蘇科版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍專題2.15第6章圖形的相似單元測試(培優(yōu)強化卷)特訓(xùn)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.15第6章圖形的相似單元測試（培優(yōu)強化卷）注意事項：本試卷滿分120分，試題共26題，其中選擇6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·江蘇·無錫市羊尖中學(xué)九年級階段練習(xí)）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，那么它們的周長之比是（）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：162．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣城郊中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，則線段d的長為（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．43．（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，則AC的長為（A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm4．（2021·江蘇·常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．兩個直角三角形相似B．兩條邊對應(yīng)成比例，一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似C．有一個角為40°的兩個等腰三角形相似D．有一個角為100°的兩個等腰三角形相似5．（2022·江蘇南通·二模）如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（

）A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長C．△BPR的周長 D．△APQ的周長6．（2022·江蘇·文林中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請把答案直接填寫在橫線上7．（2022·江蘇南京·九年級期末）若xy=28．（2021·江蘇江蘇·九年級期末）在比例尺為1：800000的鹽城市地圖上，大豐實驗初中與濱海第一初級中學(xué)的圖上距離為16cm，則實際距離為_____km．9．（2022·江蘇·靖江外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知點C是AB的黃金分割點（AC>BC），AB=6，則BC=_____．（結(jié)果保留根號）10．（2022·江蘇·洪澤新區(qū)中學(xué)九年級階段練習(xí)）兩個相似三角形的相似比為4：3，周長之比為___11．（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)九年級階段練習(xí)）如果四邊形ABCD的四條邊長分別為54cm、48cm、45cm、63cm，另一個和它相似的四邊形的最長邊長為21cm，那么這個四邊形的最短邊的長度為______．12．（2019·江蘇·海慶中學(xué)九年級期末）已知△ABC，P是邊AB上的一點，連接CP．請你添加一個條件，使△ACP∽△ABC，這個條件可以是_______．（寫出一個即可）13．（2021·江蘇·靖江市靖城中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，則CE的長為______．14．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學(xué)九年級期中）如圖，燃燒的蠟燭AB經(jīng)小孔O在屏幕上成像A'B'，設(shè)AB=30cm，小孔O到AB、A'B'的距離分別為15．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知A（3，0），B（2，3），將△OAB以點O為位似中心，相似比為2：1，放大得到△OA'B'，則頂點16．（2022·江蘇·顧山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一點D，使AD=2，如果在AB上取點E，使△ADE和△ABC相似，則三、解答題（本大題共11小題，共88分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·江蘇·宜興市樹人中學(xué)九年級階段練習(xí)）①若aa+b=2②已知x2=y18．（2022·江蘇連云港·九年級期末）如圖，一個矩形廣場的長AB=120米，寬AD=60米，廣場內(nèi)兩條縱向的小路寬為a米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形ABCD～矩形EFGH．(1)求a:b的值；(2)若a=4，求矩形EFGH的面積．19．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)梅堰中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要使△ABP∽△ACB，還少一個條件，補充一個條件并說明理由．20．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．ΔABC和Δ(1)則∠ABC=_____°，BC=______；(2)判斷ΔABC與Δ21．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖，四邊形ABCD中，E在AD邊上，DE=2AE，CE∥AB，(1)求證：△ABE∽(2)已知△ABE面積為3，求四邊形ABCD的面積．22．（2022·江蘇·宜興市樹人中學(xué)九年級階段練習(xí)）（1）如圖，4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上．請在圖中畫一個△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不為1），且點A1、B1、C1都在小正方形的頂點上．