第05講數(shù)列(原卷版+解析)

第05講數(shù)列一、單選題1．（2021·貴州高三月考（理））《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為2.5尺，則春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺2．（2021·全國(guó)）如圖，九連環(huán)是中國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智玩具．在某種玩法中，按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則解下5個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A．5 B．10 C．21 D．423．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問(wèn)題：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問(wèn)幾何日相逢，各穿幾何？意思是：今有土墻厚5尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，問(wèn)兩鼠幾天打通相逢？此時(shí)，各打洞多少？?jī)墒笙喾晷枰奶鞌?shù)最小為（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）“手指推大廈”是科技館中常見的一個(gè)游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現(xiàn)了“多米諾骨牌效應(yīng)”的科學(xué)原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式是，其中為第塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為第1塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質(zhì)量）的比值.現(xiàn)在有，兩副質(zhì)地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但值相同，記，分別是，兩副骨牌第塊的體積，已知，，，則的值是（）A．5 B．4 C．3 D．25．（2021·江蘇南京·高三開學(xué)考試）取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下的兩段;再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在第次操作中去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．96．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）《莊子·天下》篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（）A．1＋B．C．D．7．（2021·皮山縣高級(jí)中學(xué)高二期中（理））“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（）A．208 B．209 C．210 D．2118．（2021·陜西漢中·高三月考（理））意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗．禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還升、升、升粟，1斗為10升，則（）A．，，依次成公比為2的等比數(shù)列 B．，，依次成公比為的等比數(shù)列C． D．10．（2021·全國(guó)）（多選）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則（）A．此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B．此數(shù)列的第19項(xiàng)是182C．此數(shù)列的通項(xiàng)公式為D．84不是此數(shù)列中的項(xiàng)11．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)）素?cái)?shù)（大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù)）在密碼學(xué)、生物學(xué)、金融學(xué)等方面應(yīng)用十分廣泛.1934年，一個(gè)來(lái)自東印度（現(xiàn)孟加拉國(guó)）的學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了以下以他的名字命名的“森德拉姆素?cái)?shù)篩選數(shù)陣”，這個(gè)成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……該數(shù)陣的特點(diǎn)是每行、每列的數(shù)均成等差數(shù)列，如果正整數(shù)n出現(xiàn)在數(shù)陣中，則一定是合數(shù)，反之如果正整數(shù)n不在數(shù)陣中，則一定是素?cái)?shù)，下面結(jié)論中正確的是（）A．第4行第10列的數(shù)為94 B．第7行的數(shù)公差為15C．592不會(huì)出現(xiàn)在此數(shù)陣中 D．第10列中前10行的數(shù)之和為125512．（2020·江蘇姜堰中學(xué)高二月考）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續(xù)下去，得圖（3）...記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．若為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為三、填空題13．（2021·江蘇南通·高三）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作．在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問(wèn)題：一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù)．設(shè)這個(gè)整數(shù)為a，當(dāng)時(shí)，則符合條件的所有a的和為________．14．（2020·江蘇姜堰中學(xué)高二月考）我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老的幻方：將1，2，…，9填入方格內(nèi)使三行、三列、兩條對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖所示．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，…，填入個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對(duì)角線上數(shù)的和為，例如，，，……，那么10階幻方的對(duì)角線上數(shù)的和__．15．（2021·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的成就在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，則___________.16．（2022·全國(guó)）1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為a，在線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC?ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個(gè)圖形(圖1為第一個(gè)圖形)中的所有線段長(zhǎng)的和為，若存在最大的正整數(shù)a，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則a的值為___________.五、解答題17．