專題14 構(gòu)建函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題（分層精練）（解析版）

專題14構(gòu)建函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題（分層精練）1．（2022?黔西南州）如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過程中形成的拋物線．按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣x2+x+，則鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是m．【答案】10【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案為：10．2．（2022?南通）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是h＝﹣5t2+20t，當(dāng)飛行時(shí)間t為s時(shí)，小球達(dá)到最高點(diǎn)．【答案】2【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴當(dāng)t＝2時(shí)，h有最大值，最大值為20，故答案為：2．3．（2022?襄陽）在北京冬奧會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)比賽中，我國(guó)選手谷愛凌的精彩表現(xiàn)讓人嘆為觀止，已知谷愛凌從2m高的跳臺(tái)滑出后的運(yùn)動(dòng)路線是一條拋物線，設(shè)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為xm，與跳臺(tái)底部所在水平面的豎直高度為ym，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），當(dāng)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為m時(shí)，豎直高度達(dá)到最大值．【答案】8【解答】解：y＝x2+x+2＝﹣（x﹣8）2+4，∵﹣＜0，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y有最大值，最大值為4，∴當(dāng)她與跳臺(tái)邊緣的水平距離為8m時(shí)，豎直高度達(dá)到最大值．故答案為：8．4．（2022?連云港）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線y＝﹣0.2x2+x+2.25運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為3.05m，則他距籃筐中心的水平距離OH是m．【答案】4【解答】解：當(dāng)y＝3.05時(shí)，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距籃筐中心的水平距離OH是4m．故答案為：4．5．（2022?內(nèi)蒙古）某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品．若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品3件，需要550元．（1）求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品的單價(jià)；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn)．【解答】解：（1）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品每件需a元，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品每件需b元，由題意，得，解得，∴該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品每件需50元，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品每件需100元；（2）設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品y個(gè)，根據(jù)題意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且為正整數(shù)，∴y可取得的正整數(shù)值是20，21，22，23，24，25，與y相對(duì)應(yīng)的x可取得的正整數(shù)值是160，158，156，154，152，150，∴共有6種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)總利潤(rùn)為W元，則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W隨y的增大而減小，∴當(dāng)y＝20時(shí)，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品160件，B種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元．6．（2022?廣西）打油茶是廣西少數(shù)民族特有的一種民俗．某特產(chǎn)公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本價(jià)為50元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該種油茶的月銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該種油茶的月銷售利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn)．【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx+b，由題意得：，解得：，∴y＝﹣5x+500，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣5x+500＝0，∴x＝100，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小數(shù)位數(shù)只有一位且小數(shù)部分為偶數(shù)的數(shù)）；（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為w元，w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，∵拋物線開口向下，∴50＜x＜100，∴當(dāng)x＝75時(shí)，w有最大值，是3125，∴當(dāng)銷售單價(jià)定為75元時(shí)，該種油茶的月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3125元．7．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)為（5，3.2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：0.7＝25a+3.2，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，答：拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；（2）當(dāng)y＝1.6時(shí)，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她與爸爸的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），答：當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，與爸爸的水平距離是2m或6m．8．（2022?朝陽）某商店購(gòu)進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元時(shí)，每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11元時(shí)，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為多少元？（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【解答】解：（1）設(shè)每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，由題意可知：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為13元；（3）w＝y(tǒng)（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，當(dāng)x＜19時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝15時(shí)，w有最大值，最大值為525．答：每件消毒用品的售價(jià)為15元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是525元．9．（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．【解答】解：（1）設(shè)每盆A種花卉種植費(fèi)用為x元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為y元，根據(jù)題意，得：，解得：，答：每盆A種花卉種植費(fèi)用為30元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為60元；（2）設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為m盆，則種植B種花卉的數(shù)量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，解得：m≤200，w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，∵﹣30＜0，∴w隨m的增大而減小，當(dāng)m＝200時(shí)，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為18000元．