數(shù)學(xué)版本章整合：第二章推理與證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納，然后提出猜想的推理,統(tǒng)稱為合情推理．合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．歸納推理的思維過程大致如下：eq\x（實(shí)驗(yàn)，觀察）→eq\x（概括,推廣）→eq\x（猜測(cè)一般性結(jié)論)類比推理的思維過程大致如下：eq\x（觀察，比較）→eq\x(聯(lián)想,類推)→eq\x(猜測(cè)新的結(jié)論)【例1】觀察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為__________．解析：第n個(gè)等式的左邊第n項(xiàng)應(yīng)是(－1)n＋1n2,右邊數(shù)的絕對(duì)值為1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n(n＋1），2)，故有12－22＋32－42＋…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n＋1eq\f（n(n＋1),2）。答案：12－22＋32－42＋…＋（－1)n＋1n2＝(－1）n＋1·eq\f（n（n＋1），2）【例2】中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”“平行關(guān)系”等等，如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“～”滿足以下三個(gè)條件：（1）自反性:對(duì)于任意a∈A，都有a~a;（2）對(duì)稱性：對(duì)于a，b∈A，若a～b，則有b～a；（3）傳遞性:對(duì)于a，b，c∈A，若a～b，b～c，則有a～c,則稱“～"是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系．例如：“數(shù)的相等"是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）．請(qǐng)你再列出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系．解析：(1）令A(yù)為所有三角形構(gòu)成的集合，定義A中兩個(gè)三角形的全等為關(guān)系“～”，則其為等價(jià)關(guān)系．(2)令B為所有正方形構(gòu)成的集合，定義B中兩元素相似為關(guān)系“~"，則其為等價(jià)關(guān)系．（3)令C為一切非零向量構(gòu)成的集合,定義C中任兩向量共線為關(guān)系“~”，則其為等價(jià)關(guān)系．答案:答案不唯一，如“圖形的全等"“圖形的相似”“非零向量的共線"等．專題二三段論推理三段論推理是演繹推理的主要形式，演繹推理具有如下特點(diǎn):(1)演繹推理的前提是一般性原理，演繹推理所得的結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中．(2）演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具．(3）演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證特點(diǎn)，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化．【例3】用三段論證明函數(shù)f（x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函數(shù)．提示：證明本題所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義,即函數(shù)y＝f(x）滿足：①在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值x1，x2，若x1＜x2，則有f(x1)＜f(x2）,小前提是f(x）＝－x2＋2x,x∈（－∞，1］滿足增函數(shù)的定義,這是證明本題的關(guān)鍵．證明：設(shè)x1，x2是(－∞，1］上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2,則f(x1)－f（x2）＝（－x21＋2x1)－（－x22＋2x2)＝(x2－x1）·（x2＋x1－2）．因?yàn)閤1＜x2,所以x2－x1＞0.因?yàn)閤1，x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2＜0.因此f(x1)－f（x2）＜0，即f(x1）＜f(x2）．于是根據(jù)“三段論"，得f（x)＝－x2＋2x在（－∞，1］上是增函數(shù)．【例4】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x）＋bx,其中a＞0，b＞0，x∈（0，＋∞),試確定f(x）的單調(diào)區(qū)間，并證明在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上的增減性．解：設(shè)0＜x1＜x2，則f（x1)－f(x2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a，x1)＋bx1）)－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a，x2）＋bx2）)＝（x2－x1）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a，x1x2)－b))。當(dāng)0＜x1＜x2≤eq\r(\f(a，b））時(shí)，x2－x1＞0，0＜x1x2＜eq\f(a,b）,eq\f（a，x1x2）＞b，∴f（x1）－f(x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．∴f(x)在eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(0,\r（\f(a,b）））)上是減函數(shù)；當(dāng)x2＞x1＞eq\r（\f(a，b））時(shí),x2－x1＞0，x1x2＞eq\f(a，b），eq\f(a，x1x2）＜b，∴f（x1)－f(x2)＜0，即f(x1）＜f(x2)．∴f（x)在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(\f（a，b)），＋∞))上是增函數(shù)．專題三直接證明與間接證明在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用．根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng).若由P可以推出Q成立,就可以證明結(jié)論成立．反證法不是去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理推導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性．這種證法體現(xiàn)了“正難則反”的理論原則．【例5】設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證:（a＋b＋c)2＜4（ab＋bc＋ac)．提示：此題可先通過分析法尋求解題思路，然后用綜合法證明．證明：證法一（分析法):由題意,要證明（a＋b＋c）2＜4(ab＋bc＋ac),即要證a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＜0，即證（a2－ab－ac)＋（b2－bc－ab)＋（c2－ca－bc）＜0,即要證a（a－b－c）＋b（b－c－a）＋c(c－a－b）＜0,①因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊，所以a＞0，b＞0，c＞0,且a＜b＋c,所以a－b－c＜0.從而a(a－b－c）＜0，同理可得b（b－c－a）＜0，c（c－a－b）＜0，三式相加，則不等式①成立．以上各步均可逆推，故原不等式成立．證法二（綜合法)：因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊,所以a＞0，b＞0，c＞0，且a＜b＋c,所以a－b－c＜0。從而a(a－b－c）＜0，同理可得，b（b－a－c)＜0,c（c－a－b)＜0，三式相加，可得a(a－b－c）＋b(b－c－a）＋c(c－a－b）＜0，則a2－ab－ac＋b2－bc－ab＋c2－ca－bc＜0，即a2＋b2＋c2－2ab－2ac－2bc＜0，通過配方，可得（a＋b＋c)2＜4（ab＋bc＋ac）．【例6】若函數(shù)f（x)在區(qū)間［a，b]上是增函數(shù),那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b］上至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根．提示:含有“至多”“至少”類詞語的命題從正面證明難以入手，往往考慮應(yīng)用反證法證明．證明：假設(shè)方程f