并將此三角形涂上陰影（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點．請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖．①如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F．②如圖2，在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH23．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，是一塊底邊BC長為120mm，高AH為80mm的三角形余料，現(xiàn)要把它加工成正方形DEFG零件，使得正方形的四個頂點D、E、F、G都在三角形三邊上，其中E、F在BC邊上，求加工后正方形的邊長．24．（2022·江蘇常州·八年級期末）某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長的相關(guān)知識，于是自己也想實際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點F是BD的中點）時，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點時，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時小明站在什么位置，為什么？25．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，△ABC的頂點都在格點上．(1)在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使得原點為點O，點A、B坐標(biāo)分別為(2)以點O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形△A'B'C'，使得(3)在邊AB上求作M、N兩點，使得CM、CN26．（2022·江蘇·徐州市第十三中學(xué)三模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是CD的中點，P是射線DA上一點，延長EP交直線AB于F，過P作PG⊥EF，分別交射線CB、直線AB于G、H．(1)①當(dāng)PD=3時，EFPG②點P在AD上取不同位置，EFPG(2)連接FG，當(dāng)△PFG是等腰直角三角形時，求PD的長；(3)直接寫出CG的最小值______．27．（2021·江蘇蘇州·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y＝ax2＋bx﹣4（a≠0）與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，且OB＝2OA．過點A的直線y＝x＋2與拋物線交于點E．點P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PH⊥AE于點H．（1）拋物線的表達式中，a＝，b＝；（2）在點P的運動過程中，若PH取得最大值，求這個最大值和點P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在x軸上求點Q，使以A，P，Q為頂點的三角形與△ABE相似．2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.15第6章圖形的相似單元測試（培優(yōu)強化卷）注意事項：本試卷滿分120分，試題共26題，其中選擇6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·江蘇·無錫市羊尖中學(xué)九年級階段練習(xí)）如果兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，那么它們的周長之比是（）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：16【答案】A【分析】由兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，又由相似三角形的周長比等于相似比，求得答案．【詳解】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)邊之比是1：4，∴它們的相似比為1：4，∴它們的周長之比是1：4．故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比．2．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣城郊中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，則線段d的長為（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4【答案】A【分析】如果四條線段a、b、c、d滿足ab=cd、則四條線段a、b、c、d稱為比例線段．（有先后順序，不可顛倒），將a，b及【詳解】已知a，b，c，d是成比例線段，根據(jù)比例線段的定義得：ab代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得：30.6解得：d＝0.4．故線段d的長為0.4．故選A．【點睛】本題考查線段成比例的問題．根據(jù)線段成比例的定義求解即可．3．（2022·江蘇·陽山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，則AC的長為（A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解．【詳解】解∶∵DE∥BC，AD∶∴AD∶DB=AE∶EC=3∶2，∵AE=6cm，∴6∶EC=3∶2，∴EC=4cm，∴AC=AE+EC=10cm．故選：D【點睛】本題主要考查了成比例線段，熟練掌握平行線分線段成比例基本事實是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇·常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．兩個直角三角形相似B．兩條邊對應(yīng)成比例，一組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似C．有一個角為40°的兩個等腰三角形相似D．