專題05 線段、角、對(duì)角線的計(jì)數(shù)模型（解析版）

專題05.線段、角、對(duì)角線的計(jì)數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對(duì)角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)、多邊形的對(duì)角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計(jì)數(shù)模型1）線段的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023春·山東淄博·七年級(jí)?？计谥校┫旅鎴D形中共有線段()條．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】分別以為線段的一個(gè)端點(diǎn)找出線段即可求解．【詳解】解：圖中線段有：共10條，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)線段條數(shù)，掌握線段的定義是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·山西太原·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）往返于太原、運(yùn)城兩地的高鐵列車，若中途停靠太谷、介休和臨汾站則有（）種不同票價(jià)．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于一共有太原、太谷、介休、臨汾、運(yùn)城一共五個(gè)站，每兩個(gè)站之間都有一種票價(jià)，其中一個(gè)站與其他4個(gè)站之間都有4種不同的票價(jià)，而兩個(gè)站之間，來回的票價(jià)相同，只能算作一次，由此求解即可．【詳解】解：∵一共有太原、太谷、介休、臨汾、運(yùn)城一共五個(gè)站，每兩個(gè)站之間都有一種票價(jià)，∴其中一個(gè)站與其他4個(gè)站之間都有4種不同的票價(jià)，∴一共有5×4=20種不同票價(jià)，又∵兩個(gè)站之間，來回的票價(jià)相同，只能算作一次，∴一共應(yīng)該有20÷2=10種不同的票價(jià)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的數(shù)量問題即車站為線段的端點(diǎn)，票價(jià)為線段數(shù)量，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握求解線段數(shù)量的方法．例3．（2023秋·湖南長沙·七年級(jí)?？计谀?022年12月26日上午10時(shí)06分，渝廈高鐵常德至益陽段開通運(yùn)營。某列車從常德至長沙運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵撼５隆５聺h壽—益陽南—寧鄉(xiāng)西—長沙南，59分鐘即可抵達(dá)長沙，這標(biāo)志著渝廈高鐵常益長段實(shí)現(xiàn)了全線開通。每兩站之間由于方向不同，車票也不同，那么鐵路運(yùn)營公司要為常德至長沙南往返最多需要準(zhǔn)備（

）張車票.A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】將每一個(gè)車站看作一個(gè)點(diǎn)，鐵路線為線段，求出所有線段條數(shù)的2倍即可．【詳解】解：如圖，圖中線段的條數(shù)為（條），由于車票往返的不同，因此需要制作火車票的種類為（種），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段、直線、射線，掌握線段條數(shù)的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀理解題問題：在一條直線上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個(gè)問題，我們可以這樣考慮，以A為端點(diǎn)的線段有，，共3條，同樣以B為端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)，以D為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個(gè)3，即（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有6條線段．那么，若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段；若在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段．知識(shí)遷移：兩條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線相交最多有_________個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有_________個(gè)交點(diǎn)．學(xué)以致用：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，如果每兩人握手一次問好，全班同學(xué)共握手______次．【答案】10，，6，，990【分析】問題：根據(jù)線段的定義進(jìn)行求解即可；知識(shí)遷移：根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；學(xué)以致用：當(dāng)時(shí)，代入求值即可．【詳解】解：問題：若在一條直線上有5個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有條線段，故答案為：10，；知識(shí)遷移：四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，故答案為：6，；學(xué)以致用：當(dāng)時(shí)，（次），故答案為：990．【點(diǎn)睛】本題考查線段的計(jì)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．例5．（2023秋·山西七年級(jí)月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個(gè)數(shù)、最后一個(gè)數(shù)及數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)．如果，我們?cè)O(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個(gè)的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計(jì)算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級(jí)（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊(duì)以“單擊掌”形式（每兩個(gè)學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎(jiǎng)；活動(dòng)結(jié)束后該班同學(xué)又互贈(zèng)“元旦祝福語”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈(zèng)送祝福語___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每兩個(gè)城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎(jiǎng)杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會(huì)徽、吉祥物），共有32支國家足球隊(duì)參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個(gè)階段進(jìn)行．32支球隊(duì)平均分成8個(gè)進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊(duì)舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊(duì)進(jìn)入1/8決賽，然后實(shí)行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請(qǐng)你計(jì)算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的規(guī)律即可求解；②根據(jù)規(guī)律即可求解；（3）①10個(gè)城市每兩個(gè)城市都要互通航班，據(jù)此即可求解；②分別計(jì)算橫向和豎向的線段條數(shù)，即可求解；③利用分類的方法可求得2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽．【詳解】（1）解：．則．故答案為：，；（2）解：①．②如果該班有名同學(xué)，則共擊掌次，共贈(zèng)送祝福語條．