專題10 特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型（解析版）

專題10特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點到線的距離垂線段最短。【模型背景】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.補充知識：在直角三角形中銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系?！灸Ｐ徒庾x】一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短及垂線段最短。例1．（2021·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對角線、相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值是______．【答案】【分析】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小為MH，再算出MC的長度，在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得MH【詳解】過M點作MH垂直BC于H點，與OB的交點為P點，此時的長度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此時得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案為：【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時的P點是解題關(guān)鍵.例2．（2023·湖北武漢·九年級期末）如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點共線時HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點作，交的延長線于，四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點，點，點三點共線時，HP+PB有最小值，即有最小值，此時，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點在上，連接，在點的運動過程中，的最小值為．

【答案】/【分析】在線段下方作，過點作于點，連接，求出此時的長度便可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，在線段下方作，過點作于點，連接，

∴，∴，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，此時，∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了長方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，垂線段最短性質(zhì)，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造的最小值．例4．（2022·廣東佛山·?？家荒＃┰谶呴L為1的正方形中，是邊的中點，是對角線上的動點，則的最小值為___________．【答案】0【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作于，∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，∵，∴的最小值為0，故答案為：0．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段．例5．（2022·浙江寧波·九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為__________．【答案】6【分析】先求出點A，點B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點B關(guān)于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，作點B關(guān)于OA的對稱點，連接，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點C的位置是解題的關(guān)鍵．例6．（2023·山東濟寧·校考模擬預(yù)測）如圖，矩形的對角線，相交于點，關(guān)于的對稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點為線段上一動點（不與點重合），連接，一動點從點出發(fā)，以的速度沿線段勻速運動到點，再以的速度沿線段勻速運動到點，到達(dá)點后停止運動．當(dāng)點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時，求的長和點走完全程所需的時間．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②和走完全程所需時間為．【分析】（1）利用四邊相等的四邊形是菱形進行證明即可；（2）①構(gòu)造直角三角形求即可；②先確定點沿上述路線運動到點所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時間．【詳解】（1）四邊形是矩形，，與交于點O,且關(guān)于對稱，，，四邊形是菱形；（2）①連接,直線分別交于點,交于點，關(guān)于的對稱圖形為，，在矩形中，為的中點，且O為AC的中點，為的中位線，

