專題03 平行線中的拐點(diǎn)模型之牛角模型（原卷版）

專題03平行線中的拐點(diǎn)模型之牛角模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（牛角模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：牛角模型圖1圖2如圖1，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3如圖2，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3-∠2=180°【模型證明】在圖1中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°圖1圖2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在圖2中，過E作AB的平行線EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的證明也可添加其他輔助線，如：延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，或延長(zhǎng)EB交CD于點(diǎn)F等。例1．（2023下·綿陽市·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線外一點(diǎn)，若，，則度．

例2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）空竹是我國(guó)傳統(tǒng)的一項(xiàng)游戲，其器材簡(jiǎn)單但是動(dòng)作花樣繁多，深受大眾喜愛．彤彤在跑步時(shí)發(fā)現(xiàn)廣場(chǎng)上抖空竹的老奶奶的某個(gè)動(dòng)作可以抽象成一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)圖形，如圖所示，，，，則的度數(shù)是．

例3．（2023下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某種零件的形狀如圖所示，現(xiàn)要判斷與是否平行，工人師傅分別測(cè)量了，和的度數(shù)后，就做出了判斷．試猜想，和之間滿足什么關(guān)系時(shí)，并證明你的猜想．

例4．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)在上方，連接，若，則度．

例5．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，．(1)如圖1，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖2，，，與交于點(diǎn)，求的度數(shù)．例6．（2023下·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，，點(diǎn)C在上方，連接、．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系______(3)如圖3，在（2）的條件下，的平分線交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，若平分，求的值．

例7．（2023·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)為之外任意一點(diǎn)．

（1）如圖1，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展變式】如圖，“抖空竹”是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．在“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖1所示，將圖1抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖2，若，則_______________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·四川內(nèi)江·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知直線，，，那么的大小為（

）

A． B． C． D．2．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，，，，則的值為（）A．65° B．40° C．20° D．15°3．（2023下·遼寧營(yíng)口·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，把含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，其中，直角邊和斜邊分別與直線相交，如果，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在多邊形中，，，，則的大小的為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·四川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線，將以，為兩腰的等腰的頂點(diǎn)P，N按如圖所示的方式分別放在a，b上，若，，則（

）

A． B． C． D．6．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，的直角頂點(diǎn)C在直線b上，若，，則等于（

）

A． B． C． D．7．（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是螳螂的示意圖，已知，則的度數(shù)為．

8．（2023下·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）歡歡觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是．

9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，的角平分線和的角平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則．

10．（2023·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，，，則．11．（2023下·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，、分別在、上，點(diǎn)在、之間，連接、，，平分，平分，在的下方有一點(diǎn)，平分，平分，求的度數(shù)為．12．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖，，作如圖所示的折線，，，反向延長(zhǎng)CG交BF于點(diǎn)F，已知，，則．13．（2023下·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線分別交，于點(diǎn)，．，分別平分與，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連接．是上一點(diǎn)，連接，，平分交于點(diǎn)，則．

14．（2023下·湖北·七年級(jí)黃石市有色中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，直線，直線EF與，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與的角平分線交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作交直線于點(diǎn)Q，連接，點(diǎn)M是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，若平分交于點(diǎn)N，則的度數(shù)為．

15．（2023下·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，，，求的度數(shù)．

16．（2023下·河南信陽·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖①，E是直線、內(nèi)部一點(diǎn)，，連接，。(1)若，，則___________；(2)猜想圖①中、、的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖②，射線與、分別交于點(diǎn)E、F，，a、b、c、d分別是被射線隔開的4個(gè)區(qū)域（不含邊界），其中區(qū)域c、d位于直線下方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的任意一點(diǎn)，猜想：、、的關(guān)系？（選擇其中一種情況畫出圖形，并直接寫出結(jié)論）

17．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以兩條平行線，和一塊含的直角三角尺（，）．(1)如圖（1），若三角尺的角的頂點(diǎn)G放在上，若，求的度數(shù)；(2)如圖（2），小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在和上，請(qǐng)你探索并說明與間的數(shù)量關(guān)系．

18．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，已知，，求的度數(shù)．（2）如圖2，，點(diǎn)P在的上方，之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，已知，求的度數(shù)．

19．（2023下·四川成都·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，點(diǎn)E為直線、所確定的平面內(nèi)一點(diǎn)．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接、，若，，，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，如圖3，過點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，作交于點(diǎn)H，使，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．20．（2023·四川遂寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，點(diǎn)C是之間（不在直線上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若與都是銳角，如圖甲，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系并說明原因；(2)若把一塊三角尺（）按如圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(3)將圖乙中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖丙，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段上，連接，且有，求的值．

21．（2023下·廣東惠州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線，點(diǎn)C是之間（不在直線上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若與都是銳角，如圖甲，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)若把一塊三角尺（）按如圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若，求的度數(shù)；(3)將圖乙中的三角尺進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖丙，直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段上，連接，且有，求值．

22．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在與之間時(shí)，若，則＝°；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右上方時(shí)，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明；（不需要寫出推理依據(jù)）(3)如圖③，平分平分，若，則＝°．23．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道兩直線的位置關(guān)系與角的數(shù)量關(guān)系存在聯(lián)系．由角的數(shù)量關(guān)系可以判定直線的位