故答案為：①5047；②100；③，；（3）解：①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每兩個(gè)城市都要互通航班，10個(gè)城市一共需要開通架航班；②橫線上的線段有條，豎線上的線段有條，則橫線和豎線上的線段共有條；③32支比賽分為8個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，共有場比賽，16強(qiáng)分成8組對(duì)陣，共有8場比賽，8強(qiáng)分成4組對(duì)陣，共有4場比賽，4強(qiáng)分成2組對(duì)陣，共有2場比賽，決賽有2場比賽，故共有場比賽．故答案為：①90；②135；③64．【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，線段的計(jì)數(shù)，線段的計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)注重分類討論的方法計(jì)數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)，利用規(guī)律解決問題．2）角度的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個(gè)）例1．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，總共有個(gè)角．【答案】10【分析】根據(jù)圖形分別表示出所有角即可．【詳解】解：圖中的角有：，，，，，，，，，共有10個(gè)角．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，正確會(huì)表示角，做到不重不漏是關(guān)鍵．例2．（2023·四川內(nèi)江·七年級(jí)月考）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個(gè)．【答案】66【分析】分別找出各圖形中銳角的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律解題．【詳解】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個(gè)銳角；…∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴畫10條不同射線，可得銳角×（10+1）×（10+2）=66．故答案為：66．例3．（2023秋·重慶七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖1中有個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖2中有個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有個(gè)不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角．【答案】（1）3（2）6（3）10（4）66（5）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圖形，圖中有1+2=3個(gè)不同的角；（2）根據(jù)圖形，圖中有1+2+3=6個(gè)不同的角；（3）圖中有1+2+3+4=10個(gè)不同的角，；（4）圖中有1+2+3+…+9+10+11=66個(gè)角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可試題解析：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角，故答案為3．（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個(gè)不同的角，故答案為6．（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有10個(gè)不同的角，故答案為10．（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+10+11=66個(gè)不同的角，故答案為66．（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=個(gè)不同的角．考點(diǎn)：角的概念．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個(gè)角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個(gè)角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個(gè)角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個(gè)角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級(jí)共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊(duì)之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個(gè)角；②由題意可得，從點(diǎn)分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個(gè)角；③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)分別引條射線，，∴得到個(gè)角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，．∴全部賽完共需120場比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)模型直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級(jí)期中）已知條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，…由此猜想，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)（）A．16 B．28 C．32 D．40【答案】B【分析】利用給出的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，推導(dǎo)出規(guī)律，再將8代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，……∴條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，∴時(shí)，（個(gè)），∴條直線最多有個(gè)交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也就是數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)字規(guī)律，把特殊值代入求值．例2．（2023春·安徽蕪湖·七年級(jí)校聯(lián)考期中）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可求解．【詳解】如圖所示，將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為塊，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線分平面問題，理解題意是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·廣東七年級(jí)期中）平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為個(gè)，最多為個(gè)，n條直線兩兩相交的直線最多有個(gè)交點(diǎn)．【答案】115【分析】根據(jù)相交直線的交點(diǎn)找出相應(yīng)規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點(diǎn)時(shí)交點(diǎn)最少，此時(shí)交點(diǎn)為1個(gè)；若平面內(nèi)有相交的2條直線，則最多有1個(gè)交點(diǎn)；（即：）；若平面內(nèi)有兩兩相交的3條直線，則最多有3個(gè)交點(diǎn)；（即：）；若平面內(nèi)有兩兩相交的4條直線，則最多有6個(gè)交點(diǎn)；（即：）；若平面內(nèi)有兩兩相交的5條直線，則最多有10個(gè)交點(diǎn)；（即：）；則平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有15個(gè)交點(diǎn)；（即）；若平面內(nèi)有n條直線兩兩相交，則最多有個(gè)交點(diǎn)；故答案為：1，15，．【點(diǎn)睛】題目主要考查直線交點(diǎn)問題及規(guī)律探索，找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·廣東七年級(jí)期中）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，……，像這樣，8條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)，n條直線相交最多有______個(gè)交點(diǎn)：（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37，【分析】（1）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時(shí)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可得出n條直線相交最多有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時(shí)最多把平面分成幾部分，總結(jié)出規(guī)律即可n條直線最多把平面分成幾部分．