數(shù)學本章整合：第一章統(tǒng)計案例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一回歸分析中的轉(zhuǎn)化與化歸思想在大量的實際問題中，研究的兩個變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈指數(shù)關(guān)系或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系．在某些情況下，可以通過換元和適當?shù)暮瘮?shù)變換，將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型求解．【例1】在對某種昆蟲的調(diào)查中，其產(chǎn)卵數(shù)y(個)和溫度x（℃）有關(guān),下表為收集到的7組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325（1）作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的回歸模型．解：（1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作散點圖，如圖所示．從圖中可以看出，樣本點沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系,所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系．根據(jù)已有的函數(shù)知識,可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1的附近，其中c1,c2為待定參數(shù)．(2)令z＝lny，則變換后樣本點分布在直線z＝bx＋a（a＝lnc1，b＝c2）的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程．由題設(shè)中的數(shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235z1。9462.3983。0453.1784。1904.7455.784根據(jù)表中數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為eq\o（z,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，故所求回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝e0.272x－3.849?！纠?】在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250。5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．解：由數(shù)值表可作散點圖如下圖．根據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f（k，x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)?t4210。50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點圖如下：由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyiti21416641622122443155140.5210.2550.2510。250。625∑7.753694.2521.3125所以eq\x\to(t)＝1。55,eq\x\to（y)＝7。2.所以eq\o（b，\s\up6(^)）＝≈4。1344，eq\o（a,\s\up6（^)）＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6(^）)eq\x\to（t)≈0。8。所以eq\o（y，\s\up6(^)）＝4。1344t＋0。8.所以y與x之間的回歸方程是eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\f(4。1344,x）＋0.8。專題二獨立性檢驗思想獨立性檢驗就是根據(jù)采集的樣本數(shù)據(jù)，利用公式求出隨機變量K2的觀測值k，通過比較k與臨界值k0的大小來確定兩個分類變量是否有關(guān)系的方法．【例3】某電視臺聯(lián)合相關(guān)報社對“男女同齡退休”這一公眾關(guān)注的問題進行了民意調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表所示：贊同反對總計男198217415女476109585總計6743261000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為對這一問題的看法與性別有關(guān)系?(P（K2≥10。828)≈0.001)解：假設(shè)H0：“對這一問題的看法與性別無關(guān)”,由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可以得到K2的觀測值k＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）＝eq\f（1000×198×109－217×4762,415×585×674×326）≈125.161＞10。828，又P(K2≥10.828）≈0。001，故在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為對“男女同齡退休”這一問題的看法與性別有關(guān)．專題三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是一種非常重要的數(shù)學思想，就是把“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來，充分應(yīng)用“圖形”的直觀性，“數(shù)”的嚴密性、準確性，使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，從而使問題得到解決．【例4】為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山下建立了一個觀測站，測量了最大積雪深度x(尺）與當年灌溉面積y（千畝），得到連續(xù)10年的數(shù)據(jù)如下表：年序最大積雪深度x/尺灌溉面積y/千畝115。228.6210。419.3321。240.5418。635.6526.448。9623。445。0713.529.2816。734.1924。046.71019。137.4試求回歸方程．解：為了研究這些數(shù)據(jù)中所蘊含的規(guī)律，我們把各年最大積雪深度作為橫坐標，相應(yīng)的灌溉面積作為縱坐標，作散點圖如圖所示．從圖中看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近，這告訴我們變量x與y之間的關(guān)系大致可看作是線性關(guān)系、從圖中還看到,這些點又不都在一條直線上，這表明x與y的關(guān)系并沒有確切到給定x就可以唯一確定y的程度．事實上,還有許多其他因素對y產(chǎn)生影響，如當年的平均氣溫、當年的降雨量等，這些都是影響y取值的隨機因素．如果我們研究x與y的關(guān)系,利用公式，得：eq\x\to(x)＝eq\f(1,10）×(15.2＋10。4＋…＋19。1）＝18.85,eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(28.6＋19。3＋…＋37.4）＝36。53，eq\i\su（i＝1，10,)（xi－eq\x\to(x)）2＝227.845，eq\i\su（i＝1，10，)(xi－eq\x\to（x)）(yi－eq\x\to（y)）＝413.065，于是eq\o（b，\s\