數學（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試數學·全解全析第Ⅰ卷選擇題一、選擇題（共16分，每小題2分）第1~8題均有四個選項，符合題意的只有一個．1．光在真空中的速度約為每秒30萬千米，用科學記數法表示為（

）千米/秒A． B． C． D．【答案】B【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數，按要求表示即可．【詳解】解：光在真空中的速度約為每秒30萬千米，光在真空中的速度約為30萬千米/秒，30萬千米千米，3后面有5個0，用科學記數法表示為千米/秒，故選：B．【點睛】本題考查科學記數法，按照定義，確定與的值是解決問題的關鍵．2．下列圖形不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A、不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖形重合．3．如圖，，交于點F，平分，已知，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線的性質可得，，結合角平分線的定義可得，由此可解．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的性質，掌握平行線的性質，熟練進行等量代換是解題的關鍵．4．已知實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，則下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得：，，然后根據不等式的性質即可判斷A、B、D的正誤，得出，可得，故可判斷選項C錯誤.【詳解】解：由題意可得：，，∴，，，故選項A正確，選項B、D錯誤，∵，∴，故選項C錯誤；故選：A.【點睛】本題考查了實數和數軸以及不等式的性質，熟練掌握不等式的性質，正確作出判斷是解題關鍵.5．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直徑，∠BAC=40°，則∠D的度數是（

