數(shù)學(xué)學(xué)案：第三講一平行射影

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精一平行射影1．掌握正射影的概念，理解平行射影的概念，能確定平行射影的形狀．2．掌握橢圓的定義,知道橢圓是圓柱的一種截面．1．正射影（1）定義:給定一個平面α，從一點A作平面α的______,垂足為點A′.稱_____為點A在平面α上的正射影．一個圖形上_____在平面α上的正射影所組成的____，稱為這個圖形在平面α上的正射影．（2)圓面的正射影：一個圓所在的平面β與平面α平行,那么該圓在平面α上的正射影顯然是______，并且是和原來的圓相同的圓；如果圓所在的平面β與平面α不平行且不垂直時，從生活經(jīng)驗我們知道，正射影的形狀發(fā)生了變化,就好像一個圓被壓扁了,我們稱之____；如果圓所在的平面β與平面α垂直時，那么該圓在平面α上的正射影是______,其長度等于圓的直徑．一個圖形在一個平面上的正射影與圖形和平面的位置關(guān)系有關(guān)，如一條直線，當它和平面α垂直時,它在平面α上的正射影是一個點;當它和平面α斜交時，它在平面α上的正射影是一條直線；它和平面α平行時，它在平面α上的正射影是一條與原直線平行的直線．【做一做1】△ABC在平面α上的正射影是()A．三角形B．直線C．線段D．三角形或線段2．平行射影定義:設(shè)直線l與平面α______(如圖),稱直線l的方向為投影方向．過點A作____于l的直線(稱為投影線）必交α于一點A′,稱____為A沿l的方向在平面α上的平行射影．一個圖形上______在平面α上的平行射影所組成的____,叫做這個圖形的平行射影．顯然,正射影是______的特例．平行射影的性質(zhì)：（1)直線的平行射影是直線或一個點，線段的平行射影是線段或一個點；（2）平行直線的平行射影是平行或重合的直線或兩個點;(3）平行于投影面的線段，它的平行射影與這條線段平行且等長;（4）與投影面平行的平面圖形，它的平行射影與這個圖形全等；（5）在同一直線或平行直線上的兩條線段的平行射影(不是點)的比等于這兩條線段的比．【做一做2】兩條異面直線m和n在平面α上的平行射影是(）A．一條直線和直線外一個點B．兩條相交直線C．兩條平行直線D．以上都有可能3．橢圓（1）定義：平面上到兩個定點的距離之____等于____的點的軌跡叫做橢圓．（2)抽象概括：用一個平面去截一個圓柱，當平面與圓柱的兩個底面______時,截面是一個圓；當平面與圓柱的兩個底面______時，截面是一個橢圓（如圖）．【做一做3】平面上兩個定點A和B的距離為5,動點P到A，B的距離之和為常數(shù)m，若動點P的軌跡是橢圓，則m的取值范圍是（）A．(0，5)B．（5,＋∞）C．(0，＋∞）D．R答案：1．（1）垂線點A′各點圖形(2）一個圓橢圓一條線段【做一做1】D當△ABC所在平面垂直于α時，△ABC在α上的正射影是一條線段，否則是三角形．2．相交平行點A′各點圖形平行射影【做一做2】D當m和n中有一條直線與投影方向平行時，它們的平行射影是一個點和一條直線;否則是兩條平行直線或相交直線．3．(1）和定長(2)平行不平行【做一做3】B當m＜5時，不表示任何圖形；當m＝5時，軌跡是線段AB；當m＞5時，軌跡是橢圓．1．平行射影與正射影的區(qū)別與聯(lián)系剖析：對于平行射影，取不同的投影方向，同一個圖形的平行射影所組成的圖形也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向與平面垂直時的一種特殊情況．因而我們可以從兩個不同的角度加以考慮,并且要注意這二者的區(qū)別與聯(lián)系,從而才能完整、全面地看待問題．例如，如下圖所示，直線l與平面α所成的角是45°，交點為A．在l上取不同于A的另一點B，過點B作BC⊥α于C．則l在平面α上的正射影是直線AC．當投影方向與l相同時，l在平面α上的平行射影是一個點，即點A，當投影方向垂直于平面α時，l在平面α上的平行射影是直線AC，此時平行射影和正射影是相同的．2．點的射影與圖形的射影間的區(qū)別與聯(lián)系剖析：圖形是由點組成的集合，因而圖形的射影是被投影圖形上各點在平面α上的射影的集合，所以，要找到一個圖形的射影只需找到組成這個圖形的關(guān)鍵點的射影即可．一平行射影題型一對平行射影的理解【例題1】下列說法正確的是（)A．正射影和平行射影是兩種截然不同的射影B．投影線與投影平面有且只有一個交點C．投影方向可以平行于投影平面D．一個圖形在某個平面上的平行射影是唯一的反思：圖形的平行射影與兩個因素有關(guān)：一個是投影方向，一個是投影平面．正確地理解平行射影的有關(guān)概念，是解決平行射影問題的關(guān)鍵．題型二判斷平行射影的形狀【例題2】如圖，點E，F(xiàn)分別為正方體的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的圖的序號都填上）反思：判斷平行射影的形狀時，常常先確定圖形中各頂點的射影，再依次連接各頂點的射影即可；同一圖形在平行平面上的平行射影是相同的．答案：【例題1】B正射影是平行射影的特例,本質(zhì)是相同的，故選項A錯誤；投影線與投影平面只能相交，選項B是正確的，選項C是錯誤的；一個圖形在一個平面上的平行射影與投影方向有關(guān)，方向改變了，就可能得到不同的平行射影，故選項D錯誤．【例題2】（2)(3）對四邊形BFD1E在正方體的六個面上的正射影都要考慮到，并且對于圖形要考慮所有點的正射影，又知線段由兩個端點唯一確定,故考查四邊形BFD1E的射影，只需同時考查點B,F，D1，E在各個面上的正射影即可．四邊形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均為(2)圖；四邊形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均為(3）圖．1一個圖形的正射影是一條線段，這個圖形不可能是(）A．線段B．圓C．梯形D．長方體2下列說法正確的是(）A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一個圖形的平行射影和正射影相同D．圓的平行射影不可能是圓3如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點,則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為下列各圖中的（）4梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α內(nèi)，則它在平面α上的平行射影是________．5關(guān)于直角∠AOB在平面α內(nèi)的平行射影有如下判斷：①可能是0°的角；②可能是銳角;③可能是直角;④可能是鈍角；⑤可能是180°的角，其中正確判斷的序號是____________．答案：1．D當線段、圓、梯形所在的平面與投影面垂直時，它們的正射影都是一條線段，很明顯長方體的正射影不可能是一條線段．2．B正射影是平行射影的特例，則選項A不正確,選項B正確；對同一個圖形，當投影線垂直于投影面時，其平行射影就是正射影,否則不相同，則選項C不正確；當投影線垂直于投影面，且圓面平行于投影面時，圓的平行射影是圓，則選項D不正確．3．A點D在平面ADD1A1上的正射影是它本身；點M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中點；點N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中點，則陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為選項A中的圖形．4．一條線段或一個梯形如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，則梯形ABCD在平面α上的平行射影是一條線段．如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，由于平行線的平行射