（2021·山東日照·高三開學(xué)考試）我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來(lái)的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（2021·福建三明一中高三）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題．黎曼猜想研究的是無(wú)窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和入手．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為﹐且滿足（1）求；（2）求（其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)）19.（2021·全國(guó)高二單元測(cè)試）牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法，它是牛頓在世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法，具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值；過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的次近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值，設(shè)的零點(diǎn)為，取，（1）求的次近似值；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)積為．若任意的，恒成立，求整數(shù)的最小值．20．（2020·全國(guó)高三）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個(gè)數(shù)字為，第3行的第3個(gè)數(shù)字為，…，第行的第3個(gè)數(shù)字為，（1）求；（2）求.21．21.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它環(huán)環(huán)相扣，趣味無(wú)窮.長(zhǎng)期以來(lái)，這個(gè)益智游戲是數(shù)學(xué)家及現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)專家們用于教學(xué)研究的課題和例子.中國(guó)的末代皇帝溥儀(1906–1967)也曾有一個(gè)精美的由九個(gè)翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)(如圖).現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示按某種規(guī)則解下個(gè)圓環(huán)所需的最小移動(dòng)次數(shù).已知數(shù)列滿足下列條件：，，，記的前項(xiàng)和為，（1）求；（2）求.22.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.設(shè)，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，（1）求（2）求使不等式成立的最小正整數(shù)的值第05講數(shù)列一、單選題1．（2021·貴州高三月考（理））《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿?芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為2.5尺，則春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為（）A．4.5尺 B．5尺 C．5.5尺 D．6尺【答案】D【分析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為，所以春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為.故選：D2．（2021·全國(guó)）如圖，九連環(huán)是中國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智玩具．在某種玩法中，按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)，用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則解下5個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A．5 B．10 C．21 D．42【答案】C【分析】根據(jù)已知的數(shù)列遞推公式，得到與的等量關(guān)系，即可計(jì)算出解下個(gè)圓環(huán)需最少移動(dòng)的次數(shù).【詳解】由，，得．故選：C．3．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載問(wèn)題：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿．大鼠日一尺，小鼠亦日尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．問(wèn)幾何日相逢，各穿幾何？意思是：今有土墻厚5尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，問(wèn)兩鼠幾天打通相逢？此時(shí)，各打洞多少？?jī)墒笙喾晷枰奶鞌?shù)最小為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設(shè)大鼠、小鼠每天所打的厚度分別構(gòu)成數(shù)列，，則均為等比數(shù)列，設(shè)它們的前項(xiàng)和分別為，，利用求和公式結(jié)合題設(shè)條件可得，故可求兩鼠相逢需要的天數(shù)的最小值.【詳解】設(shè)大鼠、小鼠每天所打的厚度分別構(gòu)成數(shù)列，，它們的前項(xiàng)和分別為，，則是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，．令，即，故，令，則為遞增數(shù)列，，故的解為，故的最小值為3.故選：B．4．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）“手指推大廈”是科技館中常見的一個(gè)游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現(xiàn)了“多米諾骨牌效應(yīng)”的科學(xué)原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數(shù)學(xué)表達(dá)式是，其中為第塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為第1塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質(zhì)量）的比值.現(xiàn)在有，兩副質(zhì)地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但值相同，記，分別是，兩副骨牌第塊的體積，已知，，，則的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由題意可得①，②，③，解方程組，結(jié)合題設(shè)即可求解【詳解】由題可知，和組成的數(shù)列都是以為公比的等比數(shù)列.由題意可列出如下的方程：①，②，③，由①可得④，由②可得⑤，由③可得⑥，由④⑤⑥得，，所以，即.因?yàn)?，和都是整?shù)，所以符合條件的解只有，這一組.綜上所述，，故選：D.5．（2021·江蘇南京·高三開學(xué)考試）取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下的兩段;再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在第次操作中去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】可分析得到第次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，即，解指數(shù)不等式，利用估計(jì)即可【詳解】第一次操作去掉的線段長(zhǎng)度為，第二次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，第三次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，，第次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，由題意可知，，則，則，所以，即，又，帶入上式，可得故選：C6．