【詳解】解：（1）2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交最多有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；7條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6=21個(gè)交點(diǎn)，8條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)交點(diǎn)，…n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)；（2）1條直線最多把平面分成1+1=2部分；2條直線最多把平面分成1+1+2=4部分；3條直線最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4條直線最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；5條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；7條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；8條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；…n條直線最多把平面分成【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，體現(xiàn)了從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，有一定的挑戰(zhàn)性，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實(shí)踐應(yīng)用】在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請(qǐng)你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級(jí)舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級(jí)共有16個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？【答案】[觀察發(fā)現(xiàn)]6，；[實(shí)踐應(yīng)用]120場【分析】[觀察發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個(gè)交點(diǎn)；[實(shí)踐應(yīng)用]把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn),進(jìn)行一場比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】[觀察發(fā)現(xiàn)]解：①兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：1=；②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=；③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=；…n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．故答案為：6，．[實(shí)踐應(yīng)用]該類問題符合上述規(guī)律，所以可將n＝16代入．∴這一輪共要進(jìn)行120場比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．4）多邊形的對(duì)角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線；這些對(duì)角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形；n邊形共有對(duì)角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）六邊形共有多少條對(duì)角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)角線公式求解即可．【詳解】解：六邊形共有多少條對(duì)角線有：條．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，牢記n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，把n邊形分成個(gè)三角形，n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谀┤绻粋€(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)最多能畫五條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出條對(duì)角線，求出邊數(shù)即可．【詳解】解：多邊形的邊數(shù)為，由題意可得：，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以作出條對(duì)角線．例3．（2023秋·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成6個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【答案】B【分析】根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，可組成個(gè)三角形，依此可得n的值．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得，解得：，即這個(gè)多邊形是八邊形，故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，可組成個(gè)三角形．例4．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出8條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形對(duì)角線的總數(shù)是（）A．88 B．44 C．45 D．50【答案】C【分析】根據(jù)一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線，即可求出該多邊形的邊數(shù)．再根據(jù)n邊形對(duì)角線的總數(shù)為即可求解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，∵一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共引8條對(duì)角線，∴，解得：，∴總的對(duì)角線的條數(shù)為：條．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線的條數(shù)問題．掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線和其對(duì)角線總數(shù)為是解題關(guān)鍵．例5．（2023·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）多邊形的對(duì)角線：多邊形的對(duì)角線是連接多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線，將n邊形分成個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有條對(duì)角線．【答案】任意不相鄰【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義作答即可．【詳解】解：多邊形的對(duì)角線是指連接多邊形任意不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線，將邊形分成個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有條對(duì)邊線．故答案為：任意不相鄰，，，．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形對(duì)角線的定義，對(duì)角線的條數(shù)等知識(shí)．例6．（2023春·重慶七年級(jí)月考）樂樂和數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們研究多邊形對(duì)角線的相關(guān)問題，邀請(qǐng)你也加入其中！