有一個角為100°的兩個等腰三角形相似【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷即可得解．【詳解】解：A、∵兩個直角三角形只有一組角相等，∴兩個直角三角形不一定相似，故選項A不合題意；B、∵兩條邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，∴兩條邊對應(yīng)成比例，一組對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似，故選項B不合題意；C、∵底角為40°的等腰三角形和頂角為40°的等腰三角形不相似，∴有一個角為40°的兩個等腰三角形不一定相似，故選項C不合題意；D、∵有一個角為100°的兩個等腰三角形相似，∴選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇南通·二模）如圖，等邊三角形ABC中，點P，Q分別在邊AB，AC上，BP＝2CQ．過由Q作PQ的垂線，交邊BC于點R．若求△ABC的周長，則只需知道（

）A．四邊形APRQ的周長 B．四邊形PQCR的周長C．△BPR的周長 D．△APQ的周長【答案】C【分析】取PB,PR的中點F,E，連接FE,EQ，過點Q作QD∥AB交BC于點D，過點P作PG∥BC，交AC于點G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定可知△APG,△CDQ是等邊三角形，進而證明BFQD是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，EQ=12PR，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得EF=【詳解】如圖，取PB,PR的中點F,E，連接FE,EQ，過點Q作QD∥AB交BC于點D，過點P作PG∥BC，交∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，AB=BC=AC，∴∠DQC=∠A=60°，∴△CDQ是等邊三角形，同理可得△APG是等邊三角形，∵AP=AG，則AB?AP=AC?AG，即PB=GC，∵E,F是BP,PR的中點，則EF=1∵Rt△PQR中，∴QE=1∵PB=2QC，PB=GC，∴GC=2CQ，即Q為CG的中點，∵PG∥∴PE∴EQ∥又FE∥∴EF∥∴E,F,Q三點共線，∴△AFQ是等邊三角形，∵FQ∥∴四邊形BFQD是平行四邊形，∴FQ=BD,BF=DQ，∴FQ+QC=BD+DC=BC，∵PB+PR+BR=2BF+2EQ+2EF=2DC+2=2DC+2FQ=2=2BC．∴△BPR的周長等于2BC，等邊三角形的周長等于3BC．故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·文林中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根據(jù)折疊得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，【詳解】解：根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°由折疊的性質(zhì)得，∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，∴∠EBG=∠FBE+∠FBG=1由折疊的性質(zhì)得，BF=BC=10，BH=BA=6，∴HF=BF?BH=4在Rt△ABF中，AF=BF2?BA2=8，設(shè)GH=x，則GF=8?x，在Rt△GHF同理在Rt△FDE中，F(xiàn)D=2，ED=6?EF，由FD2∴ED=8∴EDFD∴△DEF與△ABG不相似，故②不正確；∵S△ABG=1∴S△ABGS△FGH∵AG=3，DF=2，F(xiàn)G=5，∴AG+DF=FG=5，故④正確．正確的有①③④故選：B【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識點，能靈活運用定理進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022·江蘇南京·九年級期末）若xy=2【答案】5【分析】由xy=2【詳解】解：∵xy=2∴x+yy故答案為：53【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇江蘇·九年級期末）在比例尺為1：800000的鹽城市地圖上，大豐實驗初中與濱海第一初級中學(xué)的圖上距離為16cm，則實際距離為_____km．【答案】128【分析】根據(jù)比例尺直角計算即可．【詳解】解：設(shè)實際距離為xcm，∵比例尺為1：800000，∴16：x=1：800000x=1280000012800000cm=128km；故答案為：128．【點睛】本題考查了比例線段，解題關(guān)鍵是明確比例尺的意義，注意單位轉(zhuǎn)換．9．（2022·江蘇·靖江外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知點C是AB的黃金分割點（AC>BC），AB=6，則BC=_____．（結(jié)果保留根號）【答案】9?35##【分析】根據(jù)黃金分割點的定義得到AC=5【詳解】解：∵點C是AB的黃金分割點（AC>BC），AB=6，∴AC=5∴BC=AB?AC=6?(3=6?3=9?35故答案為：9?35【點睛】本題主要考查了黃金分割點的定義，即：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項．10．（2022·江蘇·洪澤新區(qū)中學(xué)九年級階段練習(xí)）兩個相似三角形的相似比為4：3，周長之比為___【答案】4∶3##4【分析】根據(jù)相似多邊形相似比的定義和性質(zhì)解答即可；【詳解】解：兩個相似三角形的相似比為4：3，由相似多邊形的性質(zhì)，∴兩個相似三角形周長之比為4：3故答案為：4：3；【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)邊的比等于相似比；相似多邊形周長的比等于相似比；掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)九年級階段練習(xí)）如果四邊形ABCD的四條邊長分別為54cm、48cm、45cm、63cm，另一個和它相似的四邊形的最長邊長為21cm，那么這個四邊形的最短邊的長度為______．