江蘇省無錫市南長實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期10月自主練習(xí)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年秋學(xué)期自主練習(xí)七年級(jí)數(shù)學(xué)考試時(shí)間：100分鐘滿分分值：120分一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，據(jù)此判定即可．A．是軸對(duì)稱圖形，符合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D．不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：A．2.已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)．解題時(shí)要認(rèn)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系．全等圖形要根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)邊去找對(duì)應(yīng)角，并運(yùn)用“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”即可得答案．解：∵圖中的兩個(gè)三角形全等，∴b與b，c與c分別是對(duì)應(yīng)邊，那么它們夾角就是對(duì)應(yīng)角，∴．故選：A．3.在和中，，，添加下列條件后，不能判定的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，根據(jù)判定定理逐項(xiàng)判斷即可．∵，∴≌，可知B不符合題意；∵，∴≌，可知C不符合題意；∵，∴≌，可知D不符合題意；當(dāng)，不能判斷這兩個(gè)三角形全等，所以A符合題意．故選：A．4.說法中正確的是（）A.全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B.全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形C.兩個(gè)等邊三角形是全等三角形 D.周長相等的兩個(gè)三角形不一定全等【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的概念，根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．解：形狀相同的兩個(gè)三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；面積相等的兩個(gè)三角形形狀不一定相同，不一定是全等三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；兩個(gè)等邊三角形，形狀相同，邊長不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．長相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故選項(xiàng)D正確；故選D．5.如圖，在中，是的中點(diǎn)，且，，交AB于點(diǎn)，，，則的周長等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由是的中點(diǎn)可得，進(jìn)而由可得BD為的垂直平分線，得到，由三線合一得到，又由得，即得，得到，據(jù)此可得的周長，即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．解：∵是的中點(diǎn)，，∴，又∵，∴BD為的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長，故選：．6.如圖，在中，，高，高交于點(diǎn)H．若，，則的長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)．解決本題的根據(jù)是證明．先由已知得到，根據(jù)三角形面積求出，證明，即可求得繼而可得答案．解：，，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，，，，，在和中，，，，，，故選：B．7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查根據(jù)線段構(gòu)造等腰三角形，可分別以當(dāng)為腰時(shí)，當(dāng)為底時(shí)，這兩種情況構(gòu)造等腰三角形，即可找出點(diǎn)C．解：當(dāng)為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有2個(gè)；當(dāng)為底時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：C．8.如圖，將一個(gè)等腰按如圖方式折疊，若、，下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長．其中正確的是（）A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，等腰直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；由△ABC為等腰直角三角形，得，，根據(jù)折疊可得，，可判定①錯(cuò)誤；而，，可判定②正確；由，可判定③正確；又的周長，可判定④正確，即可得到答案．解：為等腰直角三角形，∴，，折疊得到，，，，為等腰直角三角形，，，由折疊得到，，，，不平分，所以①錯(cuò)誤；，，，所以②正確；，是等腰三角形，所以③正確；的周長，的周長等于的長，所以④正確．故答案為：②③④，故選：B．9.如圖，在中，，，且．為內(nèi)部一點(diǎn)，且，．點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，下列角度的值不變的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，分別求出各選項(xiàng)中的角度，進(jìn)行判斷即可．解：∵，，∴，∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；綜上：的值不變；故選B．10.如圖，在中，，于點(diǎn)，平分，且于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A.①② B.①③ C.①②③ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得出,利用判定,從而得出.則,即；再利用判定,得出又因?yàn)樗赃B接.因?yàn)槭堑妊苯侨切?即.又因?yàn)?那么垂直平分.即.在中,是斜邊,CE是直角邊,所以.即.解：∵，∴是等腰直角三角形，∴，故①正確；在和中，∵,,且，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故②正確；在和中∵平分，∴，又∵,，∴，，又由,知，∴，故③正確；連接，∵是等腰直角三角形，∴，又，∴垂直平分，∴，在中，∵是斜邊，是直角邊，∴，∵，∴，故④錯(cuò)誤；綜上分析可知，正確的是①②③．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:.在復(fù)雜的圖形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并應(yīng)用此點(diǎn).二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共24分）11.正六邊形是軸對(duì)稱圖形，它有______條對(duì)稱軸．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和對(duì)稱軸的定義進(jìn)行求解即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就叫做對(duì)稱軸．解：如圖所示，，正六邊形有6條對(duì)稱軸，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸條數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱圖形和對(duì)稱軸的定義．12.一個(gè)三角形的三邊為、、，另一個(gè)三角形的三邊為、、，若這兩個(gè)三角形全等，則__________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．直接利用全等三角形的性質(zhì)得出，的值進(jìn)而得出答案．解：一個(gè)三角形三邊為、、，另一個(gè)三角形的三邊為、、，，，∴．故答案為：．13.將一矩形紙條，按如圖所示折疊，則∠1=_______度．【答案】52【解析】解：由折疊得∠3=64°，∴∠2=180°-64°-64°=52°∵a∥b，∴∠1=∠2=52°故答案為：5214.如圖，在中，，，，AB的垂直平分線分別交AB，于點(diǎn)、，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)、，則的周長為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故答案為：．15.已知，，的面積為，則邊上的高為________．【答案】或10厘米【解析】【分析】過A作于M，過D作于N，求出的面積，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．解：過A作于M，過D作于N，∵，∴面積和的面積相等，∵，的面積為，∴，∴，∴邊上的高為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積，關(guān)鍵是能根據(jù)已知得出的面積．16.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角為__________．【答案】或．【解析】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的分類討論問題，解題的關(guān)鍵是能夠畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求出答案．