河北衡水2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

河北衡水2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.102．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，，公差為d，，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.當(dāng)時，取得最大值C. D.使得成立的最大自然數(shù)n是153．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.4．有甲、乙兩個抽獎箱，甲箱中有3張無獎票3張有獎票，乙箱中有4張無獎票2張有獎票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再從乙箱中任意抽出一張，則最后抽到有獎票的概率是（）A. B.C. D.5．已知在一次降雨過程中，某地降雨量（單位：mm）與時間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系可表示為，則在時的瞬時降雨強度為（）mm/min.A. B.C.20 D.4006．已知一個幾何體的三視圖如圖，則其外接球的體積為（）A. B.C. D.7．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或8．設(shè)、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.9．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定10．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知線段AB的端點B在直線l：y=-x+5上，端點A在圓C1：上運動，線段AB的中點M的軌跡為曲線C2，若曲線C2與圓C1有兩個公共點，則點B的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A.（-1，0） B.（1，4）C.（0，6） D.（-1，5）12．已知，，，則，，的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項，則前10項的和為___________.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A，若點P滿足，則_______15．用1，2，3，4排成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.16．設(shè)數(shù)列滿足，則an＝________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點，直線，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，也是PF的中點．，（1）求動點Q的軌跡的方程E；（2）過點F作兩條互相垂直的曲線E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點分別為M，N．求直線MN過定點R的坐標(biāo)18．（12分）如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，AC，M為AC的中點.（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別是上的點，滿足.（1）求證：四點共面；（2）設(shè)與交于點，求證：三點共線.20．（12分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價是7元/，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時，汽車每小時耗油，司機每小時的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費用，當(dāng)車速是多少時，這次行車的總費用最低？21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值22．（10分）如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為的正方形E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（Ⅰ）求證：EF//平面PAD；（Ⅱ）求三棱錐C—PBD的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計算作答【詳解】因為，則由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D2、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項的性質(zhì)，求和公式及單調(diào)性分別判斷.【詳解】因為，，所以，則，故A正確;當(dāng)時,取得最大值，故B正確;，故C正確;因為，，，所以使得成立的最大自然數(shù)是，故D錯誤.故選：D3、A【解析】對等軸雙曲線的焦點的位置進(jìn)行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為，若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.4、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無獎票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無獎票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎票.所以，，于是.故選：B.5、B【解析】對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)，再求時對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則，所以在時的瞬時降雨強度為mm/min.故選：B6、D【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，將幾何體補成長方體，計算出幾何體的外接球直徑，結(jié)合球體體積公式即可得解.【詳解】根據(jù)三視圖還原原幾何體，如下圖所示：由圖可知，該幾何體三棱錐，且平面，將三棱錐補成長方體，所以，三棱錐的外接球直徑為，故，因此，該幾何體的外接球的體積為.故選：D【點睛】方法點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解7、D【解析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.8、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.9、A【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A10、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當(dāng)圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D11、D【解析】設(shè)，AB的中點，由中點坐標(biāo)公式求得，代入圓C1：得點點M的軌跡方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系建立不等式，代入，求解即可得點B的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，AB的中點，則，所以，又因為端點A在圓C1：上運動，所以，即，因為曲線C2與圓C1有兩個公共點，所以，又因B在直線l：y=-x+5上，所以，所以，整理得，即，解得，所以點B的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故選：D.12、B【解析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可，若底不同，則根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小【詳解】對于的大?。?，，明顯；對于的大小：構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，即對于的大?。?，，，故選B【點睛】將兩兩變成結(jié)構(gòu)相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于結(jié)構(gòu)類似的，可以通過構(gòu)造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等比中項及等差數(shù)列通項公式求出首項，再利用等差數(shù)列的前項和公式求出前10項的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.14、【解析】設(shè)，表示出，，根據(jù)即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標(biāo)，即可得到的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示計算可得；【詳解】解：設(shè)，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：15、【解析】利用插空法計算出正確答案.【詳解】先排，形成個空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：16、【解析】先由題意得時，，再作差得，驗證時也滿足【詳解】①當(dāng)時，；當(dāng)時，②①②得，當(dāng)也成立.即故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關(guān)系可知,故可知動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點重合，即可直接寫出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，把點、的坐標(biāo)代入拋物線方程，兩式作差后，再利用中點坐標(biāo)公式求出點M的坐標(biāo)，同理求出點的坐標(biāo)，即可求出直線MN的方程，最后可求出直線MN過哪一定點.【小問1詳解】∵直線的方程為，點R是線段FP的中點且，∴RQ是線段FP的垂直平分線,∵,∴是點Q到直線l的距離,∵點Q在線段FP的垂直平分線，∴,則動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，但不能和原點重合，即動點Q軌跡的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點M的坐標(biāo)為，同理設(shè)，，直線的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點的坐標(biāo)為，則直線MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線MN恒過定點.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，再由線面垂直的判定證明即可；（2）以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法得出面面角.【小問1詳解】設(shè)，則，，平面平面，連接，，，，，即又，平面ABC【小問2詳解】，以點為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，令，則同理可得，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC，分別是的中點，.在中，，所以四點共面.【小問2詳解】，所以，又平面平面，同理平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題中給出的車速和油耗之間的關(guān)系式，結(jié)合已知條件，待定系數(shù)即可；（2）根據(jù)題意求得以行駛所用時間，構(gòu)造費用關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為汽車以的速度行駛時，汽車的耗油率為，又當(dāng)時，，解得.【小問2詳解】若汽車的行駛速度為，則從地到地所需用時，則這次行車的總費用，則，令，解得，則當(dāng)，，單調(diào)遞減，即.故時，該次行車總費用最低.21、（1）+1；（2）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，求出后利用點斜式即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，解一元二次不等式分別求出、時的取值范圍即可得解.【詳解】（1）因為，所以，∴切線方程為，即+1；（2），所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為22、(1)見解析（2）【解析】本試題主要是考查了線面平行的判定和三棱錐體積的求解的綜合問