專題06 全等模型-角平分線模型（解析版）

專題06全等模型-角平分線模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各類模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點(diǎn)D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，還有.）圖3常見模型2（鄰等對補(bǔ)型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點(diǎn)C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.例1．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，是的平分線，若，，則的長是（）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】如圖，過D作于E，利用三角形的面積公式求出，再據(jù)角平分線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖，過D作于E，

∵，，∴，∴，∵，即，是的角平分線，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·河北保定·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知、的角平分線、相交于點(diǎn)，，，垂足分別為、．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④．其中結(jié)論正確的是（填寫結(jié)論的編號(hào)）（

）A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④【答案】A【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可判斷②結(jié)論；先根據(jù)四邊形內(nèi)角和，得出，再證明，，得到，，即可判斷③結(jié)論；根據(jù)全等三角形面積相等，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：①作于點(diǎn)，平分，，，平分，，，，點(diǎn)在的角平分線上，平分，①結(jié)論正確；②平分，平分，，，，，，，，，②結(jié)論正確；③，，，，，，在和中，，，同理可證，，，，，故③結(jié)論正確；④，，，，故④結(jié)論不正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角形外角的定義，四邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例3．（2023·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，，是的中點(diǎn)，平分．（1）求證：是的平分線；（2）若，求的長．【答案】（1）詳見解析；（2）8cm.【分析】（1）過點(diǎn)E分別作于F，由角平分線的性質(zhì)就可以得出EF=EC，根據(jù)HL得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）證明：過點(diǎn)E分別作于F，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD．∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=BE，∴BE=EF．在Rt△AEB和Rt△AEF中，，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分線；（2）解：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分線，，，，∵∠C=90°∴

，，.故答案為（1）詳見解析；（2）8cm.【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，線段中點(diǎn)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，含30°角的直角三角形，證明三角形全等是解（1）題的關(guān)鍵，掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解（2）題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，平分，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在直線上，連接，，且．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，當(dāng)是鈍角時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；(3)當(dāng)時(shí)，若，，請直接寫出與的面積的比值．【答案】(1)(2)成立；證明見解析(3)2或4（或也行）【分析】（1）過點(diǎn)作于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于，于，證明，得到；（3）分點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線的反向延長線上兩種情況，仿照（2）的方法解答即可．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)作于，于，四邊形為矩形，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，故答案為．（2）解：成立，理由如下：如圖2，證明：過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．∴∵平分，∴∵在四邊形中，∴又∵∴在和中，∴∴．（3）解：如圖3，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．平分，，與的面積的比值為2。如圖4，過點(diǎn)作于，于，則與的面積的比值為4，綜上所述：與的面積的比值為2比4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點(diǎn)F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為．

【答案】4【分析】延長交于，由證明，得出，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：延長交于，如圖所示：

平分，垂直于，，，在和中，，)，，，∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，中線的性質(zhì)，證明三角形全等得出是解題關(guān)鍵．例2．（2022·福建·廈門九年級(jí)期中）如圖，在中，，，（1）如圖1,平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（i）若，求證：垂直平分；（ii）若,求證：．（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，，垂足在的延長線上，試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，為上一點(diǎn)，，，垂足為，與交于點(diǎn)，寫出線段和的數(shù)量關(guān)系．（不要求寫出過程）【答案】（1）（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析；（2）BD＝2CE，理由見解析；（3）CE＝FD．【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（ⅱ）過點(diǎn)C作CM⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)M，如圖1，先根據(jù)AAS證明△ABE≌△CAM，可得AE＝CM，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠FCM＝∠EAD，進(jìn)而可根據(jù)ASA證明△AED≌△CMF，于是可得結(jié)論；（2）延長BA、CE相交于點(diǎn)F，如圖2，先利用ASA證明△BCE和△BFE全等，可得CE＝EF，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACF，然后利用ASA可證明△ABD和△ACF全等，進(jìn)而可得BD＝CF，進(jìn)一步即得結(jié)論；（3）過點(diǎn)F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點(diǎn)G，如圖3，先利用ASA證明△CEF≌△GEF，可得CE＝GE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和ASA證明△CGH≌△FDH，于是可得CG＝DF，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）（?。┳C明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF；（ⅱ）證明：過點(diǎn)C作CM⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)M，如圖1，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM，∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD，在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF；（2）解：BD＝2CE．理由如下：如圖2，延長BA、CE相交于點(diǎn)F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE．（3）解：CE＝FD．過點(diǎn)F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點(diǎn)G，如圖3，∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°，在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG，∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南信陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點(diǎn)F．①寫出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是，并寫出證明過程．問題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點(diǎn)E．求證：AE=2CD．【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，詳見解析.【分析】情景觀察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共邊，根據(jù)“HL”即可判斷△ABE≌△ACE；根據(jù)等腰三角形“三線合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三線合一”得出BC＝2CE，等量代換即可得出結(jié)論；問題探究：延長AB、CD交于點(diǎn)G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對應(yīng)邊相等CD＝GD，即CG＝2CD，證出∠BAE＝∠BCG，由ASA證明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．【詳解】解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是：AF＝2CE；故答案為AF＝2CE．證明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；問題探究：證明：延長AB、CD交于點(diǎn)G，如圖2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°，∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．模型3.角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點(diǎn)，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2023·廣西八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2023春·長度·七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．【答案】見解析【分析】在BC上截取BE＝BA，連接DE，證明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，則DE＝DC，從而得出AD＝CD即可證明．【詳解】證：如圖，在BC上截取BE＝BA，連接DE，∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，∴△BAD≌△BED，∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴AD＝CD，∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會(huì)做輔助線找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，AC∥BD，AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，點(diǎn)E在CD上．用等式表示線段AB、AC、BD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AC+BD=AB，理由見見解析【分析】在BA上截取BF=BD，連接EF，先證得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，從而證得，可得AF=AC，即可求解．【詳解】解：AC+BD=AB，證明如下：在BA上截取BF=BD，連接EF，如圖所示：∵AE、BE分別平分∠CAB和∠ABD，∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，在△AEF和△AEC中，，∴（AAS），∴AF=AC，∵AF+BF=AB，∴AC+BD=AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·湖北十堰·九年級(jí)期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連結(jié)DE，易證AB＝AC＋CD．

