos|，由圖可知二面角A﹣EP﹣C為鈍角，所以cosα．8.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三下學(xué)期高考模擬卷（二）】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，試判斷棱上是否存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析.（2）答案見解析.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知平面，分別以所在直線為軸、軸，平面內(nèi)過點(diǎn)且與直線垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，，可得，所以，假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則,即，令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則:，解得或者（舍）.所以存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.9.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期保溫卷二】如圖，已知等腰梯形中，，，，于點(diǎn)，現(xiàn)將△沿翻折到△的位置，使得二面角的大小為120°，若點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的三等分點(diǎn)且，連接，，∵，∴且.在等腰梯形中，，，，，∴且，∴且，即四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）法一：∵，△沿翻折到△的位置，∴平面，又二面角的大小為120°，即.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，則，.設(shè)是面的法向量，則，即，令，得.易知：平面的一個(gè)法向量為，∴，即面和面所成銳二面角的余弦值為.法二：過作，則，過作于，連接，則，∴為面和面所成銳二面角的平面角.在中，，，，∴，即面和面所成銳二面角的余弦值為10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二?！恐苯侨切沃?，是的中點(diǎn)，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面．（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）在中，，即，則，取的中點(diǎn)，連接交于，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴.在中，是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn).在中，，∴，則.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴.而，∴平面.（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，由（1）知是中點(diǎn)，，而平面平面.∴平面，則.假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，可得，，即.∴與平面所成的角的正弦值.解得（舍去）.綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.11.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期考前沖刺卷】如圖所示的幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且、、、四點(diǎn)共面.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，連接，因?yàn)閹缀误w是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，所以，，，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)橐驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則、、、、，，，，，則，整理得，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，整理得，令，則，，因?yàn)槠矫媾c平面所成銳二面角的余弦值為，所以，解得，即，因?yàn)槠矫?，所以即直線與平面所成的角，在中，因?yàn)?，，所以，故直線與平面所成的角為.12.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期一?！咳鐖D1，在等邊中，點(diǎn)D?E分別為邊?上的動(dòng)點(diǎn)且滿足，記.將沿翻折到的位置并使得平面平面，連接，得到圖2，點(diǎn)N為的中點(diǎn).（1）當(dāng)平面時(shí)，求的值；（2）試探究：隨著入值的變化，二面角的大小是否改變？如果是，請說明理由；如果不是，請求出二面角的正弦值大小.【答案】（1）；（2）二面角的大小不變，正弦值為.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)為P，連接，，因?yàn)?，，所以，又，所以，即N，E，D，P四點(diǎn)共面，又面，面，平面平面，所以，即為平行四邊形，所以，且，即，即.（2）取的中點(diǎn)O，由平面平面，且，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，即，又平面的法向量，所以，即隨著值的變化，二面角的大小不變.且，所以二面角的正弦值為.13.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2021屆高三下學(xué)期月考（六）】在四棱錐中，底面ABCD是邊長為的正方形，平面底面ABCD，.（1）求證：；（2）點(diǎn)M，N分別在棱，，，，求直線PB與平面