專題07 相似三角形中的重要模型-手拉手模型（解析版）

專題07相似三角形中的重要模型-手拉手模型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。手拉手模型相似是手拉手模型當(dāng)中相對(duì)于手拉手全等模型較難的一種模型，在實(shí)際的應(yīng)用和解題當(dāng)中出現(xiàn)時(shí)，對(duì)于同學(xué)們來說，都比較困難。而深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）。手拉手相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，（即△COD∽△AOB）；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE.例1．（2022·山西·壽陽縣九年級(jí)期末）問題情境：如圖1所示，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DEBC，在圖1中將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，然后將BD、CE分別延長至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖3，請(qǐng)解答下列問題：(1)猜想證明：若AB=AC，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：①在圖2中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________．②在圖3中，猜想∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)拓展應(yīng)用：其他條件不變，若AB=AC，按上述操作方法，得到圖4，請(qǐng)你繼續(xù)探究：∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系？AM與AN的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的猜想．【答案】(1)①BD=CE；②∠MAN=∠BAC，見解析(2)∠MAN=∠BAC，AM=AN【分析】（1）①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根據(jù)題意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可證△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接類比（1）中結(jié)果可知AM=AN，∠MAN=∠BAC．(1)①∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE∵由旋轉(zhuǎn)可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，②∠MAN=∠BAC理由：如圖1，∵DE∥BC∴△BAC∽△DAE∵AB=AC，∴AD=AE∵由旋轉(zhuǎn)可得：∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=∠BAD∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ACE=∠ABD∵DM=BD，EN=CE∴BM=CN△ABM≌△ACN∴∠BAM=∠CAN∴∠BAM-∠CAM=∠CAN-∠CAM即∠MAN=∠BAC；(2)結(jié)論：∠MAN=∠BAC，AM=AN∵△ABC∽△ADE，∴∴∵∠CAE=∠DAE+∠CAD，∠BAD=∠BAC+∠CAD，∴∠CAE=∠BAD，∴△ADB∽△AEC，∴∵DM=BD，EN=CE∵∠ADM=∠ABD+∠BAD，∠AEN=∠ACE+∠CAE，∴∠ADM=∠AEN，∴△ADM∽△AEN，∴AM：AN=AD：AE=，∴∠DAM=∠EAN，∴∠NAE+∠MAE=∠NAE+∠MAE，∴∠MAN=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠MAN=∠BAC．AM=k?AN，∠MAN=∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022?新鄉(xiāng)中考模擬）在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，請(qǐng)?zhí)剿鹘獯鹣铝袉栴}．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，點(diǎn)D，E分別在CA，AB上，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是，直線CD與BE的夾角為；【類比探究】（2）如圖2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則CD與BE之間是否滿足（1）中的數(shù)量關(guān)系？說明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若m＝2，將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線．請(qǐng)直接寫出CD的長．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，延長CD、BE交于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，AE＝AD，證明△CAD∽△BAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）分點(diǎn)E在線段BD上、點(diǎn)D在線段BE上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直線CD與BE的夾角為45°，故答案為：BE＝CD，45°；（2）不滿足，BE＝CD，直線CD與BE的夾角為30°，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，延長CD、BE交于點(diǎn)F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∴＝，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直線CD與BE的夾角為30°；（3）如圖3，點(diǎn)E在線段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如圖4，點(diǎn)D在線段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，綜上所述：當(dāng)B，E，D三點(diǎn)共線．CD的長為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·山東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．【答案】BD＝CE，BD⊥CE；BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接BD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)題意可知，Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD，∴，∴．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．在旋轉(zhuǎn)前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，∴，∴．∴，在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉(zhuǎn)后，得，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．例4．（2022·山東·東營市一模）【提出問題】（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由見解析．【分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論．（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．例5．（2022?長垣市一模）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，∠CDE＝∠BAC＝α，CD＝ED，連接BE，EC．