第05講直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)（知識解讀真題演練課后鞏固）

第05講直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)了解直線與圓的三種位置關(guān)系；了解圓的切線的概念；掌握直線與圓位置關(guān)系的性質(zhì)。知識點1直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點；2、直線與圓相切有一個交點；3、直線與圓相交有兩個交點；知識點2切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。知識點3切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分知識點4三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOADC【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判定】【典例1】（2023?濱江區(qū)二模）已知⊙O的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】B【解答】解：∵⊙O的直徑為4，∴⊙O的半徑為2，∵點O到直線l的距離為2，∴d＝r∴l(xiāng)與⊙O的位置關(guān)系相切．故選：B．【變式11】（2022秋?江漢區(qū)校級期末）已知⊙O半徑為4cm，若直線上一點P與圓心O距離為4cm，那么直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】D【解答】解：⊙O半徑為4cm，若直線上一點P與圓心O距離為4cm，那么直線與圓的位置關(guān)系是無法確定，故選：D．【變式12】（2022秋?洪山區(qū)校級期末）圓的半徑是6.5cm，如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【解答】解：∵圓的半徑為6.5cm，圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，∴圓的半徑≥圓心到直線的距離，∴直線于圓相切或相交，故選：D．【變式13】（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，即圓心O到直線l的距離小于圓的半徑，∴直線l和⊙O相交，∴直線l與⊙O有2個公共點．故選：C．【題型2利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長的運算】【典例2】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：如圖：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故選：D．【變式21】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故選：D．【變式22】（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C＝30°，OA＝2，則BD的長為（）?A．2 B．2 C．3 D．3【答案】B【解答】解：∵AC是⊙O的切線，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝60°，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OA＝2，∴AB＝4，∴BD＝AB?sin60°＝4×＝2，故選：B．【變式23】（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點D，連接BD．若BD平分∠ABC，，則線段AB的長是（）A． B． C．3 D．6【答案】D【解答】解：連接OD，∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點D是切點，∴OD⊥AC，∵OD＝OB，∴OBD＝ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝CBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴BC⊥AC，∴∠ADO＝∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴AO＝2OD，設(shè)OD＝OB＝x，則AO＝2x，AB＝3x，∴AD＝x，AC＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x﹣x＝，∴x＝2，∴AB＝3x＝6．故選：D．【典例3】（2023?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，D是AC上一點，以AD為直徑的半圓O恰好切CB于點B．連接BD，若∠CBD＝21°，則∠C的度數(shù)為（）A．42° B．45° C．46° D．48°【答案】D【解答】解：連接OB，∵CB與⊙O相切于B，∴半徑OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠OBD＝∠OBC﹣∠CBD＝69°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD＝69°，∵∠ODB＝∠C+∠CBD，∴∠C＝∠ODB﹣∠CBD＝69°﹣21°＝48°．故選：D．【變式31】（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：連接OC，∵直線CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故選：B．【變式32】（2023?浙江二模）如圖，AC與⊙O相切于點A，B為⊙O上一點，BC經(jīng)過圓心O，若∠B＝25°，則∠C的大小等于（）A．20° B．40° C．25° D．50°【答案】B【解答】解：連接OA，∵AC與⊙O相切于點A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵∠B＝25°，∴∠AOC＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故選：B．【變式33】（2023?泰安三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，∠E＝40°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，則∠CDB等于（）?A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：連接OC，∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝40°，∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠CDB＝∠COE＝25°．故選：A．【題型3切線的判定】【典例4】（2023?東莞市校級模擬）如圖，∠AOB＝60°，以O(shè)B為半徑的⊙O交OA于點C，且OC＝CA，求證：AB是⊙O的切線．【答案】見解析．【解答】證明：連接BC，∵∠AOB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°，∵OC＝CA，∠OCB＝∠CAB+∠CBA＝60°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∴∠OBA＝∠OBC+∠CBA＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．【變式41】（新疆期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E．在AC上取一點D，使得DE＝AD．求證：DE是⊙O的切線．【答案】證明見解答過程．【解答】證明：如圖，連接OE、OD，在△OED和△OAD中，，∴△OED≌△OAD（SAS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．【變式42】（昭通期末）如圖，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，點C是BD的延長線上的一點，CD＝2，求證：AC是⊙O的切線．【答案】見解答．【解答】證明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB為⊙O的直徑，∵BD＝2AD＝8，∴AD＝4，在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2＝42+22＝20，∵BC2＝（2+8）2＝10，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵AB為直徑，∴AC是⊙O的切線．【變式43】（大名縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，∠BAF的平分線AE交⊙O于點E，過點E作ED⊥AF，交AF的延長線于點D，延長DE、AB相交于點C．求證：CD是⊙O的切線．【答案】證明見解答過程．【解答】證明：連接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，∴∠OEA＝∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∵OE是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．【題型4切線的性質(zhì)與判定的綜合運用】【典例5】（2023?牧野區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半徑．