）A．40° B．50° C．60° D．90°【答案】B【分析】先根據圓周角定理求出∠ACB的度數，再由直角三角形的性質求出∠ABC的度數，根據圓周角定理即可得出∠D的度數．【詳解】解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∵∠BAC=40°，∴∠ACB=90°-40°=50°，∵∠D與∠ACB是同弧所對的圓周角，∴∠D=∠ACB=50°．故選B.【點睛】本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．6．若點，，都在反比例函數的圖象上，則，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征．所有反比例函數圖象上的點的坐標都滿足該函數的解析式．將點分別代入反比例函數，求得，的值后，再來比較一下它們的大?。驹斀狻俊唿c都在反比例函數的圖象上，故選：C．7．如圖，“矩”在古代指兩條邊成直角的曲尺，它的兩邊長分別為．中國古老的天文和數學著作《周髀算經》中簡明扼要地闡述了“矩”的功能：“平距以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可測物體的高度．如圖，從“矩”的一端望向樹頂端的點，使視線通過“矩”的另一端，測得，．若“矩”的邊，邊，則樹高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的應用，由已知易證明，得到，代入已知數據即可求解，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，，，，∵，∴，∴，即，∴，∴，故選：．8．興趣小組同學借助數學軟件探究函數的圖象，輸入了一組a，b的值，得到了它的函數圖象，借助學習函數的經驗，可以推斷輸入的a，b的值滿足（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】本題考查函數的圖象；能夠通過已學的反比例函數自變量的取值范圍確定b的取值是解題的關鍵．由圖象可知，當時，，可知；由函數自變量的取值范圍可得，結合函數圖象可得；從而可得答案.【詳解】解：由圖象可知，當時，，∴；由函數自變量的取值范圍可得，結合函數圖象可得；故選：A．第Ⅱ卷非選擇題二、填空題（共16分，每小題2分）9．二次根式在實數范圍內有意義，x的取值范圍是．【答案】【分析】由二次根式在實數范圍內有意義，可得2?x≥0，繼而求得答案．【詳解】解：∵二次根式在實數范圍內有意義，∴2?x≥0，解得：x≤2．故答案是：x≤2．【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件．注意二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．10．已知，化簡求值：．【答案】【分析】先將小括號內的式子進行通分計算，然后再算括號外面的，最后利用整體代入思想代入求值即可．【詳解】解：，，，，原式，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則，采用整體代入的思想是解題的關鍵．11．將拋物線先向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的新拋物線解析式為．【答案】【點睛】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，直接根據二次函數圖象平移的法則“上加下減，左加右減”即可得出結論．【詳解】解：將拋物線先向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的新拋物線解析式為，故答案為：．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，AC=2，那么AB的長為．【答案】6【分析】根據余弦的定義可得，代入AC=2即可求得【詳解】解：如圖，故答案為：6【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關鍵，在中，．13．如圖，已知點P是反比例函數上的一點，則矩形的面積為．【答案】3【分析】本題主要考查了反比例函數中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為．熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵點P是反比例函數圖象上的一點，∴矩形．故答案為：3．14．如圖，，，三點在半徑為的上，是的一條弦，且于點，若，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握垂徑定理．根據題意可得，再根據勾股定理即可求解．【詳解】解：是的一條弦，且于點，，，，，，故答案為：．15．如圖，與關于點成中心對稱，，則的長是．【答案】5【分析】根據中心對稱的性質以及勾股定理即可求解的長．【詳解】解：∵與關于點成中心對稱∴點在同一直線上，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查中心對稱的性質以及勾股定理，熟練掌握成中心對稱的圖形對應邊相等，對應角相等的性質以及勾股定理是解決本題的關鍵．16．某單位承擔了一項施工任務，完成該任務共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；②完成工序A后方可進行工序B，工序C可與工序A，B同時進行；③完成工序D后方可進行工序E，工序F可與工序D，E同時進行；④完成各道工序所需時間如下表所示：工序ABCDEFG所需時間/天11152817163125（1）在不考慮其它因素的前提下，該施工任務最少天完成；（2）現因情況有變，需將工期縮短到80天，工序A，C，D每縮短1天需增加的投入分別為5萬元，4萬元，6萬元，其余工序所需時間不可縮短，則所增加的投入最少是萬元．【答案】86；38【分析】本題主要考查了邏輯推理，有理數混合運算的應用，解題的關鍵是理解題意，列出算式準確計算．（1）在完成C的同時完成A、B，然后完成D，E的同時完成F，最后完成G，列式計算即可；（2）根據題意可以縮短A工序2天，縮短C工序4天，縮短D工序2天，然后列出算式進行計算即可．【詳解】解：（1）在完成C的同時完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同時完成F最少需要天，完成G需要25天，∴在不考慮其它因素的前提下，該施工任務最少需要：（天）；故答案為：86；（2）（天），∴至少需要將整個任務縮短6天，∵B，E，F，G不可縮短，∴工序最多可以縮短天，∵天，∴只縮短工序2天，A工序可以不縮短，然后工序每縮短1天，C工序就要縮短1天，∴當縮短A工序2天，縮短C工序4天，縮短D工序2天，正好可以將工期縮短到80天，此時增加的投入最少，且最少為：（萬元），故答案為：38．三、解答題（共68分，17~20題，每題5分，21題6分，22~23題，每題5分，24~26題，每題6分，27~28題，每題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．（5分）計算：．【答案】【分析】此題主要考查了實數的運算和三角函數，利用特殊角的三角函數值，負整數指數冪法則，二次根式的化簡以及絕對值的代數意義計算即可求出值．【詳解】解：原式．18．（5分）解不等式組：.【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組．分別求出兩個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”即可求解．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為．19．（5分）已知，求代數式的值.【答案】【分析】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．先根據完全平方公式和多項式乘多項式進行計算，合并同類項，求出，最后代入求出答案即可．【詳解】原式∵，∴，原式．20．（5分）已知關于x的一元二次方程．(1)當該方程有兩個不相等的實數根時，求的取值范圍；(2)當該方程的兩個實數根互為相反數時，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（）根據根的情況確定參數的范圍，由即可求解；（）利用根與系數的關系得出，解方程即可；此題考查了根的判別式和一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式，當方程有兩個不相等的實數根時，；當方程有兩個相等的實數根時，；當方程沒有實數根是解題的關鍵時，，熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，．【詳解】（1）∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：，∴的取值范圍是；（2）設，是關于的一元二次方程的兩個實數根，則，解得：．21．（6分）如圖，在等腰直角中，是邊上任意一點（不與重合），將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接．(1)求的度數；(2)若，求的長．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了旋轉的性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質、三角形全等的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）由等腰直角三角形的性質可得，由旋轉的性質可得：，，從而得到，證明得出，從而得到；（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，從而得出，最后由勾股定理進行計算即可．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，，由旋轉的性質可得：，，，即，，，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，在中，根據勾股定理．22．（5分）為迎接2022年冬奧會，鼓勵更多的學生參與到志愿服務中來，甲、乙兩所學校組織了志愿服務團隊選拔活動，經過初選，兩所學校各400名學生進入綜合素質展示環(huán)節(jié)．為了了解兩所學校學生的整體情況，從兩校進入綜合素質展示環(huán)節(jié)的學生中分別隨機抽取了50名學生的綜合素質展示成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲學校學生成績的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：，，，，，）：b．甲學校學生成績在這一組的是：80