請(qǐng)仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)45678…n從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)12345…________多邊形對(duì)角線的總條數(shù)2591420…________(1)觀察探究：請(qǐng)自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數(shù)式將上面的表格填寫完整；(2)實(shí)際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個(gè)小組，每組有3名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時(shí)不同組的兩位同學(xué)之間要打一個(gè)電話拜年，請(qǐng)問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個(gè)？(3)類比歸納：樂樂認(rèn)為(1)，(2)之間存在某種聯(lián)系，你能找到這兩個(gè)問題之間的聯(lián)系嗎？請(qǐng)用語言描述你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)n－3，n(n－3)；(2)135個(gè)；(3)每個(gè)同學(xué)相當(dāng)于多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，則共有n個(gè)頂點(diǎn).【分析】（1）依據(jù)圖形以及表格中的變換規(guī)律，即可得到結(jié)論；（2）依據(jù)數(shù)學(xué)社團(tuán)有18名同學(xué)，即可得到數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話數(shù)量；（3）每個(gè)同學(xué)相當(dāng)于多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，則共有n個(gè)頂點(diǎn)，進(jìn)而得到每人要給不同組的同學(xué)打一個(gè)電話，則每人要打（n-3）個(gè)電話，據(jù)此進(jìn)行判斷．【詳解】解：（1）由題可得，當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為n時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)為n-3，多邊形對(duì)角線的總條數(shù)為n（n-3）；故答案為n-3，n（n-3）；（2）∵3×6=18，∴數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話為×18×（18-3）=135（個(gè)）；(3)每個(gè)同學(xué)相當(dāng)于多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，則共有n個(gè)頂點(diǎn)；每人要給不同組的同學(xué)打一個(gè)電話，則每人要打(n－3)個(gè)電話；兩人之間不需要重復(fù)撥打電話，故撥打電話的總數(shù)為n(n－3)；數(shù)學(xué)社團(tuán)有18名同學(xué)，當(dāng)n＝18時(shí)，×18×(18－3)＝135.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線，n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：n（n-3）（n≥3，且n為整數(shù)）．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北·七年級(jí)階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）A．46個(gè) B．55個(gè) C．56個(gè) D．67個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個(gè)．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了過平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．（2023秋·四川成都·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【分析】點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)而圖中共有線段六條，所以出現(xiàn)報(bào)警次數(shù)最多六次．【詳解】解：由題意知，當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)的時(shí)候會(huì)發(fā)出警報(bào),圖中共有線段DC、DB、DA、CB、CA、BA發(fā)出警報(bào)的可能最多有6個(gè)故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與線段的相關(guān)內(nèi)容，利用整體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．3．（2023秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，AB是一段高鐵行駛路線圖圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票．A．10 B．11 C．20 D．22【答案】C【分析】分析觀察可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)車站作為起始站，可以到達(dá)除本站外的任何一個(gè)站，需要印制（5﹣1）種車票，而有5個(gè)起始站，故可以直接列出算式．【詳解】解：5×（5﹣1）＝20，故選：C．【點(diǎn)睛】本題在線段的基礎(chǔ)上，考查了排列與組合的知識(shí)，解題關(guān)鍵是要理解題意，每個(gè)車站都既可以作為起始站，可以到達(dá)除本站外的任何一個(gè)站．4．（2023·河北邯鄲·七年級(jí)?？计谀┯珊惖奖本┑哪骋淮瘟熊嚕\(yùn)行途中停靠的車站依次是：邯鄲—邢臺(tái)—石家莊—保定—北京，那么要為這次列車制作的火車票有（

）A．9種 B．20種 C．10種 D．72種【答案】A【詳解】共需制作的車票數(shù)為：4+3+2+1，=2×10，=10（種）．故選A．5．（2023·湖北荊門·七年級(jí)統(tǒng)考期中）兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3【答案】D【分析】本題中直線的位置關(guān)系不明確，應(yīng)分情況討論，包括兩條相交直線是否是另一條直線平行、相交或交于同一點(diǎn)．【詳解】解：當(dāng)另一條直線與兩條相交直線交于同一點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)另一條直線與兩條相交直線中的一條平行時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)另一條直線分別與兩條相交直線相交時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；故選D．【點(diǎn)睛】本題涉及直線的相關(guān)知識(shí)，難度一般，考生需要全面考慮問題6．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，2條直線相交只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多能有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多能有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多能有10個(gè)交點(diǎn)，……，（≥2，且是整數(shù)）條直線相交最多能有（

）A．個(gè)交點(diǎn)B．個(gè)交點(diǎn)C．個(gè)交點(diǎn)D．個(gè)交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：【詳解】解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；…n條直線相交有1+2+3+4+…+（n-1）=故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．7．（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形，則的值為(

