專題04 圓中的重要模型之圓中的翻折模型（解析版）

專題04圓中的重要模型之圓中的翻折模型知識儲備：1、翻折變換的性質：翻折前后，對應邊相等，對應角相等，對應點之間的連線被折痕垂直平分；2、圓的性質：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個圖形的對稱軸，圓心O和圓心G關于AB對稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關于AB對稱；4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個圓關于BC對稱，故圓心O、G也關于BC對稱。模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如圖，以圓O的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D，則CD=CA特別的，若將弧BC折疊后過圓心，則CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·福建莆田·九年級校考期末）如圖，在中，點在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經過的中點．若的半徑為5，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、OB、OD、CD，作于點F，作于點E，由垂徑定理可知于點D，由勾股定理可知OD的值，再利用折疊性質判斷AC=DC，利用等腰三角形性質得出，再證明四邊形ODFE為正方形，得到△CFB為等腰三角形，計算出弧AC所對圓周角度數，進而得弧AC所對圓周角度數，再代入弧長公式可得弧長．【詳解】解：連接AC、OB、OD、CD，作于點F，作于點E，由垂徑定理可知于點D，又CA、CD所對的圓周角為、，且，△CAD為等腰三角形又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=四邊形ODFE為正方形故△CFB為等腰三角形，所對的圓心角為故選A．【點睛】本題考查了弧長的計算、圓的折疊的性質、圓周角定理和垂徑定理，熟練掌握性質定理和弧長公式是解題的關鍵．例2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點為圓上一點，，將劣弧沿弦所在的直線翻折，交于點，則的度數等于(

)．A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據直徑所對的圓周角是直角求出，根據直角三角形兩銳角互余求出，再根據優(yōu)弧所對的圓周角為，得到，然后根據，計算求得的度數．【詳解】解：如圖，連接，是直徑，，，．根據翻折的性質，所對的圓周角為，優(yōu)弧所對的圓周角為，，，，故選:B．【點睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內接四邊形的性質．根據題意作出直徑所對的圓周角，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．難點是理解.例3．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，且，是上一點，將弧沿直線翻折，使翻折后的圓弧恰好經過圓心，則（1）的長是．（2）劣弧的長是．【答案】【分析】（1）首先利用垂徑定理以及“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”得出∠EAO為30°，由此進一步利用三角函數即可得出AC；（2）由（1）進一步得出∠COB=60°，然后進一步結合題意直接計算出劣弧BC的長即可.【詳解】如圖，作交于，交于，連接，，則：OA=OF=OC=OB，（1）由折疊的性質可知，，∴，∴在Rt△AOE中，30°，∵AB=4，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°∴在Rt△CAB中，cos∠CAB，∴，故答案為：；（2）由（1）可得∠CBO=90°?∠CAB=60°，又∵CO=OB，∴∠COB=60°，∴劣弧的長，故答案為：.【點睛】本題主要考查了圓的性質和弧的長度計算與三角函數的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.例4．（2022春·湖北荊州·九年級專題練習）如圖，為的直徑，將沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】連結AC，DC，過點C作CE⊥AB與E，點D關于BC的對稱點D′，連結CD′，BD，設AC=x，根據直徑時圓周角性質得出∠ACB=90°，利用三角函數求出，然后利用勾股定理構建方程，即，求出，，利用面積橋求出斜邊上高CE與AE，根據BC為折痕，點D與點D′對稱，得出∠ABC=∠D′BC，，可得AC=CD，利用等腰三角形性質求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC進行面積轉化求即即可．【詳解】解：連接AC，DC，過點C作CE⊥AB與E，點D關于BC的對稱點D′，連接CD′，BD′設AC=x，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，∴AE=，∵BC為折痕，點D與點D′對稱，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S陰影=S△ACD=．故選：C．【點睛】本題考查圓周角的性質綜合，折疊性質，等腰三角形三線合一性質，不規(guī)則圖形的面積，掌握圓周角的性質綜合，折疊性質，等腰三角形三線合一性質，不規(guī)則圖形的面積是解題關鍵．例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，點C，D分別是和上的點，且，將扇形沿翻折，翻折后的恰好經過點O．若，則圖中陰影部分的面積是．