根據(jù)題意可知等腰三角形需要分類討論，分為銳角三角形和鈍角三角形，畫出圖形解答即可．解：①如圖所示，當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí)，根據(jù)題意，，又∵BM是邊上的高，∴，∴，②如圖，當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí)，根據(jù)題意，，∵是邊上的高∴，∴，∴故頂角為：或．17.如圖，已知，為內(nèi)任一點(diǎn)，且，請(qǐng)?jiān)趫D中分別畫出點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連，，，則的面積為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形面積公式．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，，可得到，，再由三角形面積公式，即可求解．解：連接，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴，，∴的面積為．故答案為：．18.如圖，中，平分∠ABC，如果點(diǎn)M，N分別為上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是__________．【答案】4.8【解析】【分析】先作垂直交于點(diǎn)，再作垂直，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，即可找到動(dòng)點(diǎn)和，進(jìn)而求得的最小值．解：如圖所示：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，．中，，，，，，，，．即的最小值是4.8，故答案為：4.8【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題、角分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找到使最小時(shí)的動(dòng)點(diǎn)和．三、解答題（本大題共7小題，共66分）19.已知：如圖，F(xiàn)、C是上的兩點(diǎn)，且，，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)；（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)證明；（2）根據(jù)三角形的全等的性質(zhì)，得出，即可證明．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的全等的判定判定方法，“，，，，”．【小問1】證明：∵，∴，∵，∴，即，在和中，∴；【小問2】解：∵，∴，∴．20.如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)（頂點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn)）是過網(wǎng)格線的一條直線．（1）求的面積；（2）作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形；（3）在邊上找一點(diǎn)，連接，使得．【答案】（1）10（2）作圖見解析（3）作圖見解析【解析】【分析】本題考查網(wǎng)格中求三角形面積、對(duì)稱作圖及作線段垂直平分線，涉及三角形面積公式、對(duì)稱性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)等，熟練掌握網(wǎng)格中求圖形面積、對(duì)稱作圖及作垂直平分線是解決問題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，在網(wǎng)格中得到三角形的底邊與高長，根據(jù)三角形面積公式，代值求解即可得到答案；（2）根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，作出三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接三點(diǎn)即可得到；（3）由題意，在邊上找一點(diǎn)，使，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，將題目轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線，如圖所示即可得到答案．【小問1】解：如圖所示：；【小問2】解：如圖所示：即為所求；【小問3】解：如圖所示：點(diǎn)即為所求．21.如圖，已知AC、DB的交點(diǎn)為E，AE＝DE,；過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．（1）求證：ABE≌DCE；（2）求證：F為BC邊的中點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等再結(jié)合已知條件即可利用ASA證明全等；（2）由（1）中全等可得BE=CE，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明．（1）在ABE和DCE中，∴ABE≌DCE（ASA）（2）由（1）得ABE≌DCE∴BE=CE∵EF⊥BC∴BF=FC即F為BC邊的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，比較基礎(chǔ)，理解并熟記等腰三角形的三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，已知：在中，的外角的平分線與的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O，且，分別交于點(diǎn)M、N．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）．【解析】【分析】（1）因?yàn)槭堑钠椒志€，根據(jù)角平分線的定義，得，因?yàn)?，根?jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得，等量代換得，根據(jù)等角對(duì)等邊，得；（2）同理可證得，由圖可知，，等量代換得，．【小問1】證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2】解：∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）得，∵．【點(diǎn)睛】本題目是一道角平分線的綜合題，涉及到三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線、平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角等．本題目兩次利用“角平分線加平行，出現(xiàn)等腰三角形”模型．23.【閱讀理解】（1）如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，求邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到，使，再證明“”．探究得出AD的取值范圍是____________；【靈活運(yùn)用】（2）如圖，中，，，AD是中線，，，且，求的長．【拓展延伸】（3）如圖，在中，AD平分，且AD交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作平行于AD，交AB于點(diǎn)，交CA的延長線于點(diǎn)．若，，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定及性質(zhì)可得，再利用三角形的三邊關(guān)系可得，進(jìn)而可求解．（2）延長交的延長線于，利用全等三角形的判定及性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．（3）利用倍長中線法，延長到，使，連接，如圖所示，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，最后數(shù)形結(jié)合得到，代值求解即可得到答案．解：（1）延長到E，使，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，故答案為：；（2）延長交的延長線于，如圖：∵AD是的中線，∴，∵，，，在和中，，，，，∵，，，；（3）延長到，使，連接，如圖所示：，，，平分，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，即，，，，；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24.（動(dòng)點(diǎn)、全等）如圖，在中，，高、相交于點(diǎn)O，，且．（1）求線段的長；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S，請(qǐng)用含t的式子表示S，并直接寫出相應(yīng)的t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F是直線上的一點(diǎn)且．是否存在t值，使以點(diǎn)B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F、C、Q為頂點(diǎn)的三角形全等？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）5（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）證明即可得到線段長；（2）分兩種情況討論：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，，即可得出的取值范圍；（3）分兩種情況討論：①如圖3，當(dāng)時(shí)，；②如圖4，當(dāng)時(shí)，，即可求出值．【小問1】、是的高，，，，，，在和中，，；【小問2】，，，，設(shè)，，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)線段上時(shí)，