專題11 特殊的平行四邊形中的圖形變換模型-翻折（折疊）模型（原卷版）

專題11.特殊的平行四邊形中的圖形變換模型--翻折（折疊）模型幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱)問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。翻折以矩形對(duì)稱最常見(jiàn)，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專題以各類(lèi)幾個(gè)圖形（菱形、矩形、正方形等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R(shí)儲(chǔ)備】折疊問(wèn)題的解決,大都是以軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作為切入點(diǎn)，而數(shù)形變化,是解決這類(lèi)問(wèn)題的突破口。有了“折”就有了”形”--軸對(duì)稱圖形、全等形；有了“折”就有了“數(shù)”--線段之間、角與角之間的數(shù)量關(guān)系。"折”就為“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化搭起了橋梁。特殊平行四邊形中的折疊問(wèn)題,還要考慮特殊平行四邊形本身的性質(zhì),有時(shí)也需要用到計(jì)算工具：相似和勾股定理。折疊的性質(zhì):重合部分是全等圖形,對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分?！局R(shí)儲(chǔ)備】1）矩形的翻折模型【常見(jiàn)模型】例1．（2023春·遼寧營(yíng)口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，連接，則的長(zhǎng)為（

）A．3.6 B．4.8 C．7.2 D．8.6例2．（2023春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形中．，，將沿翻折，使得點(diǎn)D落在邊上處，則的長(zhǎng)是（

）

A．3 B．4 C． D．例3．（2023春·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖矩形沿著對(duì)角線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，若．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．

例4．（2023·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則（）

A． B． C． D．例5．（2023春·四川南充·八年級(jí)期末）如圖，現(xiàn)有一張長(zhǎng)方形紙片，將長(zhǎng)方形紙片沿直線翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則折痕的長(zhǎng)為（

）

A． B． C．5 D．例6．（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．將四邊形沿著翻折，得到四邊形邊交邊于點(diǎn)G，連接、，則的面積的最小值為．

例7．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)翻折后，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的四邊形EFGH，，，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為（

）A．18cm B．18.4cm C．19.6cm D．20cm例8．（2023秋·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)D、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H，且C、H、G三點(diǎn)共線．(1)如圖1，若F為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，則＝

°，＝

；(2)如圖2，若F為的中點(diǎn)，平分，，，求的度數(shù)及的長(zhǎng)；(3)，，若F為的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．2）菱形的翻折模型【常見(jiàn)模型】例1．（2023春·廣西來(lái)賓·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處（不與、重合），折痕為，若，，則的長(zhǎng)為．

例2．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，，M是邊的中點(diǎn)，N是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接．對(duì)于結(jié)論I、Ⅱ，下列判斷正確的是（

）

結(jié)論I：當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；結(jié)論Ⅱ：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的長(zhǎng)度為A．I對(duì)Ⅱ不對(duì) B．I不對(duì)Ⅱ?qū)?C．I、Ⅱ都不對(duì) D．I、Ⅱ都對(duì)例3．（2023·山東棗莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例4．（2023春·湖北十堰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形紙片中，，E是邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)G處，折痕為，與交于點(diǎn)H，有如下結(jié)論：①；②；③；④，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④例5．（2023·浙江·九年級(jí)期末）對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8的菱形如圖所示，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O折疊菱形，使B，兩點(diǎn)重合，是折痕．若，則的長(zhǎng)為．例6．（2023秋·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為對(duì)稱軸將折疊得到，以為對(duì)稱軸將折疊得到，使得點(diǎn)落到上，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．3）正方形的翻折模型【常見(jiàn)模型】例1．（2023·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE翻折至△BFE，G是BE的中點(diǎn)，連接FG，則FG的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．例2．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)E，連接CE，將△BCE沿CE翻折，點(diǎn)B恰好與對(duì)角線AC上的點(diǎn)F重合，連接DF，若BE＝2，則△CDF的面積是（）A．1 B．3 C．6 D．例3．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，ABCD是一張邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)D的折痕將A角翻折，使得點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，則EG＝cm．例4．（2023春·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)、分別在邊、上，沿翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為；若線段的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，則.例5．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（填序號(hào)）．例6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考模擬）如圖在正方形中，，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線上，將沿翻折，使點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在對(duì)角線上，求.例7．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題情境：如圖1，在正方形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線上時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖3，連接分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