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，∵點A在⊙O上，∴AE是⊙O的切線；（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四邊形AOFE是矩形，∴OF＝AE＝4cm，又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，即⊙O的半徑為5cm．【變式51】（2023?廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點A，延長AO交PD于點C，過點O作OB⊥PD，垂足為B．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長．【答案】（1）證明見解答；（2）PA的長是12．【解答】（1）證明：∵PA與⊙O相切于點A，且OA是⊙O的半徑，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于點B，OA⊥PA于點A，∴OB＝OA，∴點B在⊙O上，∵OB是⊙O的半徑，且PB⊥OB，∴PB是⊙O的切線．（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，∵∠OBC＝90°，∴BC＝＝＝3，∵∠A＝90°，∴＝＝tan∠ACP＝，∴PA＝AC＝×9＝12，∴PA的長是12．【變式52】（2023?金寨縣校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD＝CB，AC，BD相交于點E，過點C作CF∥BD，CF與AB的延長線相交于點F，連接AD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2.8．【解答】（1）證明：連接OD，連接OC交BD于M，∵CD＝CB，∴＝，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，∴OC⊥BD，DM＝BM，∵CF∥BD，∴半徑OC⊥CF，∴CF是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OM＝x，∵OC＝AB＝5，∴MC＝5﹣x，∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，∴x＝1.4，∵AO＝OB，DM＝BM，∴OM是△BAD的中位線，∴AD＝2OM＝2x＝2.8．【變式53】（2023?德慶縣二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在邊AC上，以點O為圓心，OC為半徑的圓交邊AC于點D，交邊AB于點E，且BC＝BE．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半徑．?【答案】（1）見解答；（2）10．【解答】（1）證明：如圖1，連接OE，連接BO，在△OBC和△OBE中，，∴△BOE≌△BOC（SSS），∴∠BEO＝∠BCO，∵∠BCO＝90°，∴∠BEO＝90°，∵OE是半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接OE，∵BE＝15，AE＝24，∴BC＝BE＝15，AB＝BE+AE＝15+24＝39，∴AC＝＝＝36，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝OC＝r，OA＝36﹣r，∵OA2＝OE2+AE2，∴（36﹣r）2＝r2+242，解得：r＝10，∴⊙O的半徑為10．【題型5利用切線長定理的性質(zhì)求線段長度或周長】【典例6】（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點D、E分別為邊AB、AC上的點，且DE為⊙O的切線，若△ABC的周長為25，BC的長是9，則△ADE的周長是（）A．7 B．8 C．9 D．16【答案】A【解答】解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．故選：A．【變式61】（2022秋?鳳臺縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【答案】B【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．【變式62】（2022秋?林州市期中）如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，CD切⊙O于點E，且分別交PA，PB于點C，D，若PA＝6，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．12 D．10【答案】C【解答】解：∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，CD切⊙O于點E，PA＝6，∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周長＝PC+CE+PD+DE＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝12，故選：C．【變式63】2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【解答】解：∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周長為16．故選：C．【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】【典例71】（2023?炎陵縣模擬）如圖，已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（）?A．140° B．135° C．125° D．110°【答案】C【解答】解：∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓，∴點O為三角形的內(nèi)心，即點O為△ABC三個內(nèi)角平分線的交點，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝．∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝55°．∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．故選：C．【典例72】（2023?泗陽縣一模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問題中，該內(nèi)切圓的直徑長是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【答案】C【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC?BC＝×8×15＝60，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，分別連接圓心和三個切點，及OA、OB、OC，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴內(nèi)切圓的直徑為6步，故選：C．【變式71】（2023?婁底一模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝53°，則∠A的度數(shù)是（）A．36° B．53° C．74° D．128°【答案】C【解答】解：連接OD、OF，∵⊙O分別與AB、AC相切于點D、點F，∴AB⊥OD，AC⊥OF，∴∠ODA＝∠OFA＝90°，∵∠DEF＝53°，∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，故選：C．【變式72】（2022秋?豐寧縣校級期末）如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，與三邊的切點分別為D、E、F，則⊙O的面積為（）（結(jié)果保留π）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】A【解答】解：連接OE、OF，∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝5，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點，∴FB＝DB，CE＝CF，AD＝AF，OE⊥BC，OF⊥AC，又∵∠C＝90°，OF＝OE，∴四邊形ECFO為正方形，∴設(shè)OE＝OF＝CF＝CE＝x，∴BE＝4﹣x，F(xiàn)A＝3﹣x；∴DB＝4﹣x，AD＝3﹣x，∴3﹣x+4﹣x＝5，解得：x＝1，則⊙O的面積為：π．故選：A．【變式73】（2022秋?南開區(qū)校級期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．2【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，∴AB＝＝6，∵⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，如圖，連接OD，OF，∵OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠ODC＝∠A＝∠OFA＝90°，∴四邊形ADOF是正方形，設(shè)OD＝OF＝AF＝AD＝x，則CE＝CF＝8﹣x，BD＝BE＝6﹣x，∵BE+CE＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，∴x＝2，則圓O的半徑為2．故選：C．1．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點B，連結(jié)OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結(jié)CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°【答案】C【解答】解：連接OB，∵AB切⊙O于B，∴半徑OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故選：C．2．