10．（2022?鄂爾多斯）某超市采購(gòu)了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購(gòu)進(jìn)50個(gè)．（1）求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購(gòu)一批同樣的掛件，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？【解答】解：（1）設(shè)第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為x元，則第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為1.1x元，根據(jù)題意可得，+50＝，解得x＝40．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原分式方程的解，且符合實(shí)際意義，∴1.1x＝44．∴第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為40元．（2）設(shè)每個(gè)售價(jià)定為y元，每周所獲利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x≥52時(shí)，y隨x的增大而減小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴y≥55，∴當(dāng)y＝55時(shí)，w取最大，此時(shí)w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴當(dāng)每個(gè)掛件售價(jià)定為55元時(shí)，每周可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1350元．11．（2022?深圳）某學(xué)校打算購(gòu)買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價(jià)比乙種類型的要便宜1元，且用110元購(gòu)買的甲種類型的數(shù)量與用120元購(gòu)買的乙種類型的數(shù)量一樣．（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價(jià)．（2）該學(xué)校打算購(gòu)買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購(gòu)買的乙的數(shù)量不超過甲的3倍，則購(gòu)買的最低費(fèi)用是多少．【解答】解：（1）設(shè)甲類型的筆記本單價(jià)為x元，則乙類型的筆記本單價(jià)為（x+1）元，由題意得，，解得x＝11，經(jīng)檢驗(yàn)x＝11是原方程的解，且符合題意，∴乙類型的筆記本單價(jià)為x+1＝11+1＝12（元），答：甲類型的筆記本單價(jià)為11元，乙類型的筆記本單價(jià)為12元；（2）設(shè)甲類型筆記本購(gòu)買了a件，費(fèi)用為w元，則乙類型的筆記本購(gòu)買了（100﹣a）件，∵購(gòu)買的乙的數(shù)量不超過甲的3倍，∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，解得25≤a≤100，根據(jù)題意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，∵﹣1＜0，∴w隨a的增大而減小，∴a＝100時(shí)，w最小值為﹣100+1200＝1100（元），答：最低費(fèi)用為1100元．12．（2022?濟(jì)寧）某運(yùn)輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運(yùn)往A，B兩地，兩種貨車載重量及到A，B兩地的運(yùn)輸成本如表：貨車類型載重量（噸/輛）運(yùn)往A地的成本（元/輛）運(yùn)往B地的成本（元/輛）甲種161200900乙種121000750（1）求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；（2）如果前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運(yùn)往B地．設(shè)甲、乙兩種貨車到A，B兩地的總運(yùn)輸成本為w元，前往A地的甲種貨車為t輛．①寫出w與t之間的函數(shù)解析式；②當(dāng)t為何值時(shí)，w最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【解答】解：（1）設(shè)甲種貨車用了x輛，則乙種貨車用了（24﹣x）輛，根據(jù)題意得：16x+12（24﹣x）＝328，解得x＝10，∴24﹣x＝24﹣10＝14，答：甲種貨車用了10輛，乙種貨車用了14輛；（2）①根據(jù)題意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500∴w與t之間的函數(shù)解析式是w＝50t+22500；②∵，∴0≤t≤10，∵前往A地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運(yùn)物資不少于160噸，∴16t+12（12﹣t）≥160，解得t≥4，∴4≤t≤10，在w＝50t+22500中，∵50＞0，∴w隨t的增大而增大，∴t＝4時(shí)，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），答：當(dāng)t為4時(shí)，w最小，最小值是22700元．13．（2022?梧州）梧州市地處亞熱帶，盛產(chǎn)龍眼．新鮮龍眼的保質(zhì)期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓肉）則有利于較長(zhǎng)時(shí)間保存．已知3kg的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成1kg的龍眼干．（1）若新鮮龍眼售價(jià)為12元/kg．在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，則龍眼干的售價(jià)應(yīng)不低于多少元/kg？（2）在實(shí)踐中，小蘇發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)卦诩庸堁鄹傻倪^程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農(nóng)的利益，龍眼干的銷售收益應(yīng)不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時(shí)龍眼干的定價(jià)取最低整數(shù)價(jià)格．市場(chǎng)調(diào)查還發(fā)現(xiàn)，新鮮龍眼以12元/kg最多能賣出100kg，超出部分平均售價(jià)是5元/kg，可售完．果農(nóng)們都以這種方式出售新鮮龍眼．設(shè)某果農(nóng)有akg新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元，請(qǐng)寫出w與a的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）設(shè)龍眼干的售價(jià)為x元/kg，新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12×3a＝36a（元），加工成龍眼干后共a千克，總銷售收益為x×a＝ax（元），∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴ax≥36a，解出：x≥36，故龍眼干的售價(jià)應(yīng)不低于36元/kg；（2）a千克的新鮮龍眼一共可以加工成（1﹣6%）a＝a千克龍眼干，設(shè)龍眼干的售價(jià)為y元/千克，則龍眼干的總銷售收益為ay元，當(dāng)a≤100千克時(shí)，新鮮龍眼的總收益為12a元，∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴≥12a，解得：y≥，∵y為整數(shù)，∴y最小為39，∴龍眼干的銷售總收益為a＝a（元），此時(shí)全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差w＝a﹣12a＝；當(dāng)a＞100千克時(shí)，新鮮龍眼的總收益為12×100+5（a﹣100）＝（5a+700）元，龍眼干的總銷售收益為a元，此時(shí)全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差w＝a﹣（5a+700）＝（a﹣700）元，綜上，w與a的函數(shù)關(guān)系式為w＝14．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，我市某鎮(zhèn)鼓勵(lì)廣大農(nóng)戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產(chǎn)品、某經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲種產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為8元/kg；乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨總金額y（單位：元）與乙種產(chǎn)品進(jìn)貨量x（單位：kg）之間的關(guān)系如圖所示．已知甲、乙兩種產(chǎn)品的售價(jià)分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種產(chǎn)品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產(chǎn)品的進(jìn)貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設(shè)銷售完甲、乙兩種產(chǎn)品