(3)如圖4，在線段上取一點(diǎn)，且使，連接，則在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，的值是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出其值；若果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，折疊菱形紙片，使得對(duì)應(yīng)邊過(guò)點(diǎn)C，若，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與O重合，折痕為，則五邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．（2023春·湖北恩施·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，P為AB的中點(diǎn)，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP所在的直線上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE，則∠DEC的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．80°4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，將△ABE沿著B(niǎo)E翻折，點(diǎn)A恰好落在CD上的點(diǎn)F處．若∠A=65°，則∠DFE的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·八年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將沿AE對(duì)折至，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．則下列結(jié)論：①；②BG＝CG；③；④；⑤∠AGB+∠AED＝135°．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2022春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E在邊AD上，，點(diǎn)F在邊BC上，將四邊形CDEF沿EF所在的直線翻折，點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)O處，點(diǎn)C落在點(diǎn)處．下列結(jié)論中，正確的有（

）①；②過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)P，是等腰直角三角形；③AB的長(zhǎng)為A．3個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．1個(gè)7．（2023春·重慶銅梁·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，點(diǎn)P在邊上，連接，將沿翻折得到，沿翻折得到，與交于點(diǎn)E．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．8．（2023春·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，為的中點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折至四邊形所在平面內(nèi)，得，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若，則四邊形的面積為（）

A． B．8 C．12 D．169．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形是一張矩形紙片，，若沿過(guò)點(diǎn)的折痕將角翻折，使點(diǎn)落在上的處，折痕交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（2023春·廣東八年級(jí)期中）如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片翻折，使點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線交點(diǎn)O處，折痕為，點(diǎn)E在邊上，則的長(zhǎng)為（）A．12 B．15 C．10 D．1511．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，則的最小值是（

）

A． B． C． D．12．（2023·陜西西安·八年級(jí)校考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E是CD上的一點(diǎn)，且DE＝2，將正方形沿AE翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)M處，延長(zhǎng)EM交BC于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．13．（2023·廣東深圳·一模）如圖，將正方形翻折，使點(diǎn)、分別與點(diǎn)、重合，折痕為，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、．給出以下結(jié)論：①垂直平分；②；③；④的周長(zhǎng)等于的2倍．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)14．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形沿BE翻折，延長(zhǎng)交于G，正方形邊長(zhǎng)為12，E是中點(diǎn)，．

15．（2023·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，連接，將沿翻折，得到，交于點(diǎn)F，連接．若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為．16．（2023春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖①，已知矩形的對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別交于點(diǎn)、將矩形紙片沿著翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，①如圖1，若，，則；②如圖2，直線分別交平行四邊形的邊、于點(diǎn)、，將平行四邊形沿著翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，若，，，則四邊形的面積是．17．（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）如圖，在矩形ABCD中，，，將矩形翻折，使邊AD與邊BC重合，展開(kāi)后得到折痕MN，E是AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，沿的方向在DC和CB上運(yùn)動(dòng)，將矩形沿EF翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的距離為．

18．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，將沿對(duì)角線翻折得到，與交于點(diǎn)E，再以為折痕，將進(jìn)行翻折，得到．若兩次折疊后，點(diǎn)恰好落在的邊上，則的長(zhǎng)為．19．（2023·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將沿翻折得到．延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

20．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【操作體驗(yàn)】如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上．將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）處，點(diǎn)落在正方形右側(cè)的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)．（1）在圖1中，若，，則_____，的度數(shù)為_(kāi)________【操作體驗(yàn)】（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：．【操作體驗(yàn)】（3）利用圖3探究，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)不變時(shí)，隨著折痕的變化，的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化？如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明變化規(guī)律；如果不會(huì)，請(qǐng)加以證明，并探究正方形周長(zhǎng)與的周長(zhǎng)的關(guān)系．

21．（2023·廣東深圳·?？既＃┰谒倪呅沃?，E是上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，