第5章 第4節(jié)　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入-2022屆高三數(shù)學一輪復習講義（新高考）

第四節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入一、教材概念·結論·性質重現(xiàn)1．復數(shù)的有關概念內容意義備注復數(shù)的定義設a，b∈R，形如a＋bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中實部為a，虛部為b，i叫做虛數(shù)單位a＋bi為實數(shù)?b＝0，a＋bi為虛數(shù)?b≠0，a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0復數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數(shù)z＝a＋bi，eq\x\to(z)＝c＋di?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復數(shù)a(a∈R)的共軛復數(shù)是a復平面建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi||z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(1)復數(shù)構成的集合叫做復數(shù)集，記為C．(2)in(n∈N*)具有周期性，且最小正周期為4，其性質如下：①i4n＝1(n∈N*)，i4n＋1＝i(n∈N)，i4n＋2＝－1(n∈N)，i4n＋3＝－i(n∈N)．②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.2．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)加法的幾何意義若復數(shù)z1，z2對應的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共線，則復數(shù)z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))為兩鄰邊的平行四邊形的對角線eq\o(OZ,\s\up6(→))所對應的復數(shù)．(2)復數(shù)減法的幾何意義復數(shù)z1－z2是eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))所對應的復數(shù)．3．復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(4)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．4．常用結論(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)方程x2＋x＋1＝0沒有解．(×)(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中，虛部為bi． (×)(3)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大?。?×)(4)原點是實軸與虛軸的交點． (√)(5)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模． (√)2．若復數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A解析：因為z為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))所以x＝－1.3．在復平面內，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B．若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋iC解析：因為A(6,5)，B(－2,3)，所以線段AB的中點C(2,4)，則點C對應的復數(shù)為z＝2＋4i.4．若復數(shù)z滿足iz＝2－2i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)eq\x\to(z)在復平面內對應的點所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：由題意，因為z＝eq\f(2－2i,i)＝eq\f(2－2i·－i,i·－i)＝－2－2i，所以eq\x\to(z)＝－2＋2i，則z的共軛復數(shù)eq\x\to(z)對應的點在第二象限．5．設z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝________.1解析：因為z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，所以|z|＝1.考點1復數(shù)的有關概念——基礎性1．(2020·新鄉(xiāng)一模)若eq\f(1－3i,1＋2i)與ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)ai))的虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)a的值為()A．－2B．2C．－1D．1D解析：因為eq\f(1－3i,1＋2i)＝eq\f(1－3i1－2i,5)＝eq\f(－5－5i,5)＝－1－i，虛部為－1，ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)ai))＝eq\f(1,2)a＋ai，虛部為a，所以a－1＝0，即a＝1.2．(2020·濰坊一模)已知z為復數(shù)，i為虛數(shù)單位．若復數(shù)eq\f(z－i,z＋i)為純虛數(shù)，則|z|＝()A．2B．eq\r(2)C．1D．eq\f(\r(2),2)C解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，所以復數(shù)eq\f(z－i,z＋i)＝eq\f(a＋b－1i,a＋b＋1i)＝eq\f([a＋b－1i][a－b＋1i],a2＋b＋12)＝eq\f(a2＋b2－1－2ai,a2＋b＋12).因為復數(shù)eq\f(z－i,z＋i)為純虛數(shù)，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝eq\r(a2＋b2)＝1.3．(2020·青島二模)若復數(shù)z滿足(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|(其中i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的共軛復數(shù)eq\x\to(z)的虛部為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)iC解析：由(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|得(eq\r(3)－i)z＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以z＝eq\f(2,\r(3)－i)＝eq\f(2\r(3)＋i,\r(3)－i\r(3)＋i)＝eq\f(2\r(3)＋i,4)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)的虛部為－eq\f(1,2).