)A．9 B．8 C．6 D．5【答案】B【分析】邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，它們把邊形分成個(gè)三角形，由此即可計(jì)算．【詳解】解：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形，，，的值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握：邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，把邊形分成個(gè)三角形．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將此多邊形分成4個(gè)三角形，則此多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)多邊形對(duì)角線定義可知，一個(gè)邊形某個(gè)頂點(diǎn)除了不能和自身以及左右兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)連成對(duì)角線外，其余的個(gè)頂點(diǎn)都能與其連成對(duì)角線，這個(gè)對(duì)角線將多邊形分成個(gè)三角形，結(jié)合此多邊形被對(duì)角線分成4個(gè)三角形，得到，解方程求出多邊形邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個(gè)邊形過某個(gè)頂點(diǎn)所有對(duì)角線條數(shù)為，這個(gè)對(duì)角線將多邊形分成個(gè)三角形，此多邊形被對(duì)角線分成4個(gè)三角形，，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形對(duì)角線的定義及實(shí)際應(yīng)用，分析出多邊形對(duì)角線條數(shù)以及將多邊形分成的三角形個(gè)數(shù)，由題意列出方程是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023秋·廣東七年級(jí)月考）平面內(nèi)有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到b個(gè)交點(diǎn)，則的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線…的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：如圖：2條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有1+2個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有1+2+3個(gè)交點(diǎn)，…n直線相交最多有1+2+3+4+5+…+(n?1)＝個(gè)交點(diǎn)．∴7直線相交最多有1+2+3+4+5+…+6＝=21個(gè)交點(diǎn)．∴7條直線兩兩相交最多可以得到21個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到1個(gè)交點(diǎn)，∴a＝21，b=1，∴a+b＝22，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，需注意的是n條直線相交時(shí)最少有一個(gè)交點(diǎn)．10．（2023春·山東泰安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)按這樣的規(guī)律若n條直線相交交點(diǎn)最多有36個(gè)，則此時(shí)n的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)……按這樣的規(guī)律，n條直線相交的交點(diǎn)最多是個(gè)交點(diǎn)，再把各選項(xiàng)的n的值代入計(jì)算即可解答問題．【詳解】解：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)…，按照這樣的規(guī)律，n條直線相交的交點(diǎn)最多是個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，答：若n條直線相交交點(diǎn)最多有36個(gè)，則此時(shí)n的值為9．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是相交線及規(guī)律性題目，解答此題關(guān)鍵是根據(jù)直線的條數(shù)變化得到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化，得出規(guī)律，再利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可解答問題．11．（2023·四川成都·七年級(jí)?？计谀┏啥寂c重慶之間往返的動(dòng)車，除起始站和終點(diǎn)站外中途都有3個(gè)?？空?，則鐵路部門針對(duì)此動(dòng)車需要發(fā)售種不同行程的動(dòng)車票.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，數(shù)出線段的條數(shù)，再根據(jù)往返是兩種不同的車票，可得答案．【詳解】解：由圖知：成都與重慶之間往返的動(dòng)車，中途還需?？?個(gè)站，共有10條線段，∵往返是兩種不同的車票，∴鐵路部門對(duì)此運(yùn)行區(qū)間應(yīng)準(zhǔn)備20種不同的火車票．故答案為20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題；需要掌握正確數(shù)線段的方法．12．（2023秋·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線．【答案】2【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線，得出n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線．【詳解】從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以向與這個(gè)頂點(diǎn)不相鄰的2個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，即能引出2條對(duì)角線，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出條對(duì)角線．13．（2023秋·河南鄭州·七年級(jí)校考期末）一個(gè)正八邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)可引出m條對(duì)角線，并把這個(gè)正八邊形分成n個(gè)三角形，則．【答案】【分析】過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出5條對(duì)角線，過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)畫出所有的對(duì)角線，可以將這個(gè)八邊形分成6個(gè)三角形，據(jù)此求得的值，繼而即可求解．【詳解】解：過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出5條對(duì)角線，過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)畫出所有的對(duì)角線，可以將這個(gè)八邊形分成6個(gè)三角形，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，掌握過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線條數(shù)為是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·重慶·七年級(jí)期中）如圖所示，過六邊形的頂點(diǎn)的所有對(duì)角線可將六邊形分成個(gè)三角形．【答案】4【分析】從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)多邊形分割成個(gè)三角形，依此作答．【詳解】解：過六邊形的頂點(diǎn)的所有對(duì)角線可將六邊形分成個(gè)三角形．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的對(duì)角線，從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，形成的三角形個(gè)數(shù)為．15．（2023秋·山東德州·八年級(jí)?？计谥校亩噙呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)所引的對(duì)角線，把這個(gè)多邊形分成7個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形共條對(duì)角線．【答案】27【分析】經(jīng)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，再求出對(duì)角線．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形有n條邊，，解得：，∴這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)：．故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求解．多邊形過一個(gè)頂點(diǎn)引的對(duì)角線將多邊形分為個(gè)三角形，一共有條對(duì)角線．16．（2023秋·黑龍江綏化·八年級(jí)?？