第8講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(原卷版+解析)

第8講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【題型精講】題型（一）三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2021·湖北·高三月考）已知點為角終邊上一點，，且，則（）A．2 B． C．1 D．2．（2021·全國·模擬預(yù)測（文））已知點是角終邊上一點，且，則等于（）A． B． C． D．3．（2021·河南·高三月考（理））已知，則（）A． B． C． D．4．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設(shè)，，則的值為（）A． B． C． D．5．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考）若，則（）A． B． C． D．6．（2021·全國·高三月考）已知，則__________．題型（二）三角函數(shù)的圖象與解析式1．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知的一段圖象如圖所示，則（）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象2．（2021·安徽·高三開學(xué)考試（理））如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，將的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得的圖象，則=（）A． B． C． D．3．（2021·全國全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)經(jīng)過變換可得，則下列變換正確的是（）A．先將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍B．先將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍C．先將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍D．先將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍題型（三）三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2021·北京十五中高三期中）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．的一個周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位可以得到函數(shù)的圖象D．在上單調(diào)遞減2．（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有_______（1）的圖象關(guān)于中心對稱（2）在上單調(diào)遞減（3）的圖象關(guān)于對稱（4）的最大值為33．（2021·寧夏·平羅中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，給出以下說法：①將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象；②的圖象關(guān)于直線x=1對稱；③的圖象關(guān)于點成中心對稱；④在上單調(diào)遞減.其中所有正確說法的編號是___________【課后精練】一、單選題1．（2021·全國·高三月考（理））玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數(shù)千年來始終以其獨特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫.某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：）如圖所示，則該壁畫的扇面面積約為（）A． B． C． D．2．（2021·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．勒洛三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸．機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成勒洛三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來．如在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）我國扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長為，長為，則扇面的面積為（）A． B． C． D．4．（2021·江西柴?！じ呷驴迹ɡ恚┖瘮?shù)的圖象大致形狀為（）．A． B．C． D．5．（2021·全國·高三月考）已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，且對任意實數(shù)，都有．將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)描述不正確的是（）A．最小正周期是 B．最大值是C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．圖象關(guān)于直線對稱6．（2021·全國·高三月考（理））已知，且，則（）A． B． C． D．7．（2021·河南·高三月考（文））將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的最小值為（）A． B． C． D．第8講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【題型精講】題型（一）三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2021·湖北·高三月考）已知點為角終邊上一點，，且，則（）A．2 B． C．1 D．【答案】C【詳解】因為點在角的終邊上，所以.因為，所以，所以，則，解得.故選：C.2．（2021·全國·模擬預(yù)測（文））已知點是角終邊上一點，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因點是角終邊上一點，則有，而，于是得，解得，則，因此，，所以等于.故選：A3．（2021·河南·高三月考（理））已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，兩邊平方得，則，則.故選：B.4．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三期中（文））設(shè)，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，平方得到，，，，，而，；令，則，，，故選：．5．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三月考）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：.故選：B.6．（2021·全國·高三月考）已知，則__________．【答案】6【詳解】因為，所以，即，所以，所以．故答案為：6應(yīng)用三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式的注意事項(1)當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候要注意分情況解決,機械地使用三角函數(shù)的定義就會出現(xiàn)錯誤。(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系開方運算時,一定要注意三角函數(shù)的符號;利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等。題型（二）三角函數(shù)的圖象與解析式1．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三月考（理））已知的一段圖象如圖所示，則（）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的是一個奇函數(shù)的圖象【答案】C【詳解】解：由圖可知，，所以，解得，所以，又函數(shù)過點，即，所以，解得，因為，所以，所以，故A錯誤；因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故B錯誤；令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：C2．