80

81

81.582

83

83

84

8586

86.5

87

8888.5

89

89c．乙學校學生成績的平均數、中位數、眾數、優(yōu)秀率（85分及以上為優(yōu)秀）如下：平均數中位數眾數優(yōu)秀率83.38478根據以上信息，回答下列問題：（1）甲學校學生A，乙學校學生B的綜合素質展示成績同為83分，這兩人在本校學生中的綜合素質展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；（2）根據上述信息，推斷______學校綜合素質展示的水平更高，理由為____________________________（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）；（3）若每所學校綜合素質展示的前120名學生將被選入志愿服務團隊，預估甲學校分數至少達到_________分的學生才可以入選．【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位數高于甲校，乙校的優(yōu)秀率高于甲校；（3）88.5【分析】（1）先算出甲校的中位數，發(fā)現A的成績在中位數前，而讀表得出B的成績在中位線以下，以此判斷排名；（2）計算出甲校的中位數，優(yōu)秀率，比較回答即可；（3）先計算90-100分的人數為96人，不夠120人，要從80-90分之間補充，設需要補充x個人，根據題意，得，解得x即可．【詳解】解：（1）甲校共有50名學生，則中位數為第25位和第26位的平均成績由直方圖和題干數據得，第25位和第26位的成績?yōu)椋?1和81.5∴中位數為：∵A成績?yōu)?3分，高于中位數，則A排名在甲校為前半部分∵B成績?yōu)?3分，低于乙校中位數84，則B排名在乙校為后半部分故A的排名更靠前；故答案為：A；（2）乙校，理由如下：甲校的優(yōu)秀率為：，由（1）甲校的中位數是81.25分，乙校的中位數是84，優(yōu)秀率為46%，從中位數，優(yōu)秀率兩個方面比較看出，乙校都高于甲校，故乙校高，故答案為：乙校，乙校的中位數高于甲校，乙校的優(yōu)秀率高于甲校；（3）根據題意，90-100分的人數為為：人，不夠120人，要從80-90分之間補充，設需要補充x個人，根據題意，得，解得x=3，而這個3個數依次為89，89，88.5，至少要88.5分，故答案為：88.5．【點睛】本題考查了中位數，數據的集中趨勢，直方圖，樣本估計總體，熟練掌握中位數的定義，直方圖的意義，用樣本估計總體的思想是解題的關鍵．23．（5分）在平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于點和點Q．(1)求m的值及點Q的坐標；(2)已知點，過點N作平行于x軸的直線交直線與雙曲線分別為點和．當時，直接寫出的取值范圍是．【答案】(1)，點的坐標為；(2)或【分析】該題主要考查了一次函數和反比例函數綜合，重點掌握一次函數和反比例函數圖象和性質，解析式求解，交點問題；（1）點代入直線求出，點代入雙曲線求出，聯立直線與雙曲線求出點的坐標；（2）分兩種情況畫圖解答即可；【詳解】（1）解：將點代入直線得：，故點，將點代入雙曲線得：，故雙曲線為聯立直線與雙曲線得：或2，故點的坐標為，故答案為：，；（2）解：如圖，當直線在點P上方時，，此時，，即；

