考研數(shù)學(xué)三歷年真題及答案(2003-2013年)

2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

xAcos—,若XW。,

(1)設(shè)/1(》)=?其導(dǎo)函數(shù)在X=O處連續(xù)，則X的取值范圍是

0,X若x=0,

(2)已知曲線y=——3/x+〃與X軸相切，則/可以通過a表示為,

a，右時力'而D表示全平面，貝ij/=斤/(x)g(y-x)dxdy=

(3)設(shè)a>0,f(x)=g(x)=<

0,其他，裔

(4)設(shè)n維向量a=(a,0,…,0,a)’,a<0；E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-aar,B=E+—aa',

a

其中A的逆矩陣為B,則2=.

(5)設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為.

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，*”*2L、乂“為來自總體X的簡單隨機樣本，則當(dāng)〃-8

X；依概率收斂于.

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且/'(0)存在，則函數(shù)g(x)=19

X

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點x=0.[]

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(%，%)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是

(A)/(/，角在y=y()處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/(%，內(nèi)在y=%處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)/(x0,y)在)，=%處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(/，。在y=%處的導(dǎo)數(shù)不存在.

]

a+<2Cl—6!

⑶設(shè)=”2=七―山〃=1,2,…，則下列命題正確的是

(A)若Za?條件收斂，則ZP"與Z/都收斂.

n=\

(B)若Zan絕對收斂，則ZP“與Z/都收斂—

n=ln=l

oo

(C)若Z??條件收斂，則Zpn與Zq?斂散性都不定.

〃=1

(D)若Z%絕對收斂，則zpn與z/斂散性都不定.

〃=1”=1

ahb

(4)設(shè)三階矩陣Abab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bW0.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aWb且a+2bH0.

(5)設(shè)%,見，…,4均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是

(A)若對于任意一■組不全為零的數(shù)匕，左2,…，左$,都有匕％十七%-1----則%,%，…，&

線性無關(guān).

(B)若4,%,…,見線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)占也，…人，都有

kya｝+k2a2H-------Fk^as=0.

(C)%以2,…，見線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為$?

(D)四02,…,4線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān).[]

(6)將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進(jìn)事件：A尸｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,4=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝，4=｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,4=｛正面出現(xiàn)兩次｝,則事件

(A)A，A2，A3相互獨立.(B)A2,4，A4相互獨立?

(C)4,4，43兩兩獨立?(D)42,4,At兩兩獨立.[]

三、(本題滿分8分)

設(shè)

f(X)—-----1-------------------------,XG[—,1).

TDCsin兀r萬(l-x)2

試補充定義f⑴使得f(x)在［1,1］上連續(xù).

四、(本題滿分8分)

設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足口+女=1,又8(%月=/［取」(d一/)］,求

dudv2

2g

dx2dy2

五、(本題滿分8分)

計算二重積分

/=e?+>j)sin(x2+y2)dxdy.

D

其中積分區(qū)域D={(x,y)|x2+y2<n\.

六、(本題滿分9分)

oo2n

求幕級數(shù)1+z(-m<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

n=i2n

七、(本題滿分9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(一00,+8)內(nèi)滿足以下條件：

fXx)=g(x),g\x)=f(x),且f(0)=0,f(x')+g(x)=2ex.

(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；

(2)求出F(x)的表達(dá)式.

八、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f⑵=3,f⑶=1.試證必存在€€(0,3),使

re)=o.

九、(本題滿分13分)

已知齊次線性方程組

(4+h)x］+a2x2+a3x34----Fanxn=0,

—+(a2+b)x2+a3x3+---+anxn=0,

<axx}+a2x2+(a3+b)x3+---+anxn=0,

tZ|X,+a2x2+a3x3+…+(an+b)xn=0,

其中f&HO.試討論為,4，…，凡和b滿足何種關(guān)系時，

i=i

(1)方程組僅有零解：

(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.

十、(本題滿分13分)

設(shè)二次型

T

/(%1,x2,x3)=XAX—ax]+2x；—2x；+2￡>xtx3(i>>0)>

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(1)求a,b的值；

⑵利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.

