數(shù)學本講測評：第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本講檢測一、選擇題（每小題5分，共60分）1。一個圓的正射影不可能是()A.圓B。橢圓C.線段D.拋物線解析:當圓所在平面與射影平面平行時射影是圓,不平行時是橢圓，垂直時是線段.答案:D2.下列說法錯誤的是（）A。兩條相交直線的平行射影還是相交直線B.兩條平行直線的平行射影還是平行直線C。線段中點的平行射影仍然是線段平行射影中的中點D.角的平分線的平行射影還是該角平行射影的平分線解析:根據(jù)平行射影定義,A、B、C均正確,D是錯誤的。答案：D3.下列敘述中，不是圓錐曲線的是()A.平面上到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡B.平面上到兩個定點的距離之差等于定長的點的軌跡C.平面上到定點和定直線距離相等的點的軌跡D。到角的兩邊距離相等的點的軌跡解析：A、B、C分別描述的是橢圓、雙曲線和拋物線，D是角平分線.答案：D4.方程x2—3x+2=0的兩根可作為()A。兩個橢圓的離心率B.一雙曲線、一條拋物線的離心率C。兩雙曲線的離心率D。一個橢圓、一條拋物線的離心率解析：方程的兩根分別為x1=1，x2=2，橢圓:0＜e＜1,雙曲線:e＞1，拋物線：e=1.答案：B5.一平面與圓柱母線的夾角為30°,則該平面與圓柱面交線的離心率為（）A.B。C。D.解析：e=cos30°=.答案：A6。如果橢圓兩準線之間的距離為8,長軸長為4,則短軸長為()A。B.C。1D。2解析：∵∴∴b==,2b=2。答案:B7。圓柱的底面半徑為r，平面π與母線的夾角為α,則該平面與圓柱面的交線的焦距為（)A.2rcotαB.2rtanαC.2rcosαD.2rsinα解析：∵2a=,∴a=.又b=r，∴c==rcotα，2c=2rcotα.答案：A8。平面與圓錐軸線的夾角為30°，與圓錐面交線的離心率為,則圓錐母線與軸線的夾角為()A.30°B.45°C.60°D。無法確定解析:∵e=，∴?！唳?60°。答案：C9.平面與圓錐軸線夾角為45°，圓錐母線與軸線夾角為60°,平面與圓錐面交線的軸長為2,則焦距為（）A.B。C.D。解析:∵e==，∴∴c=,2c=.答案：B10。以圓錐曲線的焦點弦(過焦點垂直于軸）和相應的準線相交,則這樣的圓錐曲線是(）A.不存在的B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析:由圓錐曲線的結構特點知選A.答案:A11。已知平面內(nèi)有一條線段AB=4,動點P滿足PA—PB=3,O為AB的中點，則PO的最小值為(）A。1B。C.2D.3解析：由雙曲線的定義，知P的軌跡是以軸長為3,焦距為4的雙曲線，于是當P在雙曲線頂點時，PO最小,∴PO=a=。答案：B12.橢圓的四個頂點ABCD，若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率是（)A。B。C。D。解析:由題意知ab=c·,∴c4—3a2c2+a由a≠0,∴()4-3(）2+1=0。∴e4-3e2+1=0.解得e=.答案：C二、填空題（每小題4分,共16分）13。已知雙曲線的兩個焦點分別為F1、F2，在右支上過F1的弦AB的長為5，若2a=8，那么△ABF2的周長是_________________。解析:由雙曲線的結構特點：AF2—AF1=8,BF2-BF1=8.兩式相加得AF2+BF2-AB=16,∴AF2+BF2=16+AB=21.∴△ABF2的周長=AF2+BF2+AB=21+5=26。答案:2614.