【答案】【詳解】過點O作交于點E，連接OC，CE，由折疊的性質結合所作輔助線可得出為等邊三角形，即．再根據平行線的性質可求出，從而可求出，進而可求出，利用銳角三角函數可求出，最后根據，結合扇形面積公式和三角形面積公式求解即可．【分析】解：過點O作交于點E，連接，如圖，

∴，∴為等邊三角形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查折疊的性質，扇形的面積公式，平行線的性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形等知識．正確作出輔助線并利用數形結合的思想是解題關鍵．例6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經過AB的中點D，連接AC，CD．則下列結論中錯誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據折疊的性質可得AD＝CD；根據線段中點的定義可得AD＝BD；根據垂徑定理可作判斷③；延長OD交⊙O于E，連接CE，根據垂徑定理可作判斷④．【詳解】過D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；∵點D是AB的中點，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；∴，由折疊得：，∴；故③正確；延長OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了圓周角定理和垂徑定理．例7．（2022秋·山東九年級課時練習）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點D，再將沿BD翻折交BC于點E，連接DE．若AD＝2OD，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接AC，CD，OC，過點C作CH⊥AB于H．設OA＝3a，則AB＝6a．首先證明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AC，CD，OC，過點C作CH⊥AB于H．設OA＝3a，則AB＝6a．∵在同圓或等圓中，∠ABC所對的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故選：D．【點睛】本題考查圓周角定理，翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數解決問題．例8．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谀┤鐖D，是半徑為2的的弦，將沿著弦折疊，正好經過圓心O，點C是折疊后的上一動點，連接并延長交于點D，點E是的中點，連接，．則的最小值為．【答案】/【分析】首先證明是等邊三角形，再證明，求出，可得結論．【詳解】解：連接，作．連接．由題知：沿著弦折疊，正好經過圓心O，∴，∴，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∵E是中點，∴，又∵，∴F是中點，∴，即，E點在以為直徑的圓上運動．所以，當E、O、F在同一直線時，長度最小，此時，，∵的半徑是2，即，∴（勾股定理），∴．故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．例9．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考三模）綜合實踐：在數學綜合實踐課上，第一小組同學展示了如下的操作及問題：如圖1，同學們先畫出半徑為的，將圓形紙片沿著弦折疊，使對折后劣弧恰好過圓心，同學們用尺子度量折痕的長約為，并且同學們用學過的知識驗證度量的結果是正確的．驗證如下：如圖1，過點作于點，并延長交虛線劣弧于點，∴，由折疊知，，連接，在中，，根據勾股定理得，，∴，通過計算：，同學們用尺子度量折痕的長約為是正確的．請同學們進一步研究以下問題：(1)如圖2，的半徑為，為的弦，，垂足為點，劣弧沿弦折疊后經過的中點，求弦的長（結果保留根號）；(2)如圖3，在中劣弧沿弦折疊后與直徑相交于點，若，，求弦的長（結果保留根號）．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，延長交于點，求出，再根據勾股定理可得出結論；（2）作點關于弦的對稱點，連接并延長與的延長線相交于，連接，先證明，可得，，再證明，根據相似三角形的性質求出，利用勾股定理可得出結論．【詳解】（1）解：連接，延長交于點，由題意可知，∵是的中點，∴，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：作點關于弦的對稱點，連接并延長與的延長線相交于，連接，，，，有折疊性質可知：，，，∴，∴，，∴，．∵四邊形是圓內接四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，即．則，又∵，∴，∴．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，構造出直角三角形是解本題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，E是上一點，將沿BC翻折后E點的對稱點F落在OA中點處，則BC的長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF?OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解決問題；【詳解】解：連接OC．由翻折不變性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF?OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故選D．【點睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．2．（2023·廣東深圳·校聯考模擬預測）如圖，已知內接于，，將弧沿弦翻折后恰好經過弦的中點，則的半徑為(

)

A． B． C．5 D．【答案】B【分析】連接，作于，連接并延長交于，連接，可由推出，進而求得，，，，，再在中列方程求得．【詳解】解：如圖，

連接，作于，連接并延長交于，連接，，，，，在中，，，，在中，，，，根據對稱性可得，，，在中，，，，設，

在中，由勾股定理得，，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱性質，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，得出3．（2023·四川南充·九年級?？茧A段練習）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，將△ABC繞點C順時針旋轉至△EDC，使點E在⊙O上，再將△EDC沿CD翻折，點E恰好與點A重合，已知∠BAC=36°，則∠DCE的度數是（