十一、(本題滿分13分)

設(shè)隨機變量X的概率密度為

，若XG[1,8],

/(%)=

其他；

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

十二、(本題滿分13分)

設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為

(0.30.7

而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).

2003年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)/(幻=/coSfE^U,其導(dǎo)函數(shù)在x=o處連續(xù)，則2的取值范圍是2>2.

0,右x=0,---------

【分析】當(dāng)x#0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時要求用定義求導(dǎo).

【詳解】當(dāng)；1>1時，有

cos—+xa-2sin1，若x?！?，

/(X)=

“0”若x=0,

顯然當(dāng);l>2時，有l(wèi)im/'(x)=0=尸(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).

A->0

(2)已知曲線y=--3/x+/?與x軸相切，則從可以通過a表示為/=4一.

【分析】曲線在切點的斜率為0,即y'=0,由此可確定切點的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點處

縱坐標(biāo)為零，即可找到/與a的關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)，在切點處有

222

y'—3x-3a=0,有x()=a.

又在此點y坐標(biāo)為0,于是有

2

0=—3ax0+b=0,

222246

故h=x^(3a-x())=a-4a=4a.

【評注】有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時切點還應(yīng)滿足曲線方程.

(3)設(shè)a>0,/(x)=g(x)=<；'右']；：一“而D表示全平面，則/=J!/(x)g(y-x)ddy=a2.

【分析】本題積分區(qū)域為全平面，但只有當(dāng)OWxWlQWy-xWl時，被積函數(shù)才不為零，因此實

際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.

【詳解】/=Jj/(x)g(y-x)dMy=jja2dxdy

DOWl.OVy-xVl

二//)公Jdy=a~^^x+\)-x]dx-a2.

【評注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的

區(qū)域的公共部分上積分即可.

(4)設(shè)n維向量儀=3,0,???。07,々<0：E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-aar,B=E+—aa1,

a

其中A的逆矩陣為B,則a=-1.

【分析】這里為n階矩陣，而。%=202為數(shù)，直接通過48=E進(jìn)行計算并注意利用乘法的

結(jié)合律即可.

【詳解】由題設(shè)，有

AB=(E-aaT)(E+-aaT)

a

=E-aa1+—aar--aaTaar

aa

=E-aar+—aaT--a^a)a1

aa

=E-aaT+—aaT-2aaaT

a

1T

=E+(—1—2QH—)otcc—E,

a

于是有—1—2an—=0,即2a2+6/-1=0,解得a=—,a=由于A<0,故a=-l.

a2

(5)設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為0.9.

【分析】利用相關(guān)系數(shù)的計算公式即可.

【詳解】因為

cov『,Z)=cov(r,X-0.4)=￡[(y(X-0.4)l-E(y)E(X-0.4)

=E(XY)-O.4￡(y)-E(y)￡(x)+0.4E(y)

=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且OZ=DX.

于是有CMY,小詈牛=普2

PXY=09

VDFVDZ4DX4DY

【評注】注意以下運算公式：D(X+a)=DX,cov(X,y+a)=cov(X,y).

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X-X2,…,X,為來自總體X的簡單隨機樣本，則當(dāng)〃―00

1〃1

時，工依概率收斂于-.

【分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量X-X?,…，x“，當(dāng)方

差一致有界時，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值：

【詳解】這里X：,X；,…,X：滿足大數(shù)定律的條件，且EXj=DX,+(￡X,)2=；+(；)2=；,因

此根據(jù)大數(shù)定律有

工依概率收斂于上方破：=1.

〃,=in向2

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且廣(0)存在，則函數(shù)g(x)=@

X

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點x=0.[D]

【分析】由題設(shè)，可推出f(0)=0,再利用在點x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.

【詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.

于是有l(wèi)img(x)=lim/^=lim一八°)=尸(0)存在,故x=0為可去間斷點.

【評注1】本題也可用反例排除，例如3)=(則此時8岡=土=11'*"°'可排除/),伯),。三項，故

x[0,x=0,

應(yīng)選(D).