設橢圓的兩個焦點分別是為F1、F2，過F2作長軸的垂線交橢圓于點P，△PF1F2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為______________解析：△PF1F2∴PF2=F1F2=2c,PF1=2由橢圓的定義，得PF1+PF2=2a。∴e=.答案:—115.過拋物線的焦點F作直線交拋物線于PQ，分別過P、Q作準線的垂線,A、B為垂足,則△AFB的形狀是_________________。圖3-3解析：由拋物線定義知PA=PF,過F作FE⊥AB,如圖,則∠PAF=∠PFA.又PA∥FE，∴∠PAF=∠AFE.同理,∠EFB=∠BFQ.∴∠AFE+∠BFE=∠AFP+∠BFQ=90°?！唷鰽FB是直角三角形.答案：直角三角形16。如圖3-4,已知過雙曲線的焦點F1作MN⊥F1F2,以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的頂點A,則雙曲線的離心率等于_________________圖3—4解析：連結MA、NA,則∠MAN=90°,∴F1A=F1∴a+c=，即b2=a2+ac。又b2=c2—a2,∴a2+ac=c2-a2?！郼2—ac-2a2=0?！啵ǎ?--2=0.∴e2—e-2=0.結合e＞1，解得e=2。答案：2三、解答題(本大題共6小題,共74分）17.(12分)求證:三角形的中位線平行射影具有不變性.解：已知：△ABC,DE是其中位線,它們的平行射影分別是△A′B′C′和D′E′，如圖3—5,圖3—5求證：D′E′仍然是△A′B′C′的中位線。證明：連結AA′、EE′、CC′，則AA′∥EE′∥CC′，∵AE=EC,∴A′E′=E′C.同理,A′D′=D′B′。∴D′E′是△A′B′C′的中位線。18.（12分)如圖3-6,拋物線的焦點為F，頂點為A，準線l過F作PF⊥AF.以A為原點,以AF所在直線為橫軸建立平面直角坐標系.若PF=p,求證：（1)F的坐標為(，0)；（2）準線l的方程為x=—.圖3—6證明：由拋物線結構特點知PB=PF,AH=AF，∴AH=AF=PB=?！?1）F的坐標為(，0）。(2)l的方程為x=—.19。（12分)若橢圓的一個焦點為F,A、B分別為頂點，如圖3-7,離心率為，求∠ABF.解析：設橢圓的長軸為2a，短軸為2b，焦距為2c,圖3—7則AB=,AF=a+c，BF=a?！郼os∠ABF===.∵,∴a2-ac—c2=0?！郼os∠BAF=0?！唷螦BF=90°.20.(12分）如圖3-8，已知F1、F2是雙曲線的兩個焦點，PQ是經(jīng)過F1且垂直于F1F2的弦且雙曲線的離心率為+1,求∠PF2Q。圖3-8解析:設雙曲線的實軸為2a，焦距為2c,則PF2-PF1=2a,F1F2=2c在Rt△PF1F2PF1=，∴PF2—=2a.又∵e==+1，∴2a=2(—1)c?！郟F2—=2(-1）c.解之,得PF2=2c∴cos∠PF2F1=.∴∠PF2F1由對稱性,∴∠QF2F1∴∠PF2Q=90°。21.（12分）如圖3-9，已知F1是雙曲線的焦點，A是頂點，l1、l2是其準線，l1、l2分別與軸線F1A交于B1、B2,以B2為頂點,A為焦點的拋物線交雙曲線于PQ，且=e。其中e是雙曲線的離心率,求e。圖3-9解析:過P作PM⊥l1，由離心率定義得=e，由條件=e.∴=?！郟M=PA。又∵A是拋物線的焦點，∴l(xiāng)1是拋物線的準線?！郆2B1=B2A，B1B2=,B2A=a—。∴=a-。解之,得=3.∴e=3。22.(14分）已知圓錐的母線與軸線的夾角為α,圓錐嵌入半徑為R的Dandelin球,平面π與圓錐面的交線為拋物線,求拋物線的焦點到準線的距離。圖3—10解析：設F為拋物線的焦點,A為頂點,FA的延長線交準線m于B，AF的延長線與PO交于點C.連結OF、