计谥校氖呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)十二邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是，十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是【答案】【分析】根據(jù)多邊形有的性質(zhì)一個(gè)頂點(diǎn)引條對(duì)角線，分成個(gè)三角形，總共有條對(duì)角線可得答案．【詳解】解：由多邊形公式可得，十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)十二邊形分成個(gè)三角形，總共有條對(duì)角線，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知幾個(gè)性質(zhì)．17．（2023秋·河南許昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運(yùn)行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個(gè)站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個(gè)站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】20【分析】先求得單程的車票數(shù)，在求出往返的車票數(shù)即可．【詳解】解：5個(gè)點(diǎn)中線段的總條數(shù)是（種），∵任何兩站之間，往返兩種車票，∴應(yīng)印制（種），故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有個(gè)點(diǎn)，則線段的數(shù)量有條”．18．（2023·北京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）表反映了平面內(nèi)直線條數(shù)與它們最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖形…直線條數(shù)234…最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)13=1+26=1+2+3…按此規(guī)律，6條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．（n為正整數(shù)）【答案】15,【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n條直線最多的交點(diǎn)是1+2+3+（n-1）．【詳解】6條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)1+2+3+4+5=15；n條直線相交，最多有1+2+3+（n-1）＝.故答案是：15，.【點(diǎn)睛】考查了直線，每兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)得出n條直線最多的交點(diǎn)是1+2+3+（n-1）是解題關(guān)鍵.19．（2023·浙江嘉興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了個(gè)部分．【答案】8或9．【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，或所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了8或9個(gè)部分．故答案為：8或9．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．20．（2023秋·四川自貢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：四點(diǎn)A、B、C、D的位置如圖所示，根據(jù)下列語句，畫出圖形．(1)畫直線、射線相交于點(diǎn)O，畫線段；(2)圖中以字母A、B、C、D、O為端點(diǎn)的線段共有____條．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)直線沒有端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，線段兩個(gè)端點(diǎn)畫圖即可；（2）分別找出以字母、、、、為端點(diǎn)的線段．【詳解】（1）解：如圖所示；（2）解：以、、、、為端點(diǎn)的線段有：，，，，，，，共7條，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．21．（2023秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為直線上一點(diǎn)，，平分．(1)請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖中有___________個(gè)小于平角的角；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平角定義，數(shù)形結(jié)合即可數(shù)出小于平角的角；（2）由是平角，得到，再根據(jù)平分得到，從而由圖得到的度數(shù)．【詳解】（1）解：由圖可知是平角，為，圖中小于平角的角有，共個(gè)角，故答案為：；（2）解：為直線上一點(diǎn)，，，平分，，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)角的個(gè)數(shù)及求角度，涉及平角定義、角平分線定義、角的和差倍分，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找出各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．22．（2023秋·山西七年級(jí)月考））小明在一條直線上選了若干個(gè)點(diǎn)，通過數(shù)線段的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了一定的規(guī)律，下邊是他的探究過程及聯(lián)想到的一些相關(guān)實(shí)際問題.（1）一條直線上有2個(gè)點(diǎn)，線段共有1條；一條直線上有3個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段共有條.（2）總結(jié)規(guī)律：一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA、OB形成1個(gè)角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內(nèi)部再加一條射線OC，此時(shí)具有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC共形成3個(gè)角；以此類推，具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個(gè)角（4）解決問題：曲沃縣某學(xué)校九年級(jí)1班有45名學(xué)生畢業(yè)留影時(shí)，全體同學(xué)拍1張集體照，每2名學(xué)生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學(xué)都需要1張照片留作紀(jì)念，又應(yīng)該沖印多少張紙質(zhì)照片？【答案】（1）45；（2）；（3）；（4）共需拍照991張，共需沖印2025張紙質(zhì)照片【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可知：一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)為整數(shù)1到10的和；（2）根據(jù)規(guī)律可知：一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)為整數(shù)1到n的和；（3）將角的兩邊看著線段的兩個(gè)端點(diǎn)，那么角的個(gè)數(shù)與直線上線段的問題一樣，根據(jù)線段數(shù)的規(guī)律探究遷移可得答案；（4）把45名學(xué)生看著一條直線上的45點(diǎn)，每2名學(xué)生拍1張兩人照看著兩點(diǎn)成的線段，那么根據(jù)（2）的規(guī)律即可求出兩人合影拍照多少張，再加上集體照即可解答共拍照片張數(shù)，然后根據(jù)兩人合影沖印，集體合影45張計(jì)算總張數(shù)即可.【詳解】解：（1）一條直線上有10個(gè)點(diǎn)，線段共有1+2+3+……+10=45（條）.故答案為：45；（2）一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，線段共有條.故答案為：；（3）由（2）得：具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個(gè)角；故答案為：；（4）解：