【評注2】若f(x)在x=x0處連續(xù)，則=Aof(xo)=0,尸(％)=A.

5。X-Xo

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(x°,y°)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是

(A)/(Xo，y)在y=y()處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/(與，曠)在y二%處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)/(Xo，y)在y=%處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(玉),y)在y=y()處的導(dǎo)數(shù)不存在?

[A]

【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.

【詳解】可微函數(shù)f(x,y)在點(x°,y°)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知￡；(%,為)=()，即

/(/,〉)在y=X)處的導(dǎo)數(shù)等于零，故應(yīng)選(A).

【評注1】本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，/(%，月在y=%處的導(dǎo)數(shù)即/^(/，凡)；而/(羽兒)在x=x()

處的導(dǎo)數(shù)即/(%,%)?

【評注2】本題也可用排除法分析，取/*,y)=/+y2,在(0,0)處可微且取得極小值，并且有

/(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正確選項為(A).

(3)設(shè)p“=%；同,q“=巴,〃=1,2,…，則下列命題正確的是

(A)若￡1ati條件收斂，則￡pn與￡必都收斂.

〃=1n=\〃=1

(B)若絕對收斂，則“與￡縱者網(wǎng)攵斂.

〃=1〃=1M=l

(C)若條件收斂，則￡>,與￡/斂散性都不定.

〃=1n=\n=l

(D)若W>“絕對收斂，則W>.與斂散性都不定.[B]

“=1M=In=\

【分析】根據(jù)絕對收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)即可找出答案.

886a4-Z7I

【詳解】若絕對收斂，即Egj收斂，當(dāng)然也有級數(shù)收斂，再根據(jù)p'="?”|

n=l〃=ln=l2

a—1/7I88

”?及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知,￡P(guān)〃與Z%都收斂，故應(yīng)選伯)?

2〃=]?=1

abb

(4)設(shè)三階矩陣A=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bW0.

(C)awb且a+2b=0.(D)aWb且a+2bW0.[C]

【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.

【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2,故有

abb

bab=(a+2h)(a-b)2=0,即有a+2/?=0或a=b.

bba

但當(dāng)a=b時，顯然秩(A)w2,故必有aWb且a+2b=0.應(yīng)選(C).

【評注】n(nN2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系:

n,r(A)=n,

r(A*)=<1,r(A)-n—\,

0,r(A)<n-\.

(5)設(shè)&均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是

(A)若對于任意一組不全為零的數(shù)匕，左2,…，女’，都有匕%+&4_1-------則4,a2,…

線性無關(guān).

(B)若%,%，…,見線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)片他,…人，都有

kial+A2a2H-------Fksas=0.

(C)見線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)%,《線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān).[B]

【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價表現(xiàn)形式.應(yīng)

注意是尋找不正確的命題.

【詳解】(A)：若對于任意一組不全為零的數(shù)左],%2,,都有勺％+&2a2T+幻&。0，則

%%，…，4必線性無關(guān)，因為若即％，…。,線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)占，42,…,女,，使得

自%+k2a24------1-ksas=0,矛盾.可見(A)成立.

(B):若藥,凡線性相關(guān)，則存在一組，而不是對任意一組不全為零的數(shù)匕,卷「??，&?，都有

klai+A2a2T-----卜k$a*=0.(B)不成立.

(C)%,%，…，見線性無關(guān)，則此向量組的秩為s；反過來，若向量組名,%，…,見的秩為s,則

線性無關(guān)，因此(C)成立.

(D)%,。2,《線性無關(guān),則其任一部分組線性無關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個向量線性無關(guān)，可見(D)也成

立.

綜上所述，應(yīng)選(B).

【評注】原命題與其逆否命題是等價的.例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)匕,占「??《「使

得仁/+&12+???+《/=0成立，則%,陽，…，4線性相關(guān).其逆否命題為：若對于任意一組不全為

零的數(shù)匕，42,…，4s,都有無1%+Z2a2TFka#0,則a.,線性無關(guān).在平時的學(xué)習(xí)過程中，

應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性.

