一元二次方程（教學(xué)設(shè)計(jì)）-九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課系列

21.1一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.1一元二次方程，內(nèi)容包括：一元二次方程的概念及其一般式。2.內(nèi)容解析一元二次方程的概念，與得出一元一次方程的概念過程類似，教材先給出計(jì)算滿足條件的正方形面積、計(jì)算滿足條件的參賽隊(duì)數(shù)等實(shí)際問題，用方程的思想建立數(shù)學(xué)模型，通過觀察方程的特點(diǎn)，歸納、總結(jié)得到一元二次方程的概念。根據(jù)一元二次方程的概念，教材給出其一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為：a、b、c，需注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的原因及系數(shù)前的符號(hào)問題?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：通過一元一次方程的概念，類比得出一元二次方程的概念。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)1）通過一元一次方程的概念，探索歸納一元二次方程的概念，提高學(xué)生類比、歸納、總結(jié)的能力；

2）掌握一元二次方程的一般形式，正確識(shí)別一般形式中的二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。2.目標(biāo)解析通過7年級(jí)上冊(cè)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特點(diǎn)為：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1(次)，且方程兩邊都是等式。本節(jié)課我們根據(jù)實(shí)際問題列方程，用方程的思想建立數(shù)學(xué)模型，觀察化簡(jiǎn)后的方程與一元一次方程的結(jié)構(gòu)有相似的地方，它們都只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且方程兩邊都是等式，但未知數(shù)的次數(shù)是2(次)。由此學(xué)生通過觀察，根據(jù)一元一次方程的概念嘗試類比，歸納總結(jié)得出一元二次方程的概念。在探索的過程中，提高學(xué)生類比、歸納、總結(jié)的能力。一元二次方程的一般形式有兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：1）忽略二次項(xiàng)系數(shù)≠02）判斷二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)需考慮符號(hào)問題。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0時(shí)，方程為ax2+bx+c=0（一元二次方程）。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，方程為bx+c=0（一元一次方程）。達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能正確判斷一元二次方程。達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：將方程化為一般形式，并準(zhǔn)確判斷其二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。三、教學(xué)問題診斷分析一元二次方程的概念是在學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，它既是對(duì)一元一次方程知識(shí)的鞏固和拓展，也是后面學(xué)習(xí)一元二次方程，二次函數(shù)的基礎(chǔ)。因此掌握好本節(jié)課的內(nèi)容能夠加深學(xué)生對(duì)一元二次方程的理解，并且將為學(xué)生今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，嘗試總結(jié)歸納一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，加深學(xué)習(xí)理解與記憶。學(xué)生通過課堂學(xué)習(xí)能掌握一元二次方程的概念及一般式，但是在實(shí)際應(yīng)用過程中還是會(huì)遇到問題。問題1：判斷二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)時(shí)可能會(huì)錯(cuò)誤。錯(cuò)誤原因：對(duì)運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào)理解不清。問題2：根據(jù)一元一次方程和一元二次方程的定義，計(jì)算滿足條件未知數(shù)的值。錯(cuò)誤原因：一元二次方程遺漏二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的前提條件。（參見例4）基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：1）一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)；2）正確識(shí)別一般形式中的二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課一元一次方程的概念：只含有_______未知數(shù)（元），未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元一次方程。一元一次方程的一般形式：___________________________________。答案：一個(gè)；1；整式；ax+b=01．下列方程中，是一元一次方程的是()A．x2?4x=3 B．C．x+2y=1 D．

xy?3=52．如果方程ax|a+1|+3＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為_____答案：1.B2.-2師生活動(dòng)：師生共同回顧一元一次方程的相關(guān)知識(shí)，從而引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過問題引入課題，引起學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。（二）新知探究【問題1】正方形桌面的面積是9m2，求它的邊長(zhǎng)？師：根據(jù)題干信息列方程表示?！締栴}2】有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng)100㎝,寬50㎝,在它的四角各切去一個(gè)正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個(gè)無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600cm2【問題3】如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m。如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？【問題4】要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)申?duì)之間都要比賽一場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參加比賽?師生活動(dòng)：學(xué)生思考，獨(dú)立完成?！驹O(shè)計(jì)意圖】利用現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)例，讓學(xué)生通過觀察思考，感受列方程并化簡(jiǎn)的過程，體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué)，引起學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣，從而引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。追問1：觀察下列各方程有什么共同點(diǎn)？x2=9x2?75x+350=0x2＋12x-15＝0師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生共同歸納：①等號(hào)兩邊都是整式②只有一個(gè)未知數(shù)③未知數(shù)最高次數(shù)是2追問2：結(jié)合一元一次方程的概念，你發(fā)現(xiàn)了什么？師生活動(dòng)：先由學(xué)生嘗試歸納總結(jié)，再由教師給出一元二次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)是2，等號(hào)兩邊都是整式，這類方程應(yīng)該叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式為：追問3：為什么a≠0。師生活動(dòng)：先由學(xué)生回答，老師幫助引導(dǎo)與完善，得到：如：a=0，則原方程為一元一次方程。追問4：根據(jù)一元一次方程的解的概念，嘗試總結(jié)一元二次方程的解的概念。師生活動(dòng)：先由學(xué)生回答，老師幫助引導(dǎo)與完善，再由教師給出一元二次方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷合作探究過程，通過觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，結(jié)合一元一次方程的概念概括一元二次方程的概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力。（三）典例分析例1：判斷下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是請(qǐng)說明原因?(1)x2+1

