2024-2025學年高中數學第三章導數及其應用3.1.1變化率問題3.1.2導數的概念學案新人教A版選修1-1

PAGE3．1變更率與導數3.1.1變更率問題3．1.2內容標準學科素養(yǎng)1.了解導數概念的實際背景．2.會求函數在某一點旁邊的平均變更率．3.會利用導數的定義求函數在某點處的導數.利用數學抽象提升邏輯推理授課提示：對應學生用書第49頁[基礎相識]學問點一函數的平均變更率eq\a\vs4\al(預習教材P72－73，思索并完成以下問題)豐富多彩的變更率問題隨處可見．導數探討的問題就是變更率問題，那么，變更率和導數是怎樣定義呢？(1)氣球膨脹率氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數關系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3?r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).當空氣容量V從0增加到1L時，氣球半徑增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，氣球的平均膨脹率為eq\f(r1－r0,1－0)≈0.62(dm/L)．類似地，當空氣容量V從1L增加到2L時，氣球半徑增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，氣球的平均膨脹率為eq\f(r2－r1,2－1)≈0.16(dm/L)．當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？提示：eq\f(rV2－rV1,V2－V1)(2)高臺跳水在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.假如我們用運動員在某段時間內的平均速度eq\x\to(v)描述其運動狀態(tài)，那么：求0≤t≤0.5和1≤t≤2這段時間內的eq\x\to(v).提示：在0≤t≤0.5這段時間里，eq\x\to(v)＝eq\f(h0.5－h(huán)0,0.5－0)＝4.05(m/s)；在1≤t≤2這段時間里，eq\x\to(v)＝eq\f(h2－h(huán)1,2－1)＝－8.2(m/s)．學問梳理函數的平均變更率對于函數y＝f(x)，給定自變量的兩個值x1和x2，當自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，我們把式子eq\f(fx2－fx1,x2－x1)稱為函數y＝f(x)從x1到x2的平均變更率．習慣上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相對于x1的一個“增量”，可用x1＋Δx代替x2；類似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均變更率可表示為eq\f(Δy,Δx).思索：視察函數y＝f(x)的圖象(如圖)，平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示什么？提示：過曲線上兩點的割線的斜率．學問點二函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率eq\a\vs4\al(預習教材P74－75，思索并完成以下問題)在高臺跳水運動中，計算運動員在0≤t≤eq\f(65,49)這段時間里的平均速度，并思索下面的問題：(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎？(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？提示：(1)運動員在這段時間里不是靜止的．(2)平均速度不能反映他在這段時間里的運動狀態(tài)，須要用瞬時速度描述運動狀態(tài)．把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求從2s到(2＋Δt)s這段時間內平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(h2＋Δt－h(huán)2,Δt)＝－13.1－4.9Δt.我們發(fā)覺，當Δt趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值－13.1.從物理的角度看，時間間隔|Δt|無限變小時，平均速度eq\x\to(v)就無限趨近于t＝2時的瞬時速度．因此，運動員在t＝2時的瞬時速度是－13.1m/s.為了表述便利，我們用lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(h2＋Δt－h(huán)2,Δt)＝－13.1表示“當t＝2，Δt趨近于0時，平均速度eq\x\to(v)趨近于確定值－13.1”．學問梳理瞬時變更率把式子：lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函數f(x)在x＝x0處的瞬時變更率．注：瞬時變更率是當自變量的變更量趨近于0時，平均變更率趨近的值，它刻畫函數在某一點處變更的快慢．學問點三導數的概念學問梳理一般地，函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率是：lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我們稱它為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).[自我檢測]1．假如質點M按規(guī)律s＝3＋t2運動，則在時間段[2,2.1]中相應的平均速度是()A．4 B．4.1C．0.41 D．3答案：B2．如圖，函數y＝f(x)在A，B兩點間的平均變更率是()A．－1 B．1C．2 D．－2答案：A3．設函數f(x)在點x0旁邊有意義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數)，則()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b答案：C授課提示：對應學生用書第51頁探究一求函數的平均變更率[教材P75例1改編]將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，須要對原油進行冷卻和加熱．假如第xh時，原油的溫度(單位：℃)為y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計算從2h到6h時，原油溫度的平均變更率．解析：Δy＝f(6)－f(2)＝62－7×6＋15－22＋7×2－15＝4，Δx＝6－2＝4，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4,4)＝1，∴從2h到6h原油溫度的平均變更率為1.[例1]已知函數f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求當x1＝4且Δx＝1時，函數增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx)；(2)求當x1＝4且Δx＝0.1時，函數增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx)；(3)若設x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)問中的平均變更率的幾何意義．[解析](1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2xeq\o\al(2,1)－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.當x1＝4且Δx＝1時，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)當x1＝4且Δx＝0.1時，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1.92,0.1)＝19.2.(3)在(1)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f5－f4,5－4)，它表示曲線上點P0(4,39)與P1(5,60)連線所在直線的斜率；在(2)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f4.1－f4,4.1－4)，它表示曲線上點P0(4,39)與P2(4.1,40.92)連線所在直線的斜率．方法技巧求平均變更率的主要步驟(1)先計算函數值的變更量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再計算自變量的變更量Δx＝x2－x1.(3)得平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟蹤探究1.求函數f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率，并求當x0＝2，Δx＝0.1時平均變更率的值．解析：函數f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.當x0＝2，Δx＝0.1時，函數y＝3x2＋2在區(qū)間[2,2.1]上的平均變更率為6×2＋3×0.1＝12.3.探究二物體運動的瞬時速度[教材P79習題3.1A組2題]在高臺跳水運動中，ts時運動員相對于水面的高度(單位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求運動員在t＝1s時的瞬時速度，并說明此時的運動狀況．解析：eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(h1＋Δt－h(huán)1,Δt)＝－4.9Δt－3.3，所以h′(1)＝－3.3.這說明運動員在t＝1s旁邊以每秒3.3m的速度下降．[例2]某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，則物體在t＝1s時的瞬時速度為________m/s.[解析]∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1處的瞬時變更率為3，即物體在t＝1s時的瞬時速度為3m/s.[答案]3方法技巧求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求時間變更量Δt和位移變更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于的常數v即為瞬時速度．延長探究(1)若本例中的條件不變，試求物體的初速度．(2)若本例中的條件不變，試問物體在哪一時刻的瞬時速度為9m解析：(1)求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度，∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0處的瞬時變更率為1，即物體的初速度為1m/s.(2)設物體在t0時刻的瞬時速度為9eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt，lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1，則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時的瞬時速度為9m/s.跟蹤探究2.一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，則常數a＝________.解析：質點M在t＝2時的瞬時速度即為函數在t＝2處的瞬時變更率．∵質點M在t＝2旁邊的平均變更率eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(a2＋Δt2－4a,Δt)＝4a＋aΔt，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝4a＝8，即a＝2.答案：2探究三求函數在某一點處的導數[例3](1)求函數f(x)＝3x2－2x在x＝1處的導數．[解析]∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx2＋4Δx,Δx)＝3Δx＋4，∴y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))(3Δx＋4)＝4.(2)已知函數y＝ax－eq\f(1,x)在x＝1處的導數為2，求a的值．[解析]∵Δy＝a(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,1)))＝aΔx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(aΔx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝a＋eq\f(1,1＋Δx)，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1＋Δx)))＝a＋1＝2，從而a＝1.方法技巧求函數y＝f(x)在點x0處的導數的三個步驟簡稱：一差，二比，三極限．跟蹤探究3.求函數f(x)＝eq\r(x)在x＝1處的導數．解析：∵Δy