如圖，當直線在點Q上方x軸下方時，，此時，，即；綜上，或；

24．（6分）如圖，為的直徑，弦于，連接、，過點作的切線，的平分線相交于點，交于點，交于點，交于點，連接．(1)求證：；(2)若，，求長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據垂徑定理得到，，證明即可；（2）根據圓周角定理得到，由垂徑定理得到，，求出，利用勾股定理得到，根據，，得到，結合是的平分線，推出，易得，由證明，得到，即可求解．【詳解】（1）證明：為的直徑，，，，在與中，，，；（2）解：，，，，，，，，，是的平分線，，，，，，，即，．【點睛】本題考查了圓與三角形的綜合題，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，三角形全等的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，證明三角形相似是解題的關鍵．25．（6分）學校組織九年級學生進行跨學科主題學習活動，利用函數的相關知識研究某種化學試劑的揮發(fā)情況．在兩種不同的場景A和場景B下做對比實驗，設實驗過程中，該試劑揮發(fā)時間為x分鐘時，在場景A，B中的剩余質量分別為，(單位：克)．下面是某研究小組的探究過程，請補充完整：記錄，與x的幾組對應值如下：x(分鐘)05101520…(克)2523.52014.57…(克)252015105…(1)在同一平面直角坐標系中，描出上表中各組數值所對應的點，并畫出函數的圖象；(2)進一步探究發(fā)現，場景A的圖象是拋物線的一部分，與x之間近似滿足函數關系．場景B的圖象是直線的一部分，與x之間近似滿足函數關系．請分別求出場景A，B滿足的函數關系式；(3)查閱文獻可知，該化學試劑的質量不低于4克時，才能發(fā)揮作用．在上述實驗中，記該化學試劑在場景A，B中發(fā)揮作用的時間分別為，則(填“＞”，“=”或“＜”)．【答案】(1)見解析；(2)，；(3)＞【分析】本題主要考查了二次函數的應用，讀懂題意是解答本題的關鍵．（1）依據題意，根據表格數據描點，連線即可作圖得解；（2）根據函數圖象確定點的坐標，利用待定系數法解答即可；（3）依據題意，分別求出當時x的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意，作圖如下．；（2）解：由題意，場景A的圖象是拋物線的一部分，與x之間近似滿足函數關系.又點在函數圖象上，∴．解得：．∴場景A函數關系式為．對于場景B的圖象是直線的一部分，與x之間近似滿足函數關系又在函數圖象上，∴．解得：．∴場景B函數關系式為．（3）解：由題意，當時，場景A中，場景B中，，解得：，∴．26．（6分）在平面直角坐標系中，點，在拋物線上．(1)當時，求拋物線的對稱軸；(2)若拋物線經過點，當自變量x的值滿足時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；(3)當時，點，在拋物線上．若，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)；(2)a的取值范圍是或；(3)或【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系以及二次函數圖象上點的坐標特征，關鍵是利用數形結合和分類討論的思想進行解答．（1）當時，，為拋物線上的對稱點，根據對稱性求出對稱軸；（2）把，代入拋物線解析式得出a，b的關系，然后求出對稱軸，再分和，由函數的增減性求出a的取值范圍；（3）先畫出函數圖象，再根據確定m的取值范圍．【詳解】（1）解：∵，為拋物線上的對稱點，∴，拋物線的對稱軸；（2）解：∵過，，∴，，，∴對稱軸．①當時，∵時，y隨x的增大而增大，∴，，∴．②當時，∵時，y隨x的增大而增大，∴，，∴，綜上：a的取值范圍是或；（3）解：∵點在拋物線上，，∵點，在拋物線上，∴對稱軸為直線，①如圖所示：

，且，；②如圖所示：

，，，綜上所述，m的取值范圍為或．27．（7分）如圖，在中，，．是邊上一點（不與點B重合且），將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，．(1)求的度數；(2)是的中點，連接并延長，交的延長線于點，依題意補全圖形．若，用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．【答案】(1)；(2)圖形見解析；；證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、直角三角形的性質；（1）取的中點，連接，構造即可解決問題；（2）過點作交于點，構造即可解決問題；正確添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，在中，，，，是等邊三角形，線段繞點逆時針旋轉得到線段，，即是等邊三角形，，，即，，；（2）如圖，過點作交于點，由（1）可知：，，，，，，，，，是的中點，，，，，，．28．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，點，．對于一個角（），將一個圖形先繞點順時針旋轉，再繞點逆時針旋轉，稱為一次“對稱旋轉”．(1)點在線段上，則在點，，，中，有可能是由點經過一次“對稱旋轉”后得到的點是________；(2)軸上的一點經過一次“對稱旋轉”得到點．①當時，________；②當時，若軸，求點的坐標；(3)以點為圓