2.4.2 圓的一般方程 同步練習（含解析）-2024-2025學年高二上學期數(shù)學選擇性必修第一冊人教A版2019

.4.2圓的一般方程（同步練習）一、選擇題1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一個圓的方程，則實數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))2.若點P(1,1)在圓x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，則實數(shù)k的取值范圍是()A.(－2，＋∞)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))D.(－2,2)3.當圓C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面積最小時，m的值為()A.4B.3C.2D.14.已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，則圓C的圓心的軌跡是()A.點B.直線C.線段D.圓5.當方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積時，直線y＝(k－1)x＋2的傾斜角α等于()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(π,5)6.圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a的值為()A.0B.1C.2D.37.(多選)圓x2＋y2－4x－1＝0()A.關于點(2,0)對稱B.關于直線y＝0對稱C.關于直線x＋3y－2＝0對稱D.關于直線x－y＋2＝0對稱8.(多選)如果圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在到原點的距離為eq\r(2)的點，那么實數(shù)a的值可以是()A.－2 B.0 C.1 D.3二、填空題9.過三點O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圓的一般方程為___________________10.已知△ABC的頂點A(0,0)，B(4,0)，且AC邊上的中線BD的長為3，則頂點C的軌跡方程是______________11.已知點A(1,2)在圓x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外部，則實數(shù)m的取值范圍是________12.已知圓C經(jīng)過點(4,2)，(1,3)和(5,1)，則圓C與兩坐標軸的四個截距之和為________三、解答題13.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)寫出圓心坐標和半徑．14.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圓的一般方程；(2)若點M(a,2)在△ABC的外接圓上，求a的值．15.點A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點，點B(1，1)是圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．(1)求線段AP的中點M的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程．參考答案及解析：一、選擇題1.C解析：根據(jù)題意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－eq\f(1,4).2.C解析：因為點P(1,1)在圓x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1－1＋k>0，,1＋1－4k>0，))解得－2<k<eq\f(1,2).3.D解析：由圓C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，從而對于圓C的半徑r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以當m＝1時，r2取得最小值，此時圓C的面積最小．4.D解析：∵圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．5.C解析：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化為標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2，所以當k＝0時圓的半徑最大，面積也最大，此時直線的斜率為－1，故傾斜角為eq\f(3π,4).6.C解析：由于圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圓心為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，圓x2＋y2－4x＋3＝0的圓心為N(2,0)，又兩圓關于直線x－y－1＝0對稱，故有eq\f(1－0,\f(a,2)－2)×1＝－1，解得a＝2.7.ABC解析:x2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，即圓心的坐標為(2,0)．A項，圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(2,0)是圓心，故正確；B項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線y＝0過圓心，故正確；C項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x＋3y－2＝0過圓心，故正確；D項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x－y＋2＝0不過圓心，故不正確．8.ACD解析：圓(x－a)2＋(y－a)2＝8的圓心(a，a)到原點的距離為|eq\r(2)a|，半徑r＝2eq\r(2)，由圓(x－a)2＋(y－a)2＝8上總存在點到原點的距離為eq\r(2)，得2eq\r(2)－eq\r(2)≤|eq\r(2)a|≤2eq\r(2)＋eq\r(2)，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.故選ACD.二、填空題9.答案：x2＋y2－8x＋6y＝0解析：設過三點O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))故所求圓的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0.10.答案：(x－8)2＋y2＝36(y≠0)解析：設C(x，y)(y≠0)，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).∵B(4,0)，且AC邊上的中線BD長為3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－4))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．11.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－13，\f(13,4)))解析：由點A(1,2)在圓x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部．得1＋4＋2＋6＋m>0，解得m>－13．又由4＋9－4m>0得m<eq\f(13,4)，所以－13<m<eq\f(13,4)．12.答案：－2解析：設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋4＋4D＋2E＋F＝0，,1＋9＋D＋3E＋F＝0，,25＋1＋5D＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20，))所以圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，則y2＋4y－20＝0，由根與系數(shù)的關系得y1＋y2＝－4；令y＝0，則x2－2x－20＝0，由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝2，故圓C與兩坐標軸的四個截距之和為y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.三、解答題13.解：(1)由表示圓的充要條件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<eq\f(1,5)，即實數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))).(2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標準方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圓心坐標為(－m,1)，半徑r＝eq\r(1－5m).14.解：(1)設△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC的外接圓的一般方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC的外接圓的方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0，易知M的一個坐標為(2,2)，即a＝2，又點M(a,2)在△ABC的外接圓上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝6，綜上，a＝2或6.15.解：(1)設線段AP的中點M(x，y)，由中點坐標公式，得點P的坐標為(2x－2