(6)將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進(jìn)事件：4=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,42=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝，43=｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,4=｛正面出現(xiàn)兩次｝,則事件

（A）A1,A2，A3相互獨立.（B）A2，A3，A4相互獨立.

（C）4,4，43兩兩獨立.（D）42，A3，A4兩兩獨立.[C]

【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進(jìn)行驗算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨立，若成立，再檢驗是

否相互獨立.

【詳解】因為

P（A）=；,p（4）=g，P（4）=g，尸（4）=；，

且P（A]A2）=；，P（A|A3）=（，P（&4）=；，2（44）=；P（A|A2A3）=0,

可見有

P（A1A2）=P（A1）P（A2）,p（A4）=p（A）p（4）,P（A2A3）=P（A2）P（A3）,

P（A4A3）HP（A）P（4）P（4）,P（A2A4）豐P（A2）P（A4）.

故4,4，&兩兩獨立但不相互獨立；A2，A3，A4不兩兩獨立更不相互獨立，應(yīng)選（c）.

【評注】本題嚴(yán)格地說應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立.

三、（本題滿分8分）

設(shè)

f（X）—1----------------,X€[—,1）.

7ixsinm;萬（l-x）2

試補充定義f⑴使得的在[L]上連續(xù).

2

【分析】只需求出極限lim/（_r）,然后定義f（l）為此極限值即可.

x->r

【詳解】因為

lim/（x）=limf—+—------------]

—IJIXsin^x

11乃（l-x）-sin玄

=——F-lim-------------；-----

7t萬“一1（l-x）sinxx

11「-7V-7TCOS71X

=—I—lim—；-------------------

71乃-sin^4-(l—x)^cos^

17t~sin^r

+-lim

2

冗71A>「—71COS71X—7CCOS71X——X)7Tsin玄

]_

71

由于f(x)在g,l)上連續(xù)，因此定義

/(1)=--

71

使f(x)在d』]上連續(xù).

2

【評注】本題實質(zhì)上是一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.在計算過程中，

也可先作變量代換y=l-x,轉(zhuǎn)化為求)，-0'的極限，可以適當(dāng)簡化.

四、(本題滿分8分)

設(shè)可u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足空+覺=1,又8。,丁)=/[肛」(一一丁2)],求

dudv2

dx2dy2.

【分析】本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題：g=/(〃,U),M=初,V=g(Y-y2),直接利用復(fù)

合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用c工=e上

dudvdvdu

邈_=訶一df

【詳解】zy--Fx—，

dxdudv

型_一紅-y更

Sy一dudv

92g,d2fcd2fd2fdf

故=y--v+2xy——+x2—v+—

dx2dudvdv2dv

82g=/"_2孫亞+丫2"2

du2dvdudv2dv

,2人呼于‘22、"/

所以-■---------I1----■-------■-(廠+y)京+(“+、)*

dx2dy2

=，+y2.

【評注】本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).

五、(本題滿分8分)

計算二重積分

/=>sin(x?+y2)dxdy.

n

其中積分區(qū)域D={(X,y)k2+y2?]}

【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計算.

【詳解】作極坐標(biāo)變換：x=rcos/9,y=rsin<9,有

/=￡一（,+））sin（x2+y21dxdy

D

=e"re~rsinr2dr.

JoJo

令/=/,貝Ij

I=nd1e~sintdt.

Jo

記A=[e~{sintdt,則

Jo

A=-^e1intde^

Jo

npn

=-[e~sint-e~costdt}

0Jo

=-[costde~l

Jo

_n,兀

--[e~cosr+e~sintdt}

0Jo

+1-A.

因此A=g（l+eF）,

TTP71TT

7=—（1+€>-"）=-（1+e"）.

22

【評注】本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計算，在將二重積分化為定積分后，再通過

換元與分步積分（均為最基礎(chǔ)的要求），即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多

個基礎(chǔ)知識點.

六、（本題滿分9分）

co2n

求幕級數(shù)1+Z（-l）”二（忖<1）的和函數(shù)f（x）及其極值.

n=l2〃

【分析】先通過逐項求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時和為1.求出和函數(shù)后，再按

通常方法求極值.