解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數(shù)是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．考點2復數(shù)的幾何意義——應用性(2020·嘉祥模擬)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，eeq\s\up8(eq\f(π,3)i)表示的復數(shù)位于復平面中的()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A解析：根據(jù)題意eix＝cosx＋isinx，故eeq\s\up8(eq\f(π,3)i)＝coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，表示的復數(shù)在第一象限．1．本例若把條件改為“已知復數(shù)z滿足z(1＋2i)＝4＋3i(i為虛數(shù)單位)”，求復數(shù)eq\x\to(z)在復平面內對應的點所在的象限．解：因為z(1＋2i)＝4＋3i，則z＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(10－5i,5)＝2－i，故eq\x\to(z)＝2＋i，對應的點在第一象限．2．本例若把條件改為“設復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)”，求x，y滿足的關系式．解：由題意可得：z＝x＋yi，z－i＝x＋(y－1)i，|z－i|＝eq\r(x2＋y－12)＝1，故x2＋(y－1)2＝1.3．本例若把條件改為“△ABC的三個頂點對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|”，z對應的點是否為△ABC的外心？解：是．由復數(shù)的幾何意義知，復數(shù)z對應的點到△ABC三個頂點距離都相等，故z對應的點是△ABC的外心．復數(shù)幾何意義問題的解題策略(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))間的相互聯(lián)系：z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題簡單化．若復數(shù)z＝eq\f(1＋mi,1＋i)在復平面內對應的點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．解：z＝eq\f(1＋mi,1＋i)＝eq\f(1＋mi1－i,2)＝eq\f(1＋m,2)＋eq\f(m－1,2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)＞0，,\f(m－1,2)＜0，))所以－1<m<1，故m的取值范圍為(－1,1)．考點3復數(shù)的運算——綜合性考向1復數(shù)的乘法運算(1)(2020·山東省實驗高考預測)已知復數(shù)z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，則實數(shù)a＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．2D．－2D解析：因為z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因為z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.(2)(2020·柳州一模)若復數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)為單位，則z＝()A．1－i B．1＋iC．－1－i D．－1＋iA解析：因為eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，所以eq\x\to(z)＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.復數(shù)乘法運算的要點復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可，但要注意把i2換成－1.考向2復數(shù)的除法運算(1)(2020·畢節(jié)一診)已知i為虛數(shù)單位，若z(1＋i)2＝2＋i，則z＝()A．eq\f(1,2)－i B．－eq\f(1,2)＋iC．－eq\f(1,2)－i D．eq\f(1,2)＋iA解析：由z(1＋i)2＝2＋i得z＝eq\f(2＋i,1＋i2)＝eq\f(2＋i,2i)＝eq\f(2＋i·－2i,2i·－2i)＝eq\f(2－4i,4)＝eq\f(1,2)－i.(2)已知a∈R，i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)∈R，則復數(shù)z＝________.eq\r(3)解析：因為復數(shù)z＝eq\f(a＋\r(3)i,\r(3)＋i)＝eq\f(a＋\r(3)i\r(3)－i,\r(3)＋i\r(3)－i)＝eq\f(\r(3)1＋a＋3－ai,4)＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＋eq\f(3－a,4)i∈R，所以eq\f(3－a,4)＝0，即a＝3.則復數(shù)z＝eq\f(\r(3)1＋a,4)＝eq\f(4\r(3),4)＝eq\r(3).求解復數(shù)除數(shù)問題的注意點除法的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．考向3復數(shù)運算的綜合應用(1)(2020·銀川三模)若復數(shù)z與其共軛復數(shù)eq\x\to(z)滿足z－2eq\x\to(z)＝1＋3i，則|z|＝()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)A解析：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－2eq\x\to(z)＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝eq\r(2).(2)已知復數(shù)z＝－1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(z＋2,z2＋z)＝()A．－1 B．1C．－i D．iA解析：因為z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，則z2＋z＝－1－i，所以eq\f(z＋2,z2＋z)＝eq\f(1＋i,－1－i)＝eq\f(1＋i－1＋i,－1－i－1＋i)＝eq\f(－2,2)＝－1.故選A．(1