45×（45-1）+1×45=2025答：共需拍照991張，共需沖印2025張紙質(zhì)照片【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段的計(jì)數(shù)問題，體現(xiàn)了“具體---抽象----具體”的思維探索過程，探索規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律.解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．23．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）平面上有7條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點(diǎn)．(1)請(qǐng)畫出滿足上述條件的一個(gè)圖形，并數(shù)出圖形中各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)請(qǐng)?jiān)佼嫵龈髦本€之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形（至少兩個(gè)）；(3)你能否畫出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n的圖形，其中n分別為6，21，15？(4)請(qǐng)盡可能多地畫出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？【答案】(1)圖見解析，有6個(gè)(2)見解析(3)見解析(4)①當(dāng)7條直線都相互平行時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0，這時(shí)交點(diǎn)最少，②當(dāng)7條直線每兩條均相交時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為21，這是交點(diǎn)最多【分析】（1）畫出滿足條件的圖形即可；（2）根據(jù)題意畫出與解析（1）交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形即可；（3）根據(jù)題意要求畫出交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為6，21，15的圖形即可；（4）從平行線的角度考慮，先考慮六條直線都平行，再考慮五條、四條，三條，二條直線平行，都不平行作出草圖即可看出，從畫出的圖形中歸納規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：解：如圖1所示；交點(diǎn)共有6個(gè)，（2）解：如圖2，3所示：（3）解：當(dāng)時(shí)，必須有6條直線平行，都與一條直線相交．如圖4所示：當(dāng)時(shí)，必須使7條直線中的每2條直線都相交（即無任何兩條直線平行）如圖5所示：當(dāng)時(shí)，如圖6所示．（4）解：當(dāng)我們給出較多答案時(shí)，從較多的圖形中，可以總結(jié)出以下規(guī)律：①當(dāng)7條直線都相互平行時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0，這時(shí)交點(diǎn)最少，②當(dāng)7條直線每兩條均相交時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為21，這是交點(diǎn)最多．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線與相交線，關(guān)鍵是根據(jù)一定的規(guī)律畫出圖形，再再根據(jù)圖形歸納規(guī)律．24．（2023·北京市七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；(2)當(dāng)線段上有個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有多少條？(3)根據(jù)上述信息解決下面的問題：①某學(xué)校七年級(jí)共有20個(gè)班級(jí)進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩個(gè)班賽一場），那么該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個(gè)車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點(diǎn)站與終點(diǎn)站之分）？【答案】(1)3，6，10(2)線段總共有條(3)①該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行190場；②需要設(shè)置132種車票【分析】（1）根據(jù)線段的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）中的等式，得到以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有條；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）當(dāng)線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）．答案：3，6，10（2）當(dāng)線段上有個(gè)點(diǎn)時(shí)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；因?yàn)椋l），所以（條）．答：線段總共有條．（3）①當(dāng)時(shí)，（場）．答：該校七年級(jí)的辯論賽共要進(jìn)行190場．②當(dāng)線段上（除兩端點(diǎn)，）有10個(gè)點(diǎn)時(shí)，∴，，∴車票有（種）．答：需要設(shè)置132種車票．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到一條線段上有個(gè)點(diǎn)，可以得到條線段．25．（2023秋·廣東惠州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有3條；如果線段上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有6條；如果線段上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有10條；

(1)當(dāng)線段上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有條？(2)當(dāng)線段上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段共有多少條？（用n的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，線段共有多少條？【答案】(1)15(2)(3)4950條【分析】（1）由已知條件可得出線段上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)的線段數(shù)的規(guī)律是，即可得出答案；（2）通過觀察得知，當(dāng)線段上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)為：，即可得出結(jié)論；（3）把代入前面的公式即可得出答案．【詳解】（1）通過觀察得知：當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的總數(shù)為：；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的總數(shù)為：；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的總數(shù)為：；∴當(dāng)有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段的總數(shù)為：條．（2）由（1）可看出，當(dāng)線段AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)為：（3）把代入前面的公式：條．【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．26．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個(gè)不同的角？（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個(gè)不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有個(gè)不同的角【分析】（2）根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；（3）在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個(gè)數(shù)即得畫3條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個(gè)不同的角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則有個(gè)不同的角．【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識(shí)以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．27．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察如圖所示中的各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）：（1）如圖a，圖中共有＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（2）如圖b，圖中共有＿＿＿對(duì)對(duì)頂角；（3）如圖c，圖中共有＿＿＿對(duì)對(duì)頂角.（4）研究（1）～（3）小題中直線條數(shù)與對(duì)頂角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，若有

