吉林省延邊市第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題含解析

吉林省延邊市第二中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l，若l與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.42．如圖，D是正方體的一個(gè)“直角尖”O(jiān)-ABC（OA，OB，OC兩兩垂直且相等）棱OB的中點(diǎn)，P是BC中點(diǎn)，Q是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連PQ，則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí)，（）A. B.C. D.23．直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是正三角形，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.4．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.5．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面6．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對(duì)立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒(méi)有次品 D.至少一件次品7．已知：，直線l：，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.48．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和9．已知命題：，；命題：在中，若，則，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，．若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)x軸上的點(diǎn)P分別向圓和圓引切線，記切線長(zhǎng)分別為．則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)__________.14．已知直線與圓：交于、兩點(diǎn)，則的面積為_(kāi)_____.15．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則________；數(shù)列的通項(xiàng)公式________16．已知向量與是平面的兩個(gè)法向量，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）求圓與圓的公共弦的長(zhǎng).18．（12分）《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定：機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行橫道時(shí)，應(yīng)當(dāng)減速慢行；遇行人正在通過(guò)人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗稱“禮讓斑馬線”，其中第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分，罰款50元的處罰．下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：參考公式：，月份12345違章駕駛員人數(shù)1201051009580（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份x之間的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)；19．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個(gè)拱形橋架緊密相連，每個(gè)橋架的內(nèi)部有一個(gè)水平橫梁和八個(gè)與橫梁垂直的立柱，氣勢(shì)宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個(gè)拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長(zhǎng)；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.20．（12分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識(shí)競(jìng)賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率.21．（12分）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測(cè)得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，點(diǎn)能否選在處？并說(shuō)明理由.22．（10分）已知橢圓C：（）的離心率為，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓C上任意一點(diǎn)，直線的斜率分別為，，求證：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種情況討論，即可得解【詳解】解：根據(jù)雙曲線方程可知右頂點(diǎn)為，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)情況為：①當(dāng)垂直軸時(shí)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為聯(lián)立方程可得當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，整理可得即故選：D2、C【解析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得AC與PQ夾角的余弦值關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，求得角度最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可代值計(jì)算求解結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：設(shè)，則，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，則，又，設(shè)直線所成角為，則，則，令，令，則，令，則，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，點(diǎn)，則，故，則故選：C.3、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C4、A【解析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點(diǎn)在圓上，，即，故選A【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問(wèn)題時(shí)事半功倍，信手拈來(lái)5、D【解析】對(duì)于A，利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B，利用向量的定義判斷，對(duì)于C，舉例判斷，對(duì)于D，共面向量定理判斷【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)三個(gè)向量?jī)蓛晒裁鏁r(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量?jī)蓛晒裁?，但這3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D6、C【解析】利用對(duì)立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對(duì)立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對(duì)立事件為：“兩件正品”，即”沒(méi)有次品“故選：C7、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由切線長(zhǎng)得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時(shí)與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B8、D【解析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：D9、C【解析】分別求得的真假性，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于，由于，所以為假命題，為真命題.對(duì)于，在三角形中，，由正弦定理得，所以為真命題，為假命題.所以為真命題，、、為假命題.故選：C10、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再由得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因?yàn)榕c漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標(biāo)為設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為則，因?yàn)?，所以，得點(diǎn)P坐標(biāo)為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.11、C【解析】AB.利用兩平面的位置關(guān)系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯(cuò)誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯(cuò)誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯(cuò)誤，故選:C12、D【解析】利用兩點(diǎn)間的距離公式，將切線長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為到兩圓心的距離和，利用三點(diǎn)共線距離最小即可求解.詳解】，圓心，半徑，圓心，半徑設(shè)點(diǎn)P，則，即到與兩點(diǎn)距離之和的最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的和最小，即的和最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項(xiàng)和公差，得出前項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，因此，所以，所以?shù)列的前2022項(xiàng)的和為.故答案：.14、2【解析】用已知直線方程和圓方程聯(lián)立，可以求出交點(diǎn)，再分析三角形的形狀，即可求出三角形的面積.【詳解】由圓C方程：可得：；即圓心C的坐標(biāo)為（0，-1），半徑r=2；聯(lián)立方程得交點(diǎn)，如下圖：可知軸，∴是以為直角的直角三角形，，故答案為：2.15、①.②.【解析】當(dāng)時(shí)，，推導(dǎo)出，從而數(shù)列是從第二項(xiàng)起，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】為數(shù)列的前項(xiàng)和，①時(shí)，②①②，得：，，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.16、【解析】由且為非零向量可直接構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，，解得：（舍）或，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓的方程為，代入所過(guò)的點(diǎn)后可求，從而可求圓的方程.（2）利用兩圓的方程可求公共弦的方程，利用垂徑定理可求公共弦的弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，，，所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】由圓的方程和圓的方程可得公共弦的方程為：，整理得到：，到公共弦距離為，故公共弦的弦長(zhǎng)為：.18、（1）；（2）37【解析】（1）將題干數(shù)據(jù)代入公式求出與，進(jìn)而求出回歸直線方程；（2）再第一問(wèn)的基礎(chǔ)上代入求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，，則，，所以回歸直線方程；【小問(wèn)2詳解】令得：，故該路口10月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)為37.19、（1），（2），【解析】（1）根據(jù)梯形的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）表示出M,N的坐標(biāo)，代入拋物線方程中，結(jié)合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問(wèn)1詳解】由題意，知,因?yàn)锳BFM是等腰梯形，由對(duì)稱性知:,所以，【小問(wèn)2詳解】由（1）知,所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-18，則N的橫坐標(biāo)為-（18-5）=-13.設(shè)點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形，知設(shè)拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當(dāng)x=-18時(shí)，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.20、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多這個(gè)事件是，然后由相互獨(dú)立的事件和互斥事件的概率公式計(jì)算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗(yàn)的樣本空間，.共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，根據(jù)獨(dú)立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對(duì)的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨(dú)立，所以..因此，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率為.21、（1）15（百米）（2）點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見(jiàn)解析【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓及直線的方程，進(jìn)而得解.（2）不妨點(diǎn)選在處，求方程并求其與圓的交點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)不符合條件，得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉閳A的直徑，，所以圓的方程為.因?yàn)?，，所以，故直線的方程為，則點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為3，從而，，直線的斜率為.因?yàn)椋灾本€的斜率為