）A．24 B．27 C．30 D．33【答案】B【分析】延長CD交⊙O于點F，連接AF，則由CD經過圓心O可得∠CAF＝90°，先由翻折得到∠BCA＝∠DCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，然后得到∠FAD＝54°，再由圓周角定理得到AB＝AF，進而得到AF＝AD，也就有∠ADF＝∠AFD＝63°，再由三角形的外角性質得到∠ACD的大小，最后由旋轉的性質得到∠DCE的大小．【詳解】解：如圖，延長CD交⊙O于點F，連接AF，由題可知，,垂直平分,CD經過圓心O，∴∠CAF＝90°，由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，∴∠FAD＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，∴AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠DAF）＝（180°﹣54°）＝63°，∵∠ADF是△ACD的外角，∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，∴∠BCA＝27°，由旋轉的性質得，∠DCE＝∠BCA＝27°，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、旋轉的性質、翻折的性質、三角形的外角性質，解題的關鍵是熟知“直徑所對的圓周角為直角”求得∠DAF的大?。?．（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為6，將劣弧沿弦翻折，恰好經過圓心，點為優(yōu)弧上的一個動點，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過點C作CT⊥AB于點T，過點O作OH⊥AB于點H，交⊙O于點K，連接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得結論．【詳解】解：如圖，過點C作CT⊥AB于點T，過點O作OH⊥AB于點H，交⊙O于點K，連接AO，AK．由題意AB垂直平分線段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA?sin60°＝6×＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝6，∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值為9，∴△ABC的面積的最大值為，故選：A．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關鍵是求出CT的最大值，屬于中考?？碱}型．5．（2023·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）⊙O的直徑AB長為10，弦CD⊥AB于E，將⊙O沿CD翻折，翻折后點B的對應點為點B′，若AB′＝6，CB′的長為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分點B'在線段AB上，點B'在BA延長線上兩種情況討論，根據勾股定理可求CB'的長度．【詳解】解：①如圖：當點B'在線段AB上，連接OC，∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝4，∴BE＝B'E＝2，B'O＝1，∴OE＝3，∵CD⊥ABCE＝，B'C＝；②若點B'在BA的延長線上，連接OC，∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝16，∴BE＝B'E＝8，B'O＝11，∴OE＝3，∵CD⊥AB,CE＝，B'C＝；綜上所述B'C＝2或故選：B．【點睛】本題考查了翻折問題，圓的有關概念和性質，勾股定理，利用分類思想解決問題是本題的關鍵．6．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D,AB為O直徑,點C為圓上一點,將劣弧AC?沿弦AC翻折交AB于點D,連接CD,若點D與圓心O不重合,∠BAC=20°,則∠DCA的度數是()A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折及圓內接四邊形的性質得到所對的圓周角，然后根據三角形內角和，計算即可得解．【詳解】如圖，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，根據翻折的性質，所對的圓周角為∠B,所對的圓周角為∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°－∠B=110°，∴∠DCA=180°－∠BAC－∠ADC=180°－20°－110°=50°.故選C.【點睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，難度適中，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，的半徑，弦，將沿向上翻折，與翻折后的弧相切于點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關于的對稱點，連接，根據圓的對稱性與勾股定理即可求解.【詳解】解析：作點關于的對稱點，連接，則，設垂足為點，，中由勾股定理得.故選C.【點睛】此題主要考查垂徑定理與切線的性質，解題的關鍵是根據圓的對稱性解題.8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點的直線折疊，使點恰好落在上的點處，折痕為，則陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由折疊的性質可得，從而得到為等邊三角形，再求出，從而得出，進行得出，最后由與面積相等及，進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

，根據折疊的性質，，，為等邊三角形，，，，，，與面積相等，，故選：B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、折疊的性質、扇形面積的計算—求不規(guī)則圖形的面積，添加適當的輔助線，得到是解題的關鍵．9．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，AB是的直徑，點C是上一點，將劣弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，連接CD，若，則下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連，由AB是的直徑，可知，由折疊，和所在的圓為等圓，可推得，再利用正弦定義求解即可．【詳解】解：連，

∵是的直徑，∴，由折疊，和所在的圓為等圓，又∵，∴和所對的圓周角相等，∴，∴，在中，，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理和圓心角、弦、弧之間的關系以及正弦、余弦定義，解答關鍵是通過折疊找到公共的圓周角推出等弦．10．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，為的弦，點為上的一點，將沿弦翻折，使點與圓心重合，則陰影部分的面積為．（結果保留與根號）