n條直線相交于一點(diǎn),則可形成＿＿＿對(duì)對(duì)頂角？（5）若有2008條直線相交于一點(diǎn)，則可形成＿＿＿對(duì)對(duì)頂角？【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）n（n-1）；（5）4030056【分析】（1）（2）（3）分別根據(jù)對(duì)頂角的定義計(jì)算即可得解；（4）根據(jù)對(duì)頂角的對(duì)數(shù)和直線的條數(shù)的規(guī)律寫出即可；（5）把n=2008代入（4）的公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）圖中共有∠AOC和∠BOD、∠AOD和∠BOC共2對(duì)對(duì)頂角，；（2）圖中共有6對(duì)對(duì)頂角；（3）圖中共有12對(duì)對(duì)頂角；（4）∵2=2×(2-1)，6=3×(3-1)，12=4×(4-1)，∴n條直線相交，形成n（n-1）對(duì)對(duì)頂角，（5）2008條直線相交于一點(diǎn)，可形成2008×（2008-1）=4030056對(duì)對(duì)頂角.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖，按照一定的順序計(jì)算對(duì)頂角的對(duì)數(shù)是解題的關(guān)鍵.28．（2023秋·山東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面各個(gè)圖形中，分別有多少個(gè)小于平角的角，請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些角．（1）圖（1）中共有_______個(gè)小于平角的角，這些角分別是________；（2）圖（2）中共有_______個(gè)小于平角的角，這些角分別是________；（3）圖（3）中共有_______個(gè)小于平角的角，這些角分別是________．【答案】（1）8，見解析；（2）16，見解析；（3）11，見解析【分析】（1）分別數(shù)出以O(shè)B、OD、OE、OA為一邊的角，則其和便是小于平角的個(gè)數(shù)，分別用字母表示出來即可；（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角都有3個(gè)，以O(shè)為頂點(diǎn)的角有4個(gè)，故可知總的個(gè)數(shù)，并分別用字母表示出來即可；（3）分別數(shù)出以A、B、C、D、E、O為頂點(diǎn)的角的個(gè)數(shù)即可，并用字母表示出來即可．【詳解】（1）以O(shè)B為一邊的角有3個(gè)，分別是∠BOD、∠BOE、∠BOC；以O(shè)D為一邊的角有2個(gè)，分別是∠DOE、∠DOA；以O(shè)E為頂點(diǎn)的角有2個(gè)，分別是∠EOA、∠EOC；以O(shè)A為一邊的角有1個(gè)角，是∠OAC，故共有3+2+2+1=8（個(gè)），這些角分別是∠BOD、∠BOE、∠BOC、∠DOE、∠DOA、∠EOA、∠EOC、∠OAC；故答案為：8，∠BOD、∠BOE、∠BOC、∠DOE、∠DOA、∠EOA、∠EOC、∠OAC；（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角都有3個(gè)，以O(shè)為頂點(diǎn)的角有4個(gè)，故角的個(gè)數(shù)為：4×3+4=16（個(gè)），它們分別是：∠DAO、∠OAB、∠DAB、∠ABO、∠OBC、∠ABC、

∠BCO、∠OCD、∠BCD、∠CDO、∠ODA、∠CDA、∠DOA、∠AOB、∠BOC、∠COD；故答案為：16，∠DAO、∠OAB、∠DAB、∠ABO、∠OBC、∠ABC、∠BCO、∠OCD、∠BCD、∠CDO、∠ODA、∠CDA、∠DOA、∠AOB、∠BOC、∠COD；（3）以A為頂點(diǎn)的角有1個(gè)，是∠A；以B、C為頂點(diǎn)的角各有1個(gè)，是∠B、∠C；以D、E為頂點(diǎn)的角各有2個(gè)，分別是∠ADC、∠ODB、∠AEB、∠OEC；以O(shè)為頂點(diǎn)的角有4個(gè)，分別是∠DOB、∠BOC、∠COE、∠EOD；故角的個(gè)數(shù)為：1+2×(1+2)+4=11（個(gè)），這些角分別是：∠A、∠B、∠C、∠ADC、∠ODB、∠AEB、∠OEC、∠DOB、∠BOC、∠COE、∠EOD；故答案為：11，∠A、∠B、∠C、∠ADC、∠ODB、∠AEB、∠OEC、∠DOB、∠BOC、∠COE、∠EOD；【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念及角的表示，注意的是，在數(shù)角時(shí)防止遺漏或重復(fù)，要有序地進(jìn)行．29．（2023·云南保山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，從一點(diǎn)O出發(fā)，引兩條射線可以得到一個(gè)角，引三條射線可以得到三個(gè)角，引四條射線可以得到六個(gè)角，引五條射線可以得到十個(gè)角，如果從一點(diǎn)出發(fā)引n（n為大于等于2的整數(shù)）條射線，則會(huì)得到多少個(gè)角？如果n=8時(shí)，檢驗(yàn)?zāi)闼玫慕Y(jié)論是否正確．【答案】個(gè)角．28.【詳解】試題分析：根據(jù)每條射線與其它組成一個(gè)角，可得（n-1）個(gè)角，根據(jù)n條射線可組成的角，可得角的個(gè)數(shù)．試題解析：n條射線可組成的角：，答：n條射線可組成個(gè)角．當(dāng)n=8時(shí)，.考點(diǎn)：角的概念．30．（2023秋黑龍江七年級(jí)月考）找規(guī)律：一次足球比賽中，有n（n≥2）個(gè)球隊(duì)參加比賽，假設(shè)此次比賽為單循環(huán)比賽（參加比賽的每一個(gè)隊(duì)都與其他所有的隊(duì)各賽一場），球隊(duì)總數(shù)與總的比賽場數(shù)如表．球隊(duì)數(shù)（n）23456比賽場數(shù)1361015（1）8個(gè)球隊(duì)總共比賽的總場數(shù)為．（2）當(dāng)有n個(gè)球隊(duì)參加時(shí)，共比多少場？（2）當(dāng)n＝10時(shí)，共有多少場比賽？【答案】（1）28；（2）；（3）45【分析】（1）根據(jù)2個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行2×1÷2＝1場比賽，3個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行3×2÷2＝3場比賽，4個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行4×3÷2＝6場比賽，5個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行5×4÷2＝10場比賽，6個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行6×5÷2＝15場比賽，即可得到8個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行8×7÷2＝28場比賽；（2）由（1）可以得到規(guī)律n支球隊(duì)要進(jìn)行比賽的總場數(shù)為由此求解即可；（3）根據(jù)（2）的計(jì)算結(jié)果代值計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵2個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行2×1÷2＝1場比賽，3個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行3×2÷2＝3場比賽，4個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行4×3÷2＝6場比賽，5個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行5×4÷2＝10場比賽，6個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行6×5÷2＝15場比賽，…∴8個(gè)球隊(duì)要進(jìn)行8×7÷2＝28場比賽，故答案為：28；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律可得：n支球隊(duì)要進(jìn)行比賽的總場數(shù)為，∴共比場；（3）當(dāng)n＝10時(shí)，球隊(duì)要進(jìn)行×10×9＝45（場）比賽，∴共有45場比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意找到所包含的規(guī)律．31．（2023秋·河北八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不