（2021·安徽·高三開學(xué)考試（理））如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，將的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得的圖象，則=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圖象可得，，∴，根據(jù)五點法作圖知，，∴，又，∴∴∴故選：D.3．（2021·全國全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)經(jīng)過變換可得，則下列變換正確的是（）A．先將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍B．先將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍C．先將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍D．先將的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍【答案】D【詳解】因為，，對A項，先將的圖象向右平移個單位長度得到，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍得到，故錯誤；對B項，先將的圖象向右平移個單位長度得到，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到，故錯誤；對C項，先將的圖象向左平移個單位長度得到，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到，故錯誤；對D項，先將的圖象向左平移個單位長度得到，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍得到，故正確，故選：D．1三角函數(shù)圖象變換的易錯點在圖象變換中務(wù)必分清是先平移,還是先伸縮,變換只是相對于其中的自變量而言的,如果的系數(shù)不是1就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向。2.由“圖”定“式”,找“對應(yīng)”的方法已知圖象求函數(shù)的解析式時,常用的方法是待定系數(shù)法.由圖中的最高點、最低點或特殊點求,,由函數(shù)的周期確定,確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解,其中一般把第一個零點作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點的位置.題型（三）三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．（2021·北京十五中高三期中）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．的一個周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位可以得到函數(shù)的圖象D．在上單調(diào)遞減【答案】D由題可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴函數(shù)的最小正周期為，故A正確，當(dāng)時，，故B正確，將函數(shù)的圖象向左平移個單位可以得到函數(shù)，故C正確，當(dāng)時，，函數(shù)先增后減，故D錯誤.故選：D.2．（2021·天津·靜海一中高三月考）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有_______（1）的圖象關(guān)于中心對稱（2）在上單調(diào)遞減（3）的圖象關(guān)于對稱（4）的最大值為3【答案】（1）（3）（4）【詳解】由題設(shè)，，（1），故的圖象關(guān)于中心對稱，正確；（2）上有，由正弦函數(shù)的性質(zhì)知：在上不單調(diào)，錯誤；（3），故的圖象關(guān)于對稱，正確；（4）由正弦函數(shù)的性質(zhì)知：的最大值為3，正確.故答案為：（1）（3）（4）3．（2021·寧夏·平羅中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，給出以下說法：①將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象；②的圖象關(guān)于直線x=1對稱；③的圖象關(guān)于點成中心對稱；④在上單調(diào)遞減.其中所有正確說法的編號是___________【答案】①②③【詳解】令函數(shù)周期為T，觀察圖象得，即，則，又當(dāng)時，取得最大值，于是有，因，則有，所以，因，即g(x)的圖象可以由y=f(x)的圖象向左平移個單位長度得到，①正確；由得函數(shù)圖象的對稱軸為，于是得直線x=1是g(x)圖象的一條對稱軸，②正確；由得，圖象的對稱中心為，則點是圖像的一個對稱中心，③正確；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，④錯誤.故答案為：①②③提分技巧解與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)問題的注意點三角函數(shù)的性質(zhì)主要是指單調(diào)性、周期性、奇偶性和最值,解題時要注意以下兩點:一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)時,首先要將函數(shù)化為的形式,再對比的性質(zhì)，即把看成一個整體處理，但是一定要保證,否則易出錯，二是一定要結(jié)合圖象進行分析.【課后精練】一、單選題1．（2021·全國·高三月考（理））玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數(shù)千年來始終以其獨特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人.玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫.某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：）如圖所示，則該壁畫的扇面面積約為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)，，由弧長公式可得解得，，設(shè)扇形，扇形的面積分別為，則該壁畫的扇面面積約為.故選：.2．（2021·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形．勒洛三角形的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，即能在距離等于其圓弧半徑（等于正三角形的邊長）的兩條平行線間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩直線都接觸．機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成勒洛三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來．如在勒洛三角形ABC內(nèi)隨機選取一點，則該點位于正三角形ABC內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可得正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形的面積S曲＝S扇形CAB+2S拱＝22+2（S扇形﹣S△ABC）＝3﹣222＝2π﹣2，三角形ABC的面積S△ABC＝＝，所以由幾何概型的概率公式可得：所求概率＝＝，故選：A．3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）我國扇文化歷史悠久，其中折扇扇面是由兩個半徑不同的同心圓，按照一定的圓心角被剪而成，如圖所示，該扇面的圓心角為，長為，長為，則扇面的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，則，，則，所以扇面的面積.故選：.4．（2021·江西柴?！じ呷驴迹ɡ恚┖瘮?shù)的圖象大致形狀為（）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因為，所以定義域為，且，即為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故排除C、D；當(dāng)時，，，所以，故排除B；故選：A5．（2021·全國·高三月考）已知函數(shù)圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為，且對任意實數(shù)，都有．將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)描述不正確的是（）A．最小正周期是 B．最大值是C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．圖象關(guān)于直線對稱【答案】C【詳解】由條件知，函數(shù)的最小正周