【答案】【分析】根據折疊的性質得出是等邊三角形，則，，根據陰影部分面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設交于點

∵將沿弦翻折，使點與圓心重合，∴，又∴，∴是等邊三角形，∴，，∴,∴陰影部分面積故答案為：．11．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點在上從點向點運動，將沿弦，翻折，翻折后的中點為，設點，間的距離為，點，間的距離為，圖②是點運動時隨變化的關系圖象，則的長為．

【答案】8【分析】由圖可知，當時，，此時，，點與點重合，由此即可解題．【詳解】解：由圖可知，當時，，此時，，點與點重合，如圖，

取的中點，連接、，，根據對稱性，得，，，是等邊三角形，，，為直徑，，在中，，，，長為．故答案為：．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象、圓周角定理及含角的直角三角形的性質，解答本題的關鍵是根據圖2得到時，點與點重合，此題難度一般．12．（2023·四川成都·校考三模）如圖，中，，斜邊，以邊為直徑在另一側作半圓，點為半圓上一點，將半圓沿所在直線翻折，翻折后的與邊相切于點，與邊相交于點，則的長為．

【答案】【分析】作點O關于的對稱點，連接，，作于點F，證明四邊形為正方形，得，即，作于G，利用垂徑定理、勾股定理、含30度角的三角形的性質即可求解．【詳解】解：如圖，作點O關于的對稱點，連接，，

∵中，，斜邊，∴，∴，，過A作于點F，則，∴，∴，且，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴，作于G，∴，∴，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查圓的切線的性質，垂徑定理，直角三角形的性質，正方形的判定和性質，解題的關鍵是掌握圓的切線的性質．13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點在圓上．將沿翻折與交于點．若的度數為，則．

【答案】【分析】如圖：作D關于的對稱點E，連接,則，然后再根據的度數為可知，然后再根據圓周角定理、鄰補角性質可得，最后運用弧長公式即可解答．【詳解】解：如圖：作D關于的對稱點E，連接,則，∵的度數為，∴，∴∴，∴，∴的長度為，∴的長度為．故答案為．