（2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）《莊子·天下》篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（）A．1＋B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到每天截取的線段長(zhǎng)度構(gòu)成了以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和，根據(jù)其和小于即可說(shuō)明命題.【詳解】該命題說(shuō)明每天截取的線段長(zhǎng)度構(gòu)成了以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以能反映命題本質(zhì)的式子是.故選：B.7．（2021·皮山縣高級(jí)中學(xué)高二期中（理））“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（）A．208 B．209 C．210 D．211【答案】C【分析】設(shè)第個(gè)數(shù)為，觀察圖中數(shù)據(jù)可得，，，，利用疊加法可求.【詳解】設(shè)：第個(gè)數(shù)為，則，，，，，疊加可得：，，故選：C8．（2021·陜西漢中·高三月考（理））意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，，，，，，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】斐波那契數(shù)列滿足遞推關(guān)系，列舉出前項(xiàng)可知A正確；利用累加的方式可確定BC的正誤；根據(jù)遞推關(guān)系可確定D正確.【詳解】斐波那契數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，對(duì)于A，斐波那契數(shù)列的前項(xiàng)為，，，，，，，，，A正確；對(duì)于B，，，，…，，各式相加得：，B正確；對(duì)于C，，，，…，，各式相加得：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)規(guī)律總結(jié)出“斐波那契數(shù)列”的遞推關(guān)系式，采用累加法或根據(jù)遞推關(guān)系直接推導(dǎo)即可得到結(jié)果.二、多選題9．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）（多選）中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗．禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說(shuō)：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說(shuō)：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還升、升、升粟，1斗為10升，則（）A．，，依次成公比為2的等比數(shù)列 B．，，依次成公比為的等比數(shù)列C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算后判斷．【詳解】由條件，知，，依次成公比為的等比數(shù)列，又，所以，所以．故選：BD．10．（2021·全國(guó)）（多選）大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則（）A．此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B．此數(shù)列的第19項(xiàng)是182C．此數(shù)列的通項(xiàng)公式為D．84不是此數(shù)列中的項(xiàng)【答案】AC【分析】由已知數(shù)列可得為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】觀察此數(shù)列，為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，所以此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以C正確；，A正確；，B錯(cuò)誤；，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)）素?cái)?shù)（大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做素?cái)?shù)，否則稱為合數(shù)）在密碼學(xué)、生物學(xué)、金融學(xué)等方面應(yīng)用十分廣泛.1934年，一個(gè)來(lái)自東印度（現(xiàn)孟加拉國(guó)）的學(xué)者森德拉姆發(fā)現(xiàn)了以下以他的名字命名的“森德拉姆素?cái)?shù)篩選數(shù)陣”，這個(gè)成就使他青史留名．4710131619…71217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……該數(shù)陣的特點(diǎn)是每行、每列的數(shù)均成等差數(shù)列，如果正整數(shù)n出現(xiàn)在數(shù)陣中，則一定是合數(shù)，反之如果正整數(shù)n不在數(shù)陣中，則一定是素?cái)?shù)，下面結(jié)論中正確的是（）A．第4行第10列的數(shù)為94 B．第7行的數(shù)公差為15C．592不會(huì)出現(xiàn)在此數(shù)陣中 D．第10列中前10行的數(shù)之和為1255【答案】ABD【分析】根據(jù)題意分析出第行等差數(shù)列的公差為，第列等差數(shù)列的公差為，再結(jié)合題中材料與所學(xué)數(shù)列知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.【詳解】根據(jù)題意，第行等差數(shù)列的公差為，第列等差數(shù)列的公差為.設(shè)為第行第列的數(shù)字.對(duì)于A，因?yàn)榈?行數(shù)構(gòu)成的是以13為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，所以，故A正確.對(duì)于B，第7行的數(shù)公差為，故B正確.對(duì)于C，假設(shè)592不會(huì)出現(xiàn)在此數(shù)陣中，則是素?cái)?shù)，而是合數(shù)，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即592會(huì)出現(xiàn)在此數(shù)陣中，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，第10列中前10行的數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，其和為，故D正確.故選:ABD12．（2020·江蘇姜堰中學(xué)高二月考）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續(xù)下去，得圖（3）...記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．若為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，從前后兩個(gè)圖之間的關(guān)系可求出，對(duì)于B，由題意可知，數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求出，對(duì)于C，由結(jié)合，可得，而，從而可求出的值，則可求出的值，進(jìn)而可求得最小值，對(duì)于D，由在上遞增和在上遞增，可求得結(jié)果.