【詳解】

小）專一心叫一1

上式兩邊從0到x積分，得

f(x)-/(0)=一1'=一；ln(l+%2

).

由f(0)=l,得

/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).

令/'(工)=0，求得唯一駐點x=0.由于

r(o)=-i<o,

可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為

f(O)=l.

【評注】求和函數(shù)一般都是先通過逐項求導(dǎo)、逐項積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級數(shù)情形，然后

再通過逐項積分、逐項求導(dǎo)等逆運算最終確定和函數(shù).

七、(本題滿分9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-8,+8)內(nèi)滿足以下條件：

f'(x)=g(x),g,(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex.

(3)求F(x)所滿足的一階微分方程；

(4)求出F(x)的表達(dá)式.

【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用

F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.

【詳解】⑴由

尸(X)=-3+/(x)g'(x)

="(x)+g(x)]2-2f(x)g(x)

=(2/)2一2F(X),

可見F(x)所滿足的一階微分方程為

F'(x)+2F(x)=4e2x

(2)F(x)=e'[j4e2dx+C]

[J4e4v^+C]

=e2x+Ce-2x.

將F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得

C=-l.

F(x)=e2x-e~2x.

【評注】本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型

來說比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍.

八、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f⑴+f(2)=3,f⑶=1.試證必存在Je(0,3),使

f'(+=o.

【分析】根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點ce［0,3),使得/(c)=l=/(3),然后在￡3］上應(yīng)用羅

爾定理即可.條件出0)+f(l)+f(2)=3等價于/(())+/(D+/(2)=］,問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最

終用介值定理可以達(dá)到目的.

【詳解】因為f(x)在［0,3］上連續(xù)，所以f(x)在［0,2］上連續(xù)，且在［0,2］上必有最大值M和最小值m,

于是

m</(0)<M，

m</(I)<M,

m</(2)<M.

故

3

由介值定理知，至少存在一點ce［0,2］,使

〃c)J(0)+e)+.〃2)=l.

3

因為f(c)=l=43),且f(x)在［c,3］上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在Je(c,3)u(0,3),

使(⑹=().

【評注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R點，且一般是兩兩結(jié)合起來考.本題

是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.

九、(本題滿分13分)

己知齊次線性方程組

(a,+b)x}+a2x2+a3x3----1-anxn=0,

axx{+(cz2+b)x2+a3x3+—Fanxn=0,

<a/i+a2x2+(a3+b)x3+---+anx?=0,

alxi+a2x2+%七+???+(4“+b)xn=0,

其中H0.試討論修,見,…，凡和b滿足何種關(guān)系時，

;=1

(1)方程組僅有零解；

(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.

【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計

算具有明顯的特征：所有列對應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第

一行的(-1)倍加到其余各行，即可計算出行列式的值.

【詳解】方程組的系數(shù)行列式

=bn~'(b+力%).

7二1

(1)當(dāng)人/0時且8+自/力0時，秩(A)=n,方程組僅有零解.

/=1

（2）當(dāng)b=0時，原方程組的同解方程組為

OR+a2x2H-----=0.

由才出w0可知，%。=1,2,…,〃）不全為零.不妨設(shè)q/0,得原方程組的一個基礎(chǔ)解系為

/=1

%=(-,%=(—.???,??=(—-,0,0,1"J)7.

a.a.a.

當(dāng)6=—之見時，有bwO,原方程組的系數(shù)矩陣可化為

（=1

再從第2行到第n行同乘以--L倍）

（將第1行的-1倍加到其余各行,n

2%

/=1

a2,凡

i=i

-i100

->

-1010

-1001

（將第n行-4倍到第2行的-出倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）

--110…0'

-101-??0

-100…1

000???0

由此得原方程組的同解方程組為

=項，x3=X,,…，X“=X].

原方程組的一個基礎(chǔ)解系為

【評注】本題的難點在b=4時的討論，事實上也可這樣分析：此時系數(shù)矩陣的秩為n-1（存在

/=]

n-l階子式不為零），且顯然a=（1,1,…J）7■為方程組的一個非零解，即可作為基礎(chǔ)解系.