【答案】15cm【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD與另一個四邊形相似，∴設(shè)另一個四邊形的最短邊的長度為x，∴x45=21∴這個四邊形的最短邊的長度為15cm．故答案為：15cm．【點睛】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．12．（2019·江蘇·海慶中學(xué)九年級期末）已知△ABC，P是邊AB上的一點，連接CP．請你添加一個條件，使△ACP∽△ABC，這個條件可以是_______．（寫出一個即可）【答案】∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或AP【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法解決問題即可．【詳解】解：∵∠A=∠A，∴當(dāng)∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或APAC=AC故答案為：∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或APAC【點睛】本題考查相似三角形的判定．解題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．13．（2021·江蘇·靖江市靖城中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BC=6，則CE的長為______．【答案】4【分析】由AB∥CD∥EF，推出【詳解】∵AB∥∴ADAF∴35∴BE=10，∴CE=BE-BD=10-6=4，故答案為：4．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．14．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學(xué)九年級期中）如圖，燃燒的蠟燭AB經(jīng)小孔O在屏幕上成像A'B'，設(shè)AB=30cm，小孔O到AB、A'B'的距離分別為【答案】75【分析】過O點作EF⊥AB于點E，交A'B'于點F，即可得EO=32，F(xiàn)O=20，根據(jù)AB∥A'B'，可得△AEO∽△A【詳解】過O點作EF⊥AB于點E，交A'B'由題意可得：AB∥∴EF⊥A∴結(jié)合題意有EO=32，F(xiàn)O=20，∵AB∥∴△AEO∽△A∴A'∵AB∥∴△ABO∽△A∴A'∵AB=30cm∴A'B'即A'B'故答案為：754【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知A（3，0），B（2，3），將△OAB以點O為位似中心，相似比為2：1，放大得到△OA'B'，則頂點【答案】(4,6)或(?4,?6)##(?4,?6)或(4,6)【分析】利用位似圖形坐標(biāo)變化特征解答即可．【詳解】解：由位似圖形坐標(biāo)變化的特征可知：B'(4,6)或故答案為：(4,6)或(?4,?6)【點睛】本題考查位似圖形坐標(biāo)變化特征：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x,y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為(kx,ky)或(?kx?ky).16．（2022·江蘇·顧山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一點D，使AD=2，如果在AB上取點E，使△ADE和△ABC相似，則【答案】143或【分析】本題應(yīng)分兩種情況進行討論，①△ABC～△AED；②△ABC～△ADE；可根據(jù)各相似三角形得出的關(guān)于AE、AE、AB、AC四條線段的比例關(guān)系式求出AE的長．【詳解】解：本題分兩種情況：①如圖：此時△ADE～△ACB，∴AB:AC=AE:AD，∵AB=14，∴AE=14②如圖：此時△ADE～△ABC，∴AB:AC=AD:AE，∵AB=14，∴AE=6故答案為：143或6【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)．由于題中沒有明確相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊，因此本題要分情況進行討論，以免漏解．三、解答題17．（2022·江蘇·宜興市樹人中學(xué)九年級階段練習(xí)）①若aa+b=2②已知x2=y【答案】

2

2【分析】①先將等式去分母，再進行同類項合并即可得到答案；②將y和z分別轉(zhuǎn)換為含x的代數(shù)式，再代入式子即可得到答案．【詳解】解：①∵aa+b∴3a=2a+b∴a=2b，∴ab②∵x2∴y=7x2，∴x+y?zx【點睛】本題考查分式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式的性質(zhì)進行靈活變換．18．（2022·江蘇連云港·九年級期末）如圖，一個矩形廣場的長AB=120米，寬AD=60米，廣場內(nèi)兩條縱向的小路寬為a米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形ABCD～矩形EFGH．(1)求a:b的值；(2)若a=4，求矩形EFGH的面積．【答案】(1)a：b＝2：1(2)6272米2【分析】（1）根據(jù)題意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根據(jù)矩形ABCD∽矩形EFGH．可得HEAD（2）由（1）得2b＝a，根據(jù)矩形EFGH的面積＝EF?HE，即可解決問題．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，∵矩形ABCD∽矩形EFGH．∴HEAD∴60?2b60整理，得2b＝a，∴a：b＝2：1；（2）∵a＝4，2b＝a，∴b＝2，∴矩形EFGH的面積＝EF?HE＝（120﹣2a）?（60﹣2b）＝（120﹣8）（60﹣4）＝112×56＝6272（米2）．答：矩形EFGH的面積為6272米2．【點睛】本題考查了相似多邊形的應(yīng)用，列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)．19．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)梅堰中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，點P在△ABC的邊AC上，要使△ABP∽△ACB，還少一個條件，補充一個條件并說明理由．