（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．【答案】（1）；證明見解析；（2）；證明見解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，連接DE，易證△ADE≌△ADC（SAS），則可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易證DE＝CD，則可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延長線上截取AE＝AC，連接ED，易證△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易證DE＝EB，則可求得AC＋AB＝CD．【詳解】（1）猜想：．證明：如圖②，在上截取，連結(jié)，∵為的角平分線時(shí)，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．（2）猜想：．證明：在的延長線上截取，連結(jié)．∵平分，∴．在與中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)作于，于，若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)“斜邊直角邊”的判定方法可證，，由此可得，設(shè)，列式求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)，于，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，即，設(shè)，∴，∴，即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為定角平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論中，不正確的是（

）

A．的值不變B．C．的長不變D．四邊形的面積不變【答案】C【分析】如圖作于E，于F，于，可證，所以，由平分，得證，于是，所以，同時(shí)，所以，，推出，進(jìn)一步得到，，所以，故B正確；因?yàn)?，故A正確；由三角形全等可知，所以定值，故D正確；M，N的位置變化，所以的長度是變化的，故C錯(cuò)誤．【詳解】解：如圖作于E，于F．

∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴定值，故D正確，∵，故A正確，∵M(jìn)，N的位置變化，∴的長度是變化的，故C錯(cuò)誤．∵，∴，∵與互補(bǔ)，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴∴，故B正確，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查角平線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理作出角平分線上點(diǎn)到兩邊的垂線段，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，于，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的是（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出結(jié)論：；②證明，得平分；③由四邊形的內(nèi)角和為得，再由平角的定義可得結(jié)論是正確的；④由得，再由，得出結(jié)論是正確的．【詳解】解：①，平分，，；所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；②，，，，，平分，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；③，，，，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；④，，，，所以此選項(xiàng)結(jié)論正確；本題正確的結(jié)論有4個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，同時(shí)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得出兩條垂線段相等；本題難度不大，關(guān)鍵是根據(jù)證明兩直角三角形全等，根據(jù)等量代換得出線段的和，并結(jié)合四邊形的內(nèi)角和與平角的定義得出角的關(guān)系．4．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，的兩條角平分線和相交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②平分；③點(diǎn)到邊，，的距離相等；④；錯(cuò)誤的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可判斷①；過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，在上截取，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷③；利用全等三角形的判定和性質(zhì)可判斷④．【詳解】解：①，，平分，平分，，，，，故①不符合題意；過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，在上截取，連接，如圖所示：②平分，，，．同理可得，．，，平分，故②不符合題意；③由②知：，故③不符合題意；④在和中，，，，，，，，．，，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故④不符合題意，綜上所述，錯(cuò)誤的有0個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的頂點(diǎn)O為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)M，N，分別以M，N為圓心，以大于長為半徑，兩條弧交于點(diǎn)P，作射線，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E分別在，上．已知，，，則的長度為（

）A．5 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，為的角平分線，過點(diǎn)C作與點(diǎn)P，通過證明，可得，證明可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得，為的角平分線，過點(diǎn)C作與點(diǎn)P，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，設(shè)，則，解得：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等．6．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，，對角線平分，則的面積為（