，同理可得：為的中點，，

，；②過點P作交于點，由運動到所需的時間為3s，由①可得，，點Q以的速度從P到A所需的時間等于以從M運動到A，即：，由O運動到P所需的時間就是OP+MA和最小.如下圖，當(dāng)P運動到,即時，所用時間最短.，在中，設(shè)，，，解得：，，和走完全程所需時間為．課后專項訓(xùn)練1．（2023上·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，在中，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長．【詳解】過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．3．（2023·廣東東莞·?？既＃┤鐖D，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．【答案】3【分析】過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，當(dāng)點D，P，E三點共線且DE⊥AB時，PE+DP的值最小，最小值為DF的長，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F,∵四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴當(dāng)點D，P，E三點共線且DE⊥AB時,PE+DP的值最小，最小值為DF的長,∴AP+PD的最小值為3.故答案為：3.【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)知識點，準(zhǔn)確判斷最小值的判定.3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．【答案】3【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC?sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．4．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當(dāng)PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點共線的形式是解題的關(guān)鍵.5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動點，那么的最小值等于______．【答案】3【分析】如圖，過作交的延長線于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，推出，從而得到，進而得到，根據(jù)，可知，當(dāng)三點共線時，線段的和最小，利用所對的直角邊是斜邊的一半即可得解．【詳解】解：如圖，過作交的延長線于點，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點共線時，線段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案為：3．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，以及含的直角三角形．通過添加輔助線，構(gòu)造含的直角三角形，利用垂線段最短進行求解，是解題的關(guān)鍵．本題是胡不歸模型，平時多歸納總結(jié)，可以快速解題．6．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，點M是對角線AC上的一動點，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【分析】過點D作DE⊥AB于點E，連接BD，根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的長，進而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，連接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等邊三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根據(jù)垂線段最短，此時DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的邊長為8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案為：8．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)．7．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點D和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點M．③作射線交于點F．若點P是線段上的一個動點，連接，則的最小值是．【答案】【分析】過點P作于點Q，過點C作于點H，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用含的直角三角的性質(zhì)得出，則，當(dāng)C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，利用含的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出，，最后利用等面積法求解即可．【詳解】解：過點P作于點Q，過點C作于點H，由題意知：平分，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)C、P、Q三點共線，且與垂直時，最小，最小值為，∵，，，∴，∴，∵，∴，即最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離的方法．8．（2023上·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點P在線段上運動時，的最小值為．【答案】12【分析】根據(jù)題意易得，則有，過點P作于點E，進而可得，當(dāng)取最小時，即為最小，則有當(dāng)點B、P、E三點共線且時最短，進而可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過點P作于點E，如圖所示：∴，∴，∴當(dāng)取最小時，即為最小，∴當(dāng)點B、P、E三點共線時且時最小，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∴最小值為；故答案為：12．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，兩點之間線段最短，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，.，分別是邊，上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】作，連接，過B點作的延長線與G點．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，因此，根據(jù)兩點之間線段最短可知當(dāng)B、E、F三點共線時，，此時的值最小，為BF．再證四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)可知，，在中根據(jù)勾股定理可求出的長，即可知的最小值．【詳解】如圖，作，連接，過B點作的延長線與G點，，且，，，．，∴當(dāng)B、E、F三點共線時，，此時的值最小，為．，．又，，∴四邊形是矩形，，，，．故答案為：【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，點C（0，1）在y軸上，點P在x軸上運動，則PC＋PB的最小值為___．【答案】4【詳解】思路引領(lǐng)：過P作PD⊥AB于D，依據(jù)△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，進而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，當(dāng)C，P，D在同一直線上時，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂線段CD的長，求得CD的長，即可得出結(jié)論．答案詳解：如圖所示，過P作PD⊥AB于D，∵直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點，令x＝0，則y＝﹣3；令y＝0，則x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），當(dāng)C，P，D在同一直線上，即CD⊥AB時，PC+PD的值最小，最小值等于垂線段CD的長，此時，△ACD是等腰直角三角形，又∵點C（0，1）在y軸上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值為，∴PC+PB的最小值為4，故答案為：4．11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．【答案】【分析】先證明四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，可得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，進而求出，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時，為最小，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，進而求解即可．【詳解】兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD，即，四邊形ABCD是平行四邊形，，，四邊形ABCD是菱形，過點D作DE⊥BC于點E，連接AC，交BD于點O，如圖，，，，，，，，，過點A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖，，要使的值最小，則需要滿足為最小，即為最小，當(dāng)B、P、M在同一直線上時，為最小，如圖，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進行求解即可．12．（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形是正方形紙片，．對折正方形紙片，使與重合，折痕為；展平后再過點折疊正方形紙片，使點落在上的點處，折痕為；再次展平，延長交于點Q．有如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤為線段上一動點，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號是．

【答案】①③④⑤【分析】①首先根據(jù)垂直平分，可得；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，據(jù)此判斷出為等邊三角形，即可判斷出．②首先根據(jù)，，求出；然后在中，根據(jù)，求出的大小即可．③證明所以．④構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可得出結(jié)論．⑤首先過點作，在同一條直線上且時的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接，

垂直平分，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：，，為等邊三角形，，即結(jié)論①正確；，，，，即結(jié)論②不正確．∵折疊，∴，∴∵∴∴∴，即結(jié)論③正確．設(shè)，則，∵，，∴，在中由，∴，解得：，即，即結(jié)論④正確．過點H作，是等邊三角形，，∴，在同一條直線上且時的值最小，此時，的最小值是，即結(jié)論⑤正確．故答案為：①③④⑤．【點睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．13．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在，，，求點到的距離．（2）【問題延伸】如圖②，在，，．若點在邊上，點在線段上，連結(jié)，過點作于，則的最小值為______．（3）【問題拓展】如圖（3），在矩形中，．點在邊上，點在邊上，點在線段上，連結(jié)．若，則的最小值為______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）過點作于，過點作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長，再由，即可求解；（2）連接，過點作于，過點作于．根據(jù)題意可得的最小值等于的長，再由當(dāng)時，的長最小，可得的最小值等于的長，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得的長，再由，即可求解；（3）過點F作于點H，連接，過點E作于點G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得在，從而得到，繼而得到的最小值等于，再由當(dāng)時，的長最小，即的長最小，可得的最小值等于，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點作于，過點作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴點到的距離為．（2）如圖，連接，過點作于，過點作于．∵，∴的最小值等于的長，∵當(dāng)時，的長最小，此時點Q與點H重合，∴的最小值等于的長，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值為；故答案為：（3）如圖，過點F作于點H，連接，過點E作于點G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵當(dāng)時，的長最小，即的長最小，此時點H與點G重合，∴的最小值等于，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東廣州·九年級?？甲灾髡猩┤鐖D，已知菱形的邊、上的中點分別為點E、F