【答案】補充一個條件∠ABP=∠C（答案不唯一）理由見解析【分析】由兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可補充∠ABP=∠C，再證明即可．【詳解】解：補充∠ABP=∠C，理由如下：∵∠A=∠A,∠ABP=∠C,∴△ABP∽△ACB．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握“兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”是解本題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇·揚州市梅嶺中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點．ΔABC和Δ(1)則∠ABC=_____°，BC=______；(2)判斷ΔABC與Δ【答案】(1)135，2(2)ΔABC∽Δ【分析】（1）利用圖形以及勾股定理解決問題即可．（2）結(jié)論：△ABC∽△DFE．根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似證明即可．【詳解】（1）解：觀察圖形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC=2故答案為：135，2（2）結(jié)論：△ABC∽△DFE．理由：∵AB＝2，BC＝22，DF=2，EF＝2，∠DFE∴ABDF∵∠ABC＝∠DFE，∴△ABC∽△DFE．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．21．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖，四邊形ABCD中，E在AD邊上，DE=2AE，CE∥AB，(1)求證：△ABE∽(2)已知△ABE面積為3，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)證明見解析(2)四邊形ABCD的面積為21【分析】（1）利用CE∥AB，BE∥CD，得到∠BAE=∠CED，（2）已知DE=2AE，S△ABE=3，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，得到S△ECD=12，再根據(jù)平行線間距離相等，得到【詳解】（1）證明：∵CE∴∠BAE=∠CED，∠ABE=∠BEC∵BE∴∠BEC=∠ECD∴∠ABE=∠ECD在△ABE和△ECD中，∠ABE=∠ECD∠BAE=∠CED∴△ABE（2）∵△ABE∽△ECD∴AB∴S∵S∴S∵AB∴△ABE中AB邊上的高和△BCE中CE∴S∴S【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線間距離相等，熟練掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．22．（2022·江蘇·宜興市樹人中學(xué)九年級階段練習(xí)）（1）如圖，4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上．請在圖中畫一個△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不為1），且點A1、B1、C1都在小正方形的頂點上．并將此三角形涂上陰影（2）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡：我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點．請運用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）作圖．①如圖1，在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F．②如圖2，在由小正方形組成的4×3的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析【分析】（1）把△ABC各邊放大2倍即可；（2）根據(jù)題意三角形的三條中線交于同一點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，先連接AC和BD得到BD的中點O，再連接BE交CO于P點，則點P為△BCD的重心，延長DP交BC于F點，則F點為BC的中點；（3）根據(jù)三角形的三條高所在的直線交于同一點，分別作出AC,AB上的高，交于點O，延長AO至H，則【詳解】如圖，△A（2）①如圖1，點F為所作；理由：因為三角形的三條中線交于同一點，四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，∵E是CD的中點，根據(jù)三條中線交于同一點，連接BE交AC于P，則點P為三條中線的交點，作射線DP交DP于點F，則點F為BC的中點；②如圖2，找到格點D，過A點作AD垂直AB，再平移DA得到CE，則CE⊥AB，接著作MN垂直AC，平移MN得到BF，則BF⊥AC，BF與CE的交點O為△ABC的垂心，所以延長AO交BC于H，則AH⊥BC，AH為所作．理由：∵△∴∠∴∠∴∠∴BA平移AD至CJ，并延長，交AB于點E，∴CE同理作出BF⊥AC，BF根據(jù)三角形三條高所在的直線交于同一點，延長AO交BC于點H，則AH即為所求．【點睛】本題考查了畫相似三角形：根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù)．比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形，也考查了三角形的重心和平行四邊形的性質(zhì)．23．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，是一塊底邊BC長為120mm，高AH為80mm的三角形余料，現(xiàn)要把它加工成正方形DEFG零件，使得正方形的四個頂點D、E、F、G都在三角形三邊上，其中E、F在BC邊上，求加工后正方形的邊長．【答案】加工后正方形的邊長為48mm【分析】設(shè)正方形的邊長為xmm，根據(jù)正方形的對邊平行可得DG∥BC，然后判斷出【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為xmm，∵四邊形DEFG是正方形，∴DG∥∴△ADG∴80-x解得x=48，∴加工后正方形的邊長為48mm．