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若α＝60°，則∠EBA＝，AD與EB的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比探究：如圖②，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出∠EBA的度數(shù)及AD與EB的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)E為正方形ABCD的邊AB上的三等分點(diǎn)，以DE為邊在DE上方作正方形DEFG，點(diǎn)O為正方形DEFG的中心，若OA＝，請(qǐng)直接寫出線段EF的長度．【分析】（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，則∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°；（2）證△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，得，再證△BCE∽△ACD，得∠EBC＝∠DAC＝90°，＝，則∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝135°，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）連接BD，①當(dāng)AE＝AB時(shí)，證△AOD∽△BED，得，求出AB＝3＝AD，則AE＝1，在Rt△AED中，由勾股定理求出ED＝即可；②當(dāng)BE＝AB時(shí)，同①得：，求出AB＝6＝AD，則AE＝4，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝2即可．【解答】解：（1）∵α＝60°，∴∠ABC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，∵AB＝AC，CD＝ED，∴△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，∴∠EBA＝∠ABC+∠CBE＝120°，故答案為：120°，AD＝EB；（2）∠EBA＝135°，EB＝AD，理由如下：∵α＝90°，∴∠CDE＝∠BAC＝90°，∵CD＝ED，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，∴，∴，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC＝∠DAC＝90°，，∴∠EBA＝∠EBC+∠ABC＝90°+45°＝135°，∵，∴，∴EB＝AD；（3）連接BD，分兩種情況：①當(dāng)AE＝AB時(shí)，如圖③所示：∵四邊形DEFG是正方形，∴EF＝ED，對(duì)角線FD與EG互相垂直平分，∴△DEO是等腰直角三角形，∴＝sin45°＝，在Rt△ABD中，＝sin45°＝，∴，∵∠ODA+∠ADE＝45°＝∠BDE+∠ADE，∴∠ODA＝∠BDE，∴△AOD∽△BED，∴，∴，∵OA＝，∴AB＝3＝AD，∴AE＝AB＝1，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝，∴EF＝ED＝；②當(dāng)BE＝AB時(shí)，如圖④所示：同①得：，∴，∵OA＝，∴AB＝6＝AD，∴AE＝AB＝4，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED＝＝＝2，∴EF＝ED＝2；綜上所述，線段EF的長度為或2．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．例6.（2022·成都市·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，，理由見解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，則可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，由題意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3【答案】A【解析】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，選A．2.如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點(diǎn)O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，連接BD，BF，若點(diǎn)E是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56A．①② B．③④ C．②③ D．②③④【答案】D【解析】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正確，在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=3∵△ABC∽△ADE，∴DEAE=BCAC=53，∵BF=12DE∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴無法判斷△AOD∽△FOB，故①錯(cuò)誤．選D．3、如圖，正方形的邊長為8，線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段的長最小時(shí)，______．【分析】連接BD，BF，F(xiàn)D，證明△EBC∽△FBD，根據(jù)題意，知道M，F(xiàn)，D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，然后過點(diǎn)M作MG⊥BD，垂足為G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理分別求出MG和DG的長，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【詳解】解：連接BD，BF，F(xiàn)D，如圖，∵，∴，∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，∴∠FBD=∠EBC，∴△EBC∽△FBD，∴∠FDB=∠ECB，，∴DF=，由題意知：FM、DF、DM三條線段滿足FM+DF≥MD，其中DM、DF的值一定，∴當(dāng)M，F(xiàn)，D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為G，∵∠MBN=45°，BM=AB=4，∴MN=BN=2，∵M(jìn)D==4，∴DG==6，∴=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，手拉手相似模型，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形面積，線段最值模型，熟練構(gòu)造相似模型，準(zhǔn)確確定線段最小值的條件是解題的關(guān)鍵．4．（2022?虹口區(qū)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）判斷△ABD與△ACE是否相似？并證明．【分析】（1）由∠BAD＝∠CAE，可得∠BAC＝∠DAE，又有∠ABC＝∠ADE，即可得出相似；（2）有（1）中可得對(duì)應(yīng)線段成比例，又有以對(duì)應(yīng)角相等，即可判定其相似．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE．（2）△ABD∽△ACE．證明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴，∴AB×AE＝AC×AD，∴，∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握．5．（2023·浙江·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△ABC和△PBD為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；（2）過點(diǎn)作，求得，根據(jù)題意可得，可得，再根據(jù)，判定，得到，即可求解；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)在線段或當(dāng)在線段延長線上時(shí)，設(shè)根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形∴，∴在和中∴∴（2）過點(diǎn)作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時(shí)，∴，∴由勾股定理得∴∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵∴又∵，∴∴∴∴（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長度當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：由題意可得：∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則當(dāng)在線段延長線上，如下圖：則，由（2）得，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得則綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·重慶·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究：如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)拓展延伸:如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)成立(3)【分析】（1）利用可證明，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣．