專題01旋轉(zhuǎn)中的三種全等模型（手拉手半角對角互補模型）（原卷版）

專題01旋轉(zhuǎn)中的三類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型）本專題重點分析旋轉(zhuǎn)中的三類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力。模型1.手拉手模型【模型解讀】將兩個三角形（或多邊形）繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等。其中：公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）。1）雙等邊三角形型條件：△ABC和△DCE均為等邊三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。2）雙等腰直角三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點N。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。3）雙等腰三角形型條件：△ABC和△DCE均為等腰三角形，C為公共點；連接BE，AD交于點F。結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。4）雙正方形形型條件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C為公共點；連接BG，ED交于點N。結(jié)論：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。例1．（2022秋·吉林松原·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，，將△BOC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當時，°；(2)當時，°；(3)若，，，則OA的長為．例2．（2022秋·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為8的等邊△ABC中，點D是AB的中點，點E是平面上△ABC外一點，且DE=2，連接BE，將線段EB繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當點D，E，F(xiàn)在同一直線上時，請你在備用圖中畫出符合條件的圖形，并求出此時BE的長．備用圖例3．（2022·吉林·九年級期末）如圖①，在中，，，點，分別在邊，上，且，此時，成立．（1）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)時，在圖②中補充圖形，并直接寫出的長度；（2）當繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；（3）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當，，三點在同一條直線上時，請直接寫出的長度．例4．（2022·黑龍江·虎林市九年級期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個動點．如圖1，當D與C重合時，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當D不與C、B重合時，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明．（2）當D在BC的延長線上時，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，并加以證明．例5．（2022·山西大同·九年級期中）綜合與實踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當∥時，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點順時針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）拓展運用：某學(xué)習(xí)小組在解答問題：“如圖3，點是等腰直角三角形內(nèi)一點，，且，，，求的度數(shù)”時，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問題．請你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．例6．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）邊長為4的正方形ABCD與邊長為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個定值若不是，說明理由；（3）如圖3，當點G恰好落在DE上時，求α的值．模型2.半角模型【模型解讀】半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半思想方法：通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等邊三角形半角模型（120°60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。4）等邊三角形半角模型（60°30°型）條件：ABC是等邊三角形，∠EAD=30°；結(jié)論：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+；5）任意角度的半角模型（型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°。例1．（2022·福建·龍巖九年級期中）（1）【發(fā)現(xiàn)證明】如圖1，在正方形中，點，分別是，邊上的動點，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，當把繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合時能夠證明，請你給出證明過程．（2）【類比引申】①如圖2，在正方形中，如果點，分別是，延長線上的動點，且，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系______（不要求證明）；②如圖3，如果點，分別是，延長線上的動點，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是_____（不要求證明）.（3）【聯(lián)想拓展】如圖1，若正方形的邊長為6，，求的長．例2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC，△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP的頂點P與△ABC的頂點A重合，PD，PE分別與BC相交于點F、G，若BF＝6，CG＝4，則FG＝_____．例3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）等邊的兩邊、所在直線上分別有兩點、，為外一點，且，，．當點、分別在直線、上移動時，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系以及的周長與等邊的周長的關(guān)系．（1）如圖①，當點、在邊、上，且時，、、之間的數(shù)量關(guān)系式為______；此時的值是______．（2）如圖②，當點、在邊、上，且時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．（3）如圖③，當點、分別在邊、的延長線上時，若，試用含、的代數(shù)式表示．例4．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點使．若，，，則以為邊長的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定例5．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，點D，E都在邊BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的長．例6．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．模型3、旋轉(zhuǎn)中的對角互補模型【模型解讀】對角互補模型概念：對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3）“等邊三角形對120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4）“等邊三角形對120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長線交于點D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.5）“120°等腰三角形對60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；例1．（2023·黑龍江黑河·八年級期中）Rt△ABC中，AB=AC，點D為BC中點．∠MDN=90°，∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點．下列結(jié)論：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖1，，，MN是過點A的直線，過點D作于點B，連接CB；過點C作，與MN交于點E．(1)連接AD，AD是AC的______倍；(2)直線MN在圖1所示位置時，可以得到線段BD和AE的數(shù)量關(guān)系是______，與BC之間的數(shù)量關(guān)系是______，請證明你的結(jié)論；(3)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，若，，則AB的長為______（直接寫結(jié)果）；(4)直線MN繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，直接寫出線段BA，BC，BD之間的數(shù)量關(guān)系______．例3．（2022四川宜賓八年級期末）如圖1，，平分，以為頂點作，交于點，于點E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長；（3）如圖2，，平分，以為頂點作，交于點，于點.若，求四邊形的面積．例4．（2022湖北省宜城市八年級期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個60°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．（1）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．例5.如圖，已知，在的角平分線上有一點，將一個角的頂點與點重合，它的兩條邊分別與射線相交于點.（1）如圖1，當繞點旋轉(zhuǎn)到與垂直時，請猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到與不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）如圖3，當繞點旋轉(zhuǎn)到點位于的反向延長線上時，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.課后專項訓(xùn)練1．（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┤鐖D，（是常量）．點P在的平分線上，且，以點P為頂點的繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點，若始終與互補，則以下四個結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點M與點N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，直線l上依次有，，，四點，且，以為邊作等邊，連接，；若，，則的長是．3．（2022·廣東深圳·八年級期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點D為BC邊上一點．點E為線段CD上一點，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長為______．4．（2023.重慶市八年級期中）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究：如圖1，當DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明：（3）如圖2，當DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用：（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．5.（2023.山東八年級期中）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．6．（2022·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期末）旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題.已知，中，，，點、在邊上，且.（1）如圖，當時，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，①求的度數(shù)；②求證：；（2）如圖，當時，猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖，當，，時，請直接寫出的長為________.7．（2023·福建福州市·九年級月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當和分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個全等三角形中;請在如圖中標出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點,能構(gòu)造出兩個全等三角形？8．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動臂AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，擺動臂DM可繞點D旋轉(zhuǎn)，AD=30

，DM=10．（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當A，D，M為同一直角三角形的頂點時，AM的長為____；（2）若擺動臂AD順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D的位置由外的點D1轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點D2處，連結(jié)D1D2，如圖2