數(shù)學(xué)學(xué)案：第三章第節(jié)歸納與類比（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．1歸納推理1．理解歸納推理的含義,能利用歸納推理進(jìn)行簡單的推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．2．了解歐拉公式的概念．1．根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，我們將這種推理方式稱為________．歸納推理是由______到______,由______到______的推理．歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，得到的結(jié)論不一定正確，其正確性還有待于嚴(yán)格的證明或舉例說明其結(jié)論的不正確性．2．歐拉公式：一個(gè)凸多面體中,多面體的面數(shù)(F）、棱數(shù)（E）、頂點(diǎn)數(shù)（V)，它們之間的關(guān)系為________．【做一做1－1】由集合｛a1}，｛a1,a2｝，{a1，a2，a3｝，…的子集個(gè)數(shù)歸納出集合｛a1,a2，a3，…,an｝的子集個(gè)數(shù)為（）．A．n B．n＋1 C．2n D．2n－1【做一做1－2】在某報(bào)《自測健康狀況》的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表．觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中“________”處．年齡/歲3035404550556065收縮壓/毫米汞柱110115120125130135____145舒張壓/毫米汞柱707375788083____88答案:1．歸納推理部分整體個(gè)別一般2．V－E＋F＝2【做一做1－1】C由前三個(gè)集合子集的個(gè)數(shù)分別為21，22，23，可歸納得出｛a1,a2，a3，…，an｝的子集個(gè)數(shù)為2n.【做一做1－2】140851．如何判斷由歸納推理得到的結(jié)論的正確與否？剖析:歸納推理是根據(jù)已經(jīng)知道的一類事物中個(gè)別事物具有的屬性推斷出所有這類事物所具有的共性，有時(shí)結(jié)論正確，有時(shí)結(jié)論不正確．在歸納結(jié)論時(shí)，要對(duì)大量的個(gè)體進(jìn)行觀察，其正確性還需要通過嚴(yán)格的證明,不正確的結(jié)論只需舉出一個(gè)特例說明即可．2．歸納推理的一般步驟是什么？剖析：（1)通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；(2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題，并且在一般情況下，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結(jié)論也就越可靠,學(xué)習(xí)中要通過實(shí)例去分析、歸納問題的一般性命題，加強(qiáng)應(yīng)用．特別注意，由歸納推理所獲得的結(jié)論,僅僅是一種猜測，并不一定可靠，其可靠性需要通過證明．(1）歸納推理是我們探求數(shù)學(xué)問題的一種重要方法和途徑,通過歸納推理可以發(fā)現(xiàn)許多未知的內(nèi)容．（2）對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法,常用歸納猜想,然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．（3）數(shù)論問題也常常是由個(gè)別事例的發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想得出一般性的結(jié)論．例如，哥德巴赫猜想：一個(gè)偶數(shù)（大于4)可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和．題型一觀察找規(guī)律【例題1】將自然數(shù)0,1,2，…，按照如下形式進(jìn)行擺放：根據(jù)以上規(guī)律判定，從2008到2010的箭頭方向是（）．反思:注意尋找規(guī)律，找到圖形隨數(shù)字變化的規(guī)律，然后進(jìn)行預(yù)測猜想．題型二根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)【例題2】如圖是一個(gè)面積為1的三角形，現(xiàn)進(jìn)行如下操作．第一次操作：分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，構(gòu)成4個(gè)三角形，挖去中間一個(gè)三角形（如圖①中陰影部分所示），并在挖去的三角形上貼上數(shù)字標(biāo)簽“1”;第二次操作：連接剩余的3個(gè)三角形三邊的中點(diǎn),再挖去各自中間的三角形（如圖②中陰影部分所示），同時(shí)在挖去的3個(gè)三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“2";第三次操作：連接剩余的各三角形三邊的中點(diǎn)，再挖去各自中間的三角形，同時(shí)在挖去的三角形上都貼上數(shù)字標(biāo)簽“3”；……如此下去，記第n次操作后剩余圖形的總面積為an。…①②（1)求a1，a2；（2)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽上的數(shù)字和Sn。分析：寫出前幾項(xiàng)，歸納出第n項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行求和．反思：本題由圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每次挖去的三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，從而問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法求出．題型三探索不等式成立的條件【例題3】猜想不等式1＋eq\f(1,\r（2))＋eq\f(1，\r(3）)＋…＋eq\f（1,\r（n)）＞eq\r(n＋1）滿足什么條件時(shí)成立？分析：不等式的左邊不能合并，但當(dāng)n取較小的自然數(shù)時(shí)，可以合并，n可從1開始取值進(jìn)行探討．反思：有些結(jié)論是在某些條件下成立,不一定恒成立，需探究其成立的條件．答案：【例題1】A本題中的數(shù)字及箭頭方向都有一定的規(guī)律．箭頭每經(jīng)過四個(gè)數(shù)就要重復(fù)出現(xiàn)，即以4為周期變化.2008恰好是4的倍數(shù),應(yīng)該與0的起始位置相同．【例題2】解：(1）a1＝eq\f(3,4）,a2＝eq\f(9，16)。(2）設(shè)第n次操作挖去bn個(gè)三角形，則{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，即bn＝3n－1，所以挖去的所有三角形上所貼標(biāo)簽的數(shù)字的和Sn＝1×1＋2×3＋…＋n×3n－1，則3Sn＝1×3＋2×32＋…＋（n－1)×3n－1＋n×3n.兩式相減，得－2Sn＝(1＋3＋…＋3n－1)－n×3n＝eq\f(3n－1，2)－n×3n，故Sn＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（n，2）－\f（1，4)））×3n＋eq\f（1，4).【例題3】解：當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝eq\r(1＋1)＝eq\r（2），不等式不成立．當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋eq\f（1,\r(2))＝eq\f(2＋\r(2)，2），右邊＝eq\r（1＋2）＝eq\r(3)＝eq\f(\r(12)，2）。∵2＋eq\r(2）＜eq\r(12)，∴左邊＜右邊,不等式不成立．當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝1＋eq\f(1，\r(2））＋eq\f(1，\r（3)）＝eq\f（6＋3\r（2）＋2\r（3），6)，右邊＝eq\r(3＋1)＝2，左邊＞eq\f(6＋3×1。4＋2×1。7,6）＝eq\f(6.8，3)＞2＝右邊．∴不等式成立．猜想當(dāng)n∈N＋且n≥3時(shí)不等式成立．1數(shù)列1,5,10，16,23,31,x,50，…中的x等于(）．A．38 B．39 C．40 D．41答案：C前6項(xiàng)從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差分別為4,5,6,7,8，可得x＝31＋9＝40。2已知數(shù)列｛an}滿足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1）,則當(dāng)n≥1時(shí)，an等于(）．A．2n B。C．2n－1 D．2n－1答案：Ca0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2,a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，……猜想當(dāng)n≥1時(shí)，an＝23如下圖所示的三角形數(shù)陣中,滿足：(1)第1行的數(shù)為1;（2）第n(n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加．則第n(n≥2)行中第2個(gè)數(shù)是__________．(用n表示)1223434774511141156162525166………………答案:如題圖，2＝1＋1，4＝（1＋2）＋1,7＝（1＋2＋3）＋1，11＝(1＋2＋3＋4）＋1.歸納猜想,第n行第2個(gè)數(shù)為[1＋2＋3＋…＋(n－1）]＋1＝。4在如下數(shù)表中,已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，第1列 第2列 第3列 …第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 …… … … …那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________．答案：n2＋n觀察數(shù)表可知，第n行的第1個(gè)數(shù)為n,且第n行的數(shù)列的公差為n，