十、(本題滿分13分)

設(shè)二次型

f{xx,x2,x^—X'AX—ax]+2x；—2x；+2bxtx3(b>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

（3）求a,b的值；

（4）利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.

【分析】特征值之和為A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b的值;

進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單

位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.

【詳解】（1）二次型f的矩陣為

a0b

A=020.

b0-2_

設(shè)A的特征值為4(i=1,2,3).由題設(shè)，有

4++X?=a+2+(—2)=1,

a0b

2

A122/l3=020=-4a-2b=-12.

Z?0-2

解得a=l,b=-2.

(2)由矩陣A的特征多項式

2-10-2

|AE-A|=02-20=(4—2)2(4+3),

-20A+2

得A的特征值4=%=2,4=-3.

對于4=4=2,解齊次線性方程組（2E一A）x=0,得其基礎(chǔ)解系

（2,0,1兒Q（0，1，0）。

對于4=-3,解齊次線性方程組（-3E-A）x=0,得基礎(chǔ)解系

4=(1,0,-2)7.

由于。，虞，△已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將。，殳，々單位化，由此得

2

3

-0

Q=-1

--

^

則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有

"200"

Q"Q=020,

00-3_

且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

/=2弁+2貨—3貨.

【評注】本題求a,b,也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定:

二次型f的矩陣A對應(yīng)特征多項式為

A.—a0—b

|花_川=0A-20=(A-2)[A2-(a-2)2-(2a+b2)].

-b0A+2

設(shè)A的特征值為4,4,%,則4=2,22+4=。-2,辦4,=—(2。+/).由題設(shè)得

4+4+4=2+(a—2)—1，

4之2%=—2(2。+6?)=—12.

解得a=l/b=2.

十一、(本題滿分13分)

設(shè)隨機變量X的概率密度為

，若xe[l,8],

其他；

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

【分析】先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X)，然后按定義求Y的分布函數(shù)即可.注

意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍(0<尸(X)<1),再對y分段討論.

【詳解】易見，當(dāng)x<l時，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)x>8時，F(xiàn)(x)=l.

對于有

—i=dt=y[x-1.

7

13跖

設(shè)G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然，當(dāng)y<0時，G(y)=O；當(dāng)>21時，G(y)=l.

對于ye[0,1),有

G(y)=P{r<y}=P{F(X)<y}

=P{V^-l?y}=P{XV(y+l)3}

=F[(y+l)3]=y.

0,若”0,

于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為G(y)=<y,若0Wy<l,

1,若”1.

【評注】事實上，本題X為任意連續(xù)型隨機變量均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布：

當(dāng)y<0時,G(y)=0;

當(dāng)y21時，G(y)=l;

當(dāng)04y<1時，G(y)=P{7<y}=P{F(X)<訓(xùn)

=P{X<F-'(J)}

=F(F-1(y))=y.

十二、(本題滿分13分)

(12、

設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為X~,

(0.30.7J

而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).

【分析】求二維隨機變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率.注意X只有兩個可能

的取值，求概率時可用全概率公式進(jìn)行計算.

【詳解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知1^*+丫的分布函數(shù)為

G(u)=P[X+Y<u}

=o.3P{x+y<〃|x=i}+o.7P{x+yw"|x=2}

=().3P{y<M-1|X=l}+().7P{y<M-2|X=2}.

由于X和Y獨立，可見

G(u)=0.3P{y<u-1}+0.7P{y<w-2}

=0.3F(M—1)+0.7F(H—2).

由此，得u的概率密度

g(〃)=G'{u)=0.3尸3-1)+0.7F(〃-2)

=0.3/(M-1)+0.7/(M-2).

【評注】本題屬新題型，求兩個隨機變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，要求用全概

率公式進(jìn)行計算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具有一定的難度和綜合性.

2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)若IlinX-(cosx-b)=5,則。=______，b=______.

xfoex—a

⑵設(shè)函數(shù)/(u,v)由關(guān)系式/[xg(y),y]=x+g(y)確定