x-5=0(2)x3-3x+7=0(3)x2-2y+1=0(4)ax2+bx+c=0(5)4x2＋3x－2=(2x-1)答案：1）--5）均不是一元二次方程。師生活動(dòng)：先讓學(xué)生以小組為單位積極討論，再由學(xué)生代表給出答案并說明原因，教師板演。針對(duì)訓(xùn)練：1．下列方程中，一元二次方程有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2?1xA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．根據(jù)下列問題,列出關(guān)于x的方程,并將其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:(1)一個(gè)長(zhǎng)方形的寬比長(zhǎng)少3,面積是75,求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x;(2)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積為168,求較大的偶數(shù)x;(3)一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)的和是20,面積是25,求其中一條直角邊的長(zhǎng)x.師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，再由學(xué)生給出答案，教師板演?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)使學(xué)生理解一元二次方程的概念，通過一元二次方程的特點(diǎn)準(zhǔn)確判定一元二次方程。例2：將下列方程化為一般形式，并判斷二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)1）3x(x?1)=5(x+2)2）3答案：1）一般式為：3x2?8x?10=0，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為：3、-8、-2)一般式為：3x2師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，再由學(xué)生口述解題過程，教師板演。這個(gè)過程中教師需強(qiáng)調(diào)判斷二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)時(shí)需帶上前面的符號(hào)。針對(duì)訓(xùn)練：答案：師生活動(dòng)：讓學(xué)生積極回答問題，調(diào)動(dòng)課堂氣氛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教師板演。【設(shè)計(jì)意圖】掌握一元二次方程的一般形式，能夠快速準(zhǔn)確判斷二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。例3：若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，則（）A．a(chǎn)+b+c＝1 B．a(chǎn)﹣b+c＝0 C．a(chǎn)+b+c＝0 D．a(chǎn)﹣b﹣c＝0師生活動(dòng)：由學(xué)生代表給出答案，并說明原因。教師補(bǔ)充：因?yàn)閤=1是原方程的解，將它帶入方程，方程兩邊相等，得a+b+c＝0，所以答案選C.針對(duì)訓(xùn)練：1．若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為_______________．2.已知x＝n是關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一個(gè)根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．師生活動(dòng)：先由學(xué)生獨(dú)立思考，再由學(xué)生給出答案，并說明解題方法，教師板演。【設(shè)計(jì)意圖】掌握一元二次方程解的概念。（四）知識(shí)歸納【問題】一元一次方程與一元二次方程有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，加深學(xué)生理解?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過歸納總結(jié)，加深學(xué)生理解一元一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，在課堂上允許學(xué)生有不同的見解，積極鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言回答問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（五）當(dāng)堂鞏固例4：關(guān)于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0,1）在什么條件下此方程為一元二次方程？2）在什么條件下此方程為一元一次方程？答案：1）a≠22）a=2例5：a為何值時(shí)，方程a?1x答案：解：∵方程a?1x∴a?1≠0a+1=2∴a=?1師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生解題，加深理解二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的原因。能力提高：1．已知關(guān)于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，問：（1）k為何值時(shí)，此方程是一元一次方程？（2）k為何值時(shí)，此方程是一元二次方程？并寫出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．答案：解：（1）∵2k+1x2+4kx+k?1=0∴2k+1=04k≠0，解得（2）∵2k+1x∴2k+1≠0即k≠∴這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為2k+1，一次項(xiàng)系數(shù)為4k，常數(shù)項(xiàng)為k-12．簡(jiǎn)答題：（1）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程m2（2）已知關(guān)于x的一元二次方程m2?1x（3）在第（2）題中，如果要使已知方程有一個(gè)根是l，那么m應(yīng)該等于什么數(shù)？答案：解：（1）∵關(guān)于x的方程m2?1x∴m2?1≠0，解得：（2）∵關(guān)于x的一元二次方程m2∴將x=0代入m2?1x（3）∵關(guān)于x的一元二次方程m2∴將x=1代入m2?1x【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，加深學(xué)生理解一元一元一次方程與一元二次方程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。（六）感受中考1．（2022廣東14/23）若x=1是方程x2?2x+a=0的根，則a=2．（2022資陽市14/24）若a是一元二次方程x2+2x?3=0的一個(gè)根，則答案：1）12）6【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)最近幾年的中考試題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受到中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn).（七）課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？還有什么疑惑？1.簡(jiǎn)述一元二次方程的概念？2.說出一元二次方程的一般形式？為什么二次項(xiàng)系數(shù)不能為0？3.一元一次方程與一元二次方