【詳解】解：對(duì)于A，由題意可知，下一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖邊長(zhǎng)的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形的4倍，則周長(zhǎng)之間的關(guān)系為，所以數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，所以，所以A正確，對(duì)于B，由題意可知，從第2個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)均為上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，，得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以最小值是1，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)樵谏线f增，所以，即，令，則在上遞增，所以，即，即，因?yàn)楹愠闪?，所以的最小值為，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，考查數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于較難題三、填空題13．（2021·江蘇南通·高三）《孫子算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作．在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問(wèn)題：一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù)．設(shè)這個(gè)整數(shù)為a，當(dāng)時(shí)，則符合條件的所有a的和為________．【答案】8184【分析】由題設(shè)a=3m+2=5n+3,m,n∈N*，則3m=5n+1，對(duì)m分類分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，k∈Z，由a∈[1,500]求得a的取值，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得答案.【詳解】由題意知，a=3m+2=5n+3,m,n∈N*，則時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，不存在，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，不存在當(dāng)時(shí)，不存在，故，則共33個(gè)數(shù)，且這些數(shù)構(gòu)成以8為首項(xiàng)，15為公差的等差數(shù)列，這33個(gè)數(shù)的和為.故答案為：818414．（2020·江蘇姜堰中學(xué)高二月考）我國(guó)的《洛書》中記載著世界上最古老的幻方：將1，2，…，9填入方格內(nèi)使三行、三列、兩條對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖所示．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，…，填入個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對(duì)角線上數(shù)的和為，例如，，，……，那么10階幻方的對(duì)角線上數(shù)的和__．【答案】505．【分析】推導(dǎo)出，由此利用等差數(shù)列求和公式能求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可知，幻方對(duì)角線上的數(shù)成等差數(shù)列，，，，，所以.故答案為：505．15．（2021·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的成就在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意得出等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，從而求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)槊恳恍械臄?shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，且第一行數(shù)字和為，第二行數(shù)字和為，第三行數(shù)字和為，所以該等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比，所以，所以，所以.故答案為：.16．（2022·全國(guó)）1967年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙德爾布羅的文章《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？》標(biāo)志著幾何概念從整數(shù)維到分?jǐn)?shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分?jǐn)?shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對(duì)象的數(shù)學(xué)分支——分形幾何.分形幾何不只是扮演著計(jì)算機(jī)藝術(shù)家的角色，事實(shí)表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來(lái)得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長(zhǎng)度為a，在線段AB上取兩個(gè)點(diǎn)C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個(gè)正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對(duì)圖2中的線段EC?ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個(gè)圖形(圖1為第一個(gè)圖形)中的所有線段長(zhǎng)的和為，若存在最大的正整數(shù)a，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則a的值為___________.【答案】1010【分析】由題設(shè)知每次的增量是前一次增量的倍，增量通項(xiàng)為，進(jìn)而可得，結(jié)合題設(shè)恒成立即可求最大的正整數(shù)a.【詳解】由題設(shè)知：且，圖2相對(duì)圖1：線段長(zhǎng)度之和的增量為，圖3相對(duì)圖2：線段長(zhǎng)度之和的增量為，圖4相對(duì)圖3：線段長(zhǎng)度之和的增量為，…圖n相對(duì)圖：線段長(zhǎng)度之和的增量為，∴，要使對(duì)任意的正整數(shù)n成立，∴，即，又a為正整數(shù)，∴.故答案為：1010.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意寫出線段和在每次操作后增量的通項(xiàng)，進(jìn)而得到第n次線段和，結(jié)合數(shù)列不等式恒成立求參數(shù)的最大值.四、解答題17.（2021·山東日照·高三開學(xué)考試）我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來(lái)的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先找出遞推關(guān)系，利用遞推關(guān)系即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式帶入求出列的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即可求出即可計(jì)算實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由“楊輝三角”的定義可知：，時(shí)，所以有故（2）數(shù)列滿足，①當(dāng)時(shí)，，②得：，故：，數(shù)列滿足：，則：，由于恒成立，故：，整理得：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，所以．18．（2021·福建三明一中高三）黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