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、弧長公式等知識點，求得的度數是解答本題的關鍵．14．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形中，，將扇形翻折，使點B與圓心O重合，為折痕．若，則圖中陰影部分的面積是．（結果保留）【答案】【分析】如圖，連接，由題意知，，由，可得，，則，根據，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了余弦，翻折的性質，扇形的面積．正確的表示陰影部分面積是解題的關鍵．15．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，是半圓上一點，是直徑，將弧沿翻折交于點，再將弧沿翻折交于點，若是弧的中點，，則陰影部分面積為．【答案】/【分析】首先添加輔助線（見詳解），利用圓周角定理證明線段，設，則，構建方程求出，再通過解直角三角形求出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，，過點作于，過點作于．，，，，，，，是的中點，，，，設，則，，是直徑，，，，，，，，，在上取一點，使得，連接，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，弓形的面積弓形的面積，，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓周角定理、等腰直角三角形判定和性質、解直角三角形、扇形的面積等知識，學會添加常用輔助線，利用特殊角解決問題是解答本題的關鍵．16．（2023·河北衡水·校聯考模擬預測）如圖，在半徑為6的扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F，設所在的圓的圓心為，且．(1)求的大小及的長；(2)請在圖中畫出線段，用其長度表示劣弧上的點到弦的最大距離（不說理由），并求弦的長．【答案】(1)，(2)見解析；【分析】（1）連接、、OD，由對稱性可知，即，根據與，相切于點E，F得，，則，，在四邊形中，，根據，，得平分，即；（2）過O作交于P，延長與交于點Q，由折疊可知：垂直平分，則是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點到弦的最大距離，則O、、P三點共線，在中，根據銳角三角函數得，由對稱性可知，在中，根據勾股定理得，即可得．【詳解】（1）解：如圖所示，連接、、OD，由對稱性可知，即，∵與，相切于點E，F，∴，，∴，，在四邊形中，；∵，，∴平分，即，在中，；（2）解：如圖中的即為所求，作法：過O作交于P，延長與交于點Q，理由：由折疊可知：垂直平分，∴是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點到弦的最大距離，則O、、P三點共線，在中，，由對稱性可知，在中，，所以．【點睛】本題考查了對稱性，切線的性質，角平分線，銳角三角函數，勾股定理，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．17．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）數學興趣小組在探究圓中圖形的性質時，用到了半徑是6的若干圓形紙片．(1)如圖1，一張圓形紙片，圓心為，圓上有一點A，折疊圓形紙片使得A點落在圓心上，折痕交于、兩點，求的度數．(2)把一張圓形紙片對折再對折后得到如圖扇形，點是弧上一動點．①如圖2，當點是弧中點時，在線段、上各找一點、，使得是等邊三角形．試用尺規(guī)作出，不證明，但簡要說明作法，保留作圖痕跡．②在①的條件下，取的內心，則___________．③如圖3，當在弧上三等分點S、之間（包括S、兩點）運動時，經過興趣小組探究都可以作出一個是等邊三角形，取的內心，請問的長度是否變化．如變化，請說明理由；如不變，請求出的長度．【答案】(1)(2)①圖見解析，說明見解析；②；③不變，【分析】（1）根據折疊得出，證明是等邊三角形，，同理得出，即可得出的度數；（2）①作等邊，作垂直平分線交于點，以為圓心為半徑作圓交于點，連接、、即可；②設，則，，，求出，根據，得出，求出x，即可得出答案；③取中點，連接，，，作交于點，設，，則，，，根據勾股定理得出，最后在中，根據勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：由折疊可得，，，是等邊三角形，，同理：，；（2）解：①作等邊，作垂直平分線交于點，以為圓心為半徑作圓交于點，連接、、得；根據作圖可知，，根據折疊可知，，∵點為的中點，∴，∵，∴，∴，，∵為等邊三角形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴為等邊三角形；②根據解析①可知，為等邊三角形，，∴內心的內心N在上，，，設，則，，，∵，∴，∵，，，∴，∴，解得：，∴；故答案為：．③不變，理由如下：如圖，取中點，連接，，，作交于點，設，，則，，，在中，，為的中點，，在中，，在中，，即有化簡得，在中，；即，的值不變．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，直角三角形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定和性質．18．（2022秋·河北承德·九年級?？计谀┤鐖D，的直徑，是弦，沿折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．(1)如圖1，當與相切于時．①為畫出所在圓的圓心，請選擇你認為正確的答案．甲：在上找一點，連、并分別作它們的中垂線，交點為；乙：分別以、為圓心，以為半徑作弧，除外兩弧另一個交點即為圓心．A．甲正確

B．乙正確

C．甲乙都正確

D．都不正確②選擇合適的方法做出圓心，求的長；直接寫出此時的度數．(2)如圖2，當經過圓心時，求的長；(3)如圖3，當覆蓋圓心且與直徑交于點，若，直接寫出的度數．【答案】(1)①C②，(2)(3)【分析】（1）①確定圓心最常見思路為不在同一直線的三點共圓，利用其外心可確定圓心；②連接、，易證得四邊形為菱形，加上，所以四邊形為正方形，根據正方形的性質得可得結果；（2）作于，如圖，根據折疊的性質得，由，根據垂徑定理得，再在中，利用勾股定理計算出，進而容易得出；（3）連接，作關于的對稱軸點在上，并連接、，，根據圓周角定理得到，求得，根據圓內接四邊形的性質得到，再由翻折可求得，于是得到結論．【詳解】（1）①甲：在上找一點，連、并分別做它們的中垂線，即做的外心，故甲正確；乙：由切線長定理可知，為切線，且，故也為的切線，易知為正方形（證明見②），故乙正確；故選：C；②如圖，連接、，∵，∴四邊形為菱形，而，∴四邊形為正方形，∴，；（2）作于，交劣弧于，如圖，∵沿折疊劣弧，記折疊后的劣弧為，即∴，∵，∴，在中，，，∴，∴；（3）連接，作關于的對稱軸點在上，并連接、，如圖，∵是的直徑，∴，又∵，∴，由圓內接四邊形的性質得到，可得：，∴【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算；理解折疊的性質和正方形的判定與性質，作出輔助線是解答此題的關鍵．19．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）如圖1，扇形中，，，點在半徑上，連接．

(1)把沿翻折，點的對稱點為點．①當點剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點落在扇