（3）首先得出，從而判定，得到，根據(jù)，，得到，從而判定，得出結(jié)論．（1）證明：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（2）解：結(jié)論仍成立；理由如下：、是等邊三角形，，，，，在和中，，，．（3）解：；理由如下：，，∴，又∵，，∴，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．7．（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為斜邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；【探究證明】如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一條直線上時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；【拓展延伸】如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，過點(diǎn)C作CA⊥BD于A．將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為（0°＜＜360°），當(dāng)C，D，E在同一條直線上時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．【答案】BD＝CE，BD⊥CE；BD⊥CE，理由見解析；圖見解析，【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）連接BD，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為點(diǎn)F．根據(jù)題意可知，Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD，∴，∴．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．在旋轉(zhuǎn)前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，∴，∴．∴，在Rt△ACD中，CD邊上的高，旋轉(zhuǎn)后，得，∴．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．8．（2022·山東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長度【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）PB的長為或．【分析】（1）由條件證明△ABD≌△ACE，即可得∠ABD=∠ACE，可得出∠BPC=90°，進(jìn)而得出BD⊥CP；（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結(jié)論；(3)分為點(diǎn)E在AB上和點(diǎn)E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠CAE=∠BAD+∠BAE，即∠BAD=∠CAE．∵和是等腰直角三角形，∴，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠CAB=90°，∴∠ACF+∠AFC=90°，∴∠ABP+∠BFP=90°．∴∠BPF=90°，∴BD⊥CP；（1）中結(jié)論成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=AC，（2）在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AD=AE，∴∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ADB∽△AEC．∴∠ABD=∠ACE同（1）得；（3）解：∵和是等腰直角三角形，∴，①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AC-AE=1．∵∠EAC=90°∴CE=．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴∴．∴PB=．②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，BE=5．∵∠EAC=90°，∴CE=5．同（1）可證△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴．∴．∴PB=．綜上所述，PB的長為或．【點(diǎn)睛】此題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣東·深圳市九年級(jí)期中）（1）如圖1，Rt△ABC與Rt△ADE，∠ADE＝∠ABC＝90°，，連接BD，CE．求證：．（2）如圖2，四邊形ABCD，∠BAD＝∠BCD＝90°，且，連接BC，BC、AC、CD之間有何數(shù)量關(guān)系？小明在完成本題中，如圖3，使用了“旋轉(zhuǎn)放縮”的技巧，即將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)你根據(jù)以上思路直接寫出BC，AC，CD之間的關(guān)系．（3）拓展：如圖4，矩形ABCD，E為線段AD上一點(diǎn)，以CE為邊，在其右側(cè)作矩形CEFG，且，AB＝5，連接BE，BF．求BE+BF的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件直接證明，再證明，從而可得，設(shè)，則,根據(jù)勾股定理求得,求得，即可得證；（2）根據(jù)題意可知，，設(shè)則,求得,分別求得,根據(jù)，即可求得；（3）根據(jù)（2）的方法，旋轉(zhuǎn)放縮,縮小為原來的，使得的落點(diǎn)為,的落點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn),交的延長線于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接,則,當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等于號(hào)，接下來根據(jù)相似的性質(zhì)分別求得各邊的長度，最后根據(jù)勾股定理求得即可求得最小值【詳解】（1）∠ADE＝∠ABC＝90°，即設(shè)，則,（2）∠BAD＝∠BCD＝90°，且將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并放大2倍，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)D．點(diǎn)C落點(diǎn)為點(diǎn)E，，，三點(diǎn)共線，，設(shè)則（3）如圖，設(shè),將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并縮小為原來的，使得的落點(diǎn)為,的落點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn),交的延長線于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接則，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等于號(hào)由作圖知:，且,，AB＝5,四邊形是矩形在中在中，四邊形是矩形,四邊形是矩形,在中，的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)放縮法構(gòu)造相似三角形，線段和最值問題，勾股定理，正確的作出圖形和輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2023·綿陽市·九年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長CA，BD相交于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.

∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.

∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.

即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.

∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．11．（2023·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）不成立，理由見解析；（3）2【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問題；（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問題；（3）首先證明AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問題；【詳解】（1）如圖①中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=BE2+EC2．故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．理由：如圖②中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC∵=，=，∴，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2．（3）如圖③中，∵∠AED=45°，D，E，C共線，∴∠AEC=135°，∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°，∵∠ADE=∠DBE=90°，∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE，∴DE=BD，∵EC=BD，∴AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，∴AC=2，在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，∴x=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴AD=DE=2，∴BD=BE=2，∴S△BDE=×2×2=2．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．12．（2023··廣西一模）如圖，和均為等腰直角三角形，．現(xiàn)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，若三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)B到直線的距離；（2）如圖2，連接，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)G在線段上，且，在內(nèi)部有一點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出的最小值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易證，從而可得，，再求的CE邊高即可；（2）通過倍長中線構(gòu)造，得，由即可證明；（3）利用費(fèi)馬點(diǎn)模型構(gòu)造圖形，過點(diǎn)G作，且，過點(diǎn)G作，且，可得，，將問題由轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間距離最短即可解答．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∵若三點(diǎn)共線，∴，如圖，過B點(diǎn)作BH⊥CE交CE延長線于點(diǎn)H，∴，∴，即：點(diǎn)B到直線的距離為；（2）延長CF到N，使FN=CF，連接BN，∵FD=FB，，∴（SAS）∴，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，又∵，∴，∴，即，（3）的最小值為；過程如下：如解圖3，過點(diǎn)G作，且，過點(diǎn)G作，且，連接OC、、，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，僅當(dāng)C、O、、在同一條直線上等號(hào)成立；如解圖4，過點(diǎn)作，垂足為H，過點(diǎn)作，垂足為P，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，涉及了三角形旋轉(zhuǎn)全等和旋轉(zhuǎn)相似的綜合、解三角形等知識(shí)點(diǎn)，解（2）關(guān)鍵是倍長中線構(gòu)造三角形全等證明；解（3）關(guān)鍵是掌握費(fèi)馬點(diǎn)求最值模型，利用旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化線段關(guān)系．13．（2022?南山區(qū)校級(jí)一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明．（3）【解決問題】如圖③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝10，O為AC的中點(diǎn)．若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)，連接OE，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）連接AF，由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)共線，AC＝，AF＝AG，從而得出答案；（2）連接AF，AC，利用△CAF∽△DAG，得CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，從而解決問題；（3）連接CE，利用SAS證明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE＝45°，則∠DCE＝90°，可知當(dāng)OE⊥CE時(shí)，OE最小，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出答案．【解答】解：（1）連接AF，∵四邊形AEFG、ABCD是正方形，∴∠GAF＝45°，∴點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)共線，∴AC＝，AF＝AG，∴CF＝GD，故答案為：CF＝GD，45°；（2）仍然成立，連接AF，AC，∵∠CAD＝∠FAG＝45°，∴∠CAF＝∠DAC，，∴△CAF∽△DAG，∴CF＝DG，∠ACF＝∠ADG，∴∠COD＝∠CAD＝45°，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；（3）連接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠DCE＝90°，∴當(dāng)OE⊥CE時(shí)，OE最小，∵AC＝10，O為AC的中點(diǎn)．∴OC＝5，∵∠OCE＝45°，∴OE＝OC＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)型相似是解題的關(guān)鍵．14、某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量