（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解答】解：連接OC，∵直線CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故選：B．3．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故選：C．4．（2023?濱州）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為62°或118°．【答案】62°或118°．【解答】解：如圖，連接CA，BC，∵PA、PB切⊙O于點A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，由圓周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．當點C在劣弧AB上時，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ACB＝118°，故答案為：62°或118°．5．（2023?岳陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為．【答案】．【解答】解：設(shè)⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，∵CD是⊙C的半徑，AB與⊙C相切于點D，∴AB⊥CD，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵AB?CD＝AC?BC＝S△AOB，∴×10CD＝×8×6，解得CD＝，∴r＝CD＝，故答案為：．6．（2023?浙江）如圖，點A是⊙O外一點，AB，AC分別與⊙O相切于點B，C，點D在上．已知∠A＝50°，則∠D的度數(shù)是65°．【答案】65°．【解答】解：連接OC，OB，∵AB，AC分別與⊙O相切于點B，C，∴∠ACO＝∠ABO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，∴∠D＝，故答案為：65°．7．（2023?金華）如圖，點A在第一象限內(nèi)，⊙A與x軸相切于點B，與y軸相交于點C，D，連結(jié)AB，過點A作AH⊥CD于點H．（1）求證：四邊形ABOH為矩形．（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長．【答案】（1）見解析；（2）6．【解答】（1）證明：∵⊙A與x軸相切于點B，∴AB⊥x軸又∵AH⊥CD，HO⊥OB，∴∠AHO＝∠HOB＝∠OBA＝90°，∴四邊形AHOB是矩形；（2）解：連接AD，∵四邊形AHOB是矩形，∴AH＝OB＝，∵AD＝AB＝4，∴DH＝＝＝3，∵AH⊥CD，∴CD＝2DH＝6．8．（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點C，AD平分∠CAB交⊙O于點D，過點D作直線DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．連接BD并延長交AC于點M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長．【答案】（1）證明過程見解答；（2）證明過程見解答；（3）BF＝2．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．9．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點P．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：連接OD，如圖：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線；（2）解：連接AD，連接OD，如圖：∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵⊙O的半徑為6，∴BC＝AB＝12，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝BC＝6，在Rt△CDE中，CE＝CD?cosC＝6×cos60°＝3，答：CE的長是3．1．（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，即圓心O到直線l的距離小于圓的半徑，∴直線l和⊙O相交，∴直線l與⊙O有2個公共點．故選：C．2．（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點B在⊙A內(nèi) B．直線BC與⊙A相離 C．點C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切【答案】D【解答】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∵AB＝5＞3，∴B點在⊙A外，所以A選項不符合題意；∵AC＝5＞3，∴C點在⊙A外，所以C選項不符合題意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直線BC與⊙A相切，所以D選項符合題意，B選項不符合題意．故選：D．3．（2023?綠園區(qū)校級模擬）將一個含有30°的直角三角板按如圖所示的位置擺放，一個頂點O與⊙O的圓心重合，一條直角邊AB與⊙O相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，使點O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點C．則∠OCB為（）A．60° B．65° C．85° D．90°【答案】D【解答】解：∵將△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B'，∴BO′＝BO＝OO′，∴△BOO′為等邊三角形，∴∠OBO′＝60°，∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°，∵∠AOB＝60°，∴∠A′OC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OCB＝180°﹣60°﹣30°＝90°．故選：D．4．（2023?船營區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，若AC＝PC，則∠P的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：如圖，連結(jié)OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，設(shè)∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90+x＝180，∴x＝30，∴∠P＝30°．故選：C．5．（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r是（）A．2 B．3 C．4 D．無法判斷【答案】A【解答】解：如圖，⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，連OE，OF，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四邊形CEOF為正方形，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，設(shè)⊙O的半徑為r，則CE＝CF＝r，∴AE＝AG＝6﹣r，BF＝BG＝8﹣r，∴AB＝AG+BG＝AE+BF，即6﹣r+8﹣r＝10，∴r＝2．故選：A．6．（2022秋?聊城期末）如圖，△ABC中，∠A＝80°，點O是△ABC的內(nèi)心，則∠BOC的度數(shù)為（）A．100° B．160° C．80° D．130°【答案】D【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故選：D．7．（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，△ABC是一張周長為18cm的三角形紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．13cm B．8cm C．6.5cm D．隨直線MN的變化而變化【答案】B【解答】解：由切線長定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，∴BD+CP＝BG+CG＝5，∴AD+AP＝18﹣10＝8，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，故選：B．8．（2022秋?南沙區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝8，CD＝15，則四邊形ABCD的周長為46．【答案】46．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，如下圖，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝23，∴四邊形ABCD的周長＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46，故答案為：46．9．（2022?南安市一模）如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，若∠APB＝60°，PO＝2，則⊙O的半徑等于1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵PA、PB是⊙O的兩條切線，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∵PO＝2，∴AO＝1．故答案為：1．10．（2022秋?越秀區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點D，點E為AC延長線上一點，且∠CDE＝∠BAC．求證：DE是⊙O