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了正方形的性質(zhì)和相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出比利時是解決本題的關(guān)鍵是．24．（2022·江蘇常州·八年級期末）某天晚上，小明看到人民廣場的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長的相關(guān)知識，于是自己也想實際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點F是BD的中點）時，小明測得自己在兩路燈下的影長FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點時，兩路燈產(chǎn)生的影長相等（FP＝FQ），請問時小明站在什么位置，為什么？【答案】(1)3，2(2)離B地245m（或離D地【分析】（1）通過證明△CDQ～△EFQ，△ABP～△EFP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解即可；（2）由（1）得，EFCD=QFQD，EFAB=PF（1）解：由題意得，∠CDQ=∠EFQ,∠CQD=∠EQF，∴△CDQ～△EFQ，∴EF∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，點F是BD的中點，∴BF=DF=6，∴1.6解得QF=2；∠ABP=∠EFP,∠APB=∠EPF，∴△ABP～△EFP，∴∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，點F是BD的中點，∴BF=6，∴1.6解得PF=3；故答案為：3；2；（2）小明站在離B點245由（1）得，EFCD=QF∵AB=4.8,CD=6.4,BD=12,EF=1.6，設(shè)FP=FQ=x，∴1.6∴QD=4x,BP=3x，∴BQ=x,DP=2x，∴BD=5x=12，解得x=12∴BF=2x=24所以，小明站在離B點245【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．25．（2022·江蘇無錫·九年級期中）如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，△ABC的頂點都在格點上．(1)在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使得原點為點O，點A、B坐標(biāo)分別為(2)以點O為位似中心，畫出△ABC的位似三角形△A'B'C'，使得(3)在邊AB上求作M、N兩點，使得CM、CN【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)點A、（2）根據(jù)位似的性質(zhì)以及相似比為2:1畫出圖形即可；（3）以點D為位似中心，位似比分別為2:3作AB的位似圖形A″B″，然后找出A″B″的三等分點，連接點D與兩個三等分點與AB交于【詳解】（1）解：如圖，坐標(biāo)軸即為所作；（2）如圖：△A（3）如圖，M,N即為所作．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，作圖－位似變換，相似三角形的性質(zhì)，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．26．（2022·江蘇·徐州市第十三中學(xué)三模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是CD的中點，P是射線DA上一點，延長EP交直線AB于F，過P作PG⊥EF，分別交射線CB、直線AB于G、H．(1)①當(dāng)PD=3時，EFPG②點P在AD上取不同位置，EFPG(2)連接FG，當(dāng)△PFG是等腰直角三角形時，求PD的長；(3)直接寫出CG的最小值______．【答案】(1)①43，②點P在AD上取不同位置，EFPG(2)PD=2(3)6【分析】（1）①過G作GI⊥AD于I，過E作EJ⊥AB于J，證明出△GPI∽△EFJ即可得解；②過G作GI⊥AD于I，過E作EJ⊥AB于J，證明出△IGP∽△JEF，即有EFPG（2）根據(jù)PG⊥EF，△PFG是等腰直角三角形時，即有PG=PF，根據(jù)AB∥CD，有PFPE=PAPD，結(jié)合（1）中的結(jié)論即可求得EF=4（3）以B為原點，BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標(biāo)系，連接GE，設(shè)P點坐標(biāo)為(m,6)、G點坐標(biāo)為(n,0)，利用待定系數(shù)法求出直線PE的解析式，進而求出F點坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出EF2、PG2、EC2、PE2，再根據(jù)（1）中已得EFPG=43，即有EF2PG2=169，即PG2=916EF2，在Rt△（1）解：①過G作GI⊥AD于I，過E作EJ⊥AB于J，如圖所示：在矩形ABCD中，EJ=BC=8,GI=AB=6，∵CD=AB=6，點E是CD的中點，∴DE=CE=1∵BC=8，PD=3，∴AP=AD?PD=8?3=5，在Rt△PDE中，∠D=90°，PD=DE=3，則∠PED=∠EPD=45°，∴∠APF=∠EPD=45°，∵PG⊥EF，∴∠APG=45°，在Rt△PAH中，∠BAD=90°，∠APG=45°，則∠AHP=∠BHG=45°，∵∠GIP=∠EJF=90°，∠FEJ=∠GPI=45°，∴△GPI∽△EFJ，∴EFPG故答案為：43②點P在AD上取不同位置，EFPG的值不變，EF過G作GI⊥AD于I，過E作EJ⊥AB于J，如圖所示：在矩形ABCD中，EJ=BC=8，GI=AB=6，∵EJ∥AD，∴∠FEJ=∠DPE，∵PG⊥EF，∴∠DPE+∠IPG=90°，∵∠IGP+∠IPG=90°，∴∠DPE=∠IGP，∴∠IGP=∠FEJ，∴△IGP∽△JEF，∴EFPG∴點P在AD上取不同位置，EFPG的值不變，EF（2）解：∵PG⊥EF，∴△PGF是直角三角形，當(dāng)△PFG是等腰直角三角形時，PG=PF，∵AB∥∴PFPE∵在（1）中有EFPG∴EF=4∴PE=EF?PE=4∴PAPD∴PA=3PD，∵PA+PD=AD=BC=8，∴PA+PD=3PD+PD=AD=8，∴PD=2；（3）以B為原點，BC為x軸，AB為y軸建立