）．A． B．12 C．8 D．6【答案】A【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)，得到，利用，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵，∴，∵平分，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線為的平分線，點(diǎn)M，N分別是邊，上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)P在上，滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】B【分析】過點(diǎn)P作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)P作，，如圖所示：∵射線為的平分線，∴，當(dāng)DM=EN時(shí)，此時(shí)∴滿足條件的點(diǎn)P只有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·山東濰坊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，平分，下列結(jié)論中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過E作于F，證明，得到，判斷D；證得，判斷B；進(jìn)而判斷C；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求出，即可判斷A．【詳解】過E作于F，如圖，∵，平分，∴，，，；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，故D錯(cuò)誤；∵，，，故B正確；∴，故C正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，故A正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．9．（2022秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)為定角的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且與互補(bǔ)．若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與，相交于、兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①恒成立，②的值不變，③的長不變，④四邊形的面積不變，其中正確的為（請?zhí)顚懻_結(jié)論前面的序號(hào)）．【答案】①②④【分析】作于E，于F，只要證明，，即可一一判斷．【詳解】解：如圖作于E，于F，，，，，，平分，，，，在和中，，，∴，在和中，，，，故①正確，，定值，即四邊形的面積不變，故④正確，，為定值，故②正確，在旋轉(zhuǎn)過程中，是頂角不變的等腰三角形，∵的長度是變化的，∴的長度是變化的，故③錯(cuò)誤，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．10．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分，，，下列結(jié)論：①平分；②；③若，，則；④．其中正確的是（填寫序號(hào)）．【答案】①②③【分析】由角平分線的性質(zhì)可得：，由可得，由三角形內(nèi)角和為可知，由，等量代換得，即，故①正確；由“”可證≌，可得，由“”可證≌，可得，，可得，故②正確；由全等三角形的性質(zhì)可得，，故③正確；由三角形的面積公式可得，故④錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴平分，故①正確；∵，，，∴≌（），∴，，又∵，∴，又∵，∴≌（），∴，，∴，故②正確；∵，，∴，∴，故③正確；∵平分，∴點(diǎn)D到的距離相等，設(shè)為h，∵，，∴，故④不正確．故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材96頁的部分內(nèi)容：已知：如圖，是的平分線，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)．，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．求證：．

分析：圖中有兩個(gè)直角和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．(1)【問題解決】請根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明過程．(2)【類比探究】如圖②，是的平分線，是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、上，連接和，若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)P作于E，于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，是的平分線，，在和中，，，；（2）證明：如圖②，過點(diǎn)作于，于，

是的平分線，，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查的是角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·山西忻州·八年級(jí)?？计谥校┱堊屑?xì)閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：多種方法作角的平分線：數(shù)學(xué)興趣課上，老師讓同學(xué)們利用尺規(guī)作的平分線，同學(xué)們以小組為單位展開了討論．勤學(xué)小組展示了學(xué)習(xí)過的作法：如圖1，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；再分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線，則即為的平分線．勤學(xué)小組證明過程如下：連接，．由作圖可知，，又，．（依據(jù)）．平分．善思小組展示了他們的方法：如圖2，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；在上取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)．再以點(diǎn)為圓心，長為半徑作孤，兩孤交于點(diǎn)，作射線；點(diǎn)為圓心，長為半徑作孤交于點(diǎn)，作射線，則為的平分線．

任務(wù)：(1)填空：勤學(xué)小組證明過程中的“依據(jù)”是指______；(2)根據(jù)善思小組的作圖方法，證明：是的平分線；(3)在圖3中再設(shè)計(jì)一種不同的方法作的平分線．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)SSS(2)見詳解(3)見詳解【分析】（1）根據(jù)SSS證明三角形全等．（2）根據(jù)角平分線的定義證明即可．（3）在射線，上分別截取，，連接，交于點(diǎn)O，作射線即可．【詳解】（1）勤學(xué)小組證明過程中的“依據(jù)”是SSS．（2）由作圖可知，，，∴，∵，∴，∴平分．（3）做法不唯一，如圖所示，即為的平分線．

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形判斷及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．13．（2023·廣東惠州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平分．

(1)求證：．(2)求證：平分．(3)判斷之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得證；（2）根據(jù)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明；（3）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，，然后證明即可．【詳解】（1）證明：∵，平分．∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：，平分，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，又，，平分．（3）結(jié)論：．理由：，，同理可得，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，．(1)求證：．(2)求證：點(diǎn)C在的平分線上．

【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）延長至點(diǎn)G，使得，連接，利用四邊形內(nèi)角和，易證，得到，，再證明，得到，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作、，易證，得到，根據(jù)角平分線的判定定理，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，延長至點(diǎn)G，使得，連接，

四邊形的內(nèi)角和為，且，，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，

，，在和中，，，，點(diǎn)C在的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．15．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，為的中點(diǎn)，連接、，且平分，延長交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：是的平分線；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）只需要證明即可證明；（2）如圖所示，過點(diǎn)E作于H，利用角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，由此即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，∵，，∴，∵平分，，∴，∵，∴，又∵，∴是的平分線．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，平分，于點(diǎn)．求證：(1)；(2)．

【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得到，證明，得到，由，即可證明；（2）證明，得到，由，得到，再根據(jù)線段之間的關(guān)系證明，即．【詳解】（1）證明：如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，平分，，，，在和中，，，，，；

（2）證明：在和中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是