專題01 等腰三角形中的分類討論模型（解析版）

專題01等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時(shí)要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時(shí)要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）例1．（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L分別是，，若，滿足，那么它的周長是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【分析】由已知等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)、分別作為等腰三角形的腰，分類求解．【詳解】解：，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)或作為腰，分類求解．例2．（2023春·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的周長為，一邊長為，則其它兩邊長是（

）A．， B．， C．，或， D．，【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和構(gòu)成三角形的條件即可得．【詳解】解：∵等腰三角形的周長為，一邊長為，∴①當(dāng)?shù)走呴L為時(shí)，其它兩邊長是，②當(dāng)腰長為時(shí)，其它兩邊長是或，，此時(shí)三邊不能構(gòu)成三角形，綜上，其它兩邊長是，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形，構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．例3．（2023·四川廣安·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€(gè)外角為，則它的底角為（）A． B． C．或 D．以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一個(gè)外角等于，則等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論．【詳解】∵等腰三角形的一個(gè)外角等于，∴等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，①當(dāng)為頂角時(shí)，其他兩角都為、，②當(dāng)為底角時(shí)，其他兩角為、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進(jìn)行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關(guān)的邊角問題時(shí)，要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯(cuò)．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谀┤舻妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是．【答案】或/或【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出．【詳解】解：在等腰中，，為腰上的高，，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，為高，，，，；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為或．故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．例5．（2023·山東濱州·八年級?？计谀┪覀兎Q網(wǎng)格線的交點(diǎn)為格點(diǎn)．如圖，在6行列的長方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角底邊；②為等腰直角其中的一條腰．【詳解】如圖：分情況討論：①為等腰直角底邊時(shí)，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有2個(gè)；②為等腰直角其中的一條腰時(shí)，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有3個(gè)．故共有5個(gè)點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例6．（2023·北京·八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當(dāng)時(shí)，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例7．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知在中，且為最小的內(nèi)角，過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形，則【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分情況討論即可求解．【詳解】解：如圖，若BC=CD，AD=BD，由題意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°，∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°，∵∠ADB=180°-82°=98°，則在BC=CD的前提下只有AD=BD；如圖，若CD=BD，AB=BD，由題意可得：∠DBC=∠C=16°，∴∠ADB=2∠C=32°，∴∠A=∠ADB=32°，∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，符合最小的內(nèi)角為∠C=16°，如圖，若BD=CD，AB=AD，則∠C=∠DBC=16°，∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°，∴∠A=180°-2×32°=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°；如圖，若BD=CD，AD=BD，∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°，∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°；若BD=BC，則∠C=∠CDB=16°，∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，則只能滿足AD=BD，∴∠A=∠CDB=8°，即∠A＜∠C，不滿足；綜上：∠ABC的度數(shù)為123°或132°或90°或48°．故答案為：123°或132°或90°或48°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，分情況討論．例8．（2023·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或或或【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三種情況求解即可．【詳解】∵為等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖①，∵，∴，∵，∴或；②當(dāng)時(shí)，如圖②作于C點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，∴．③當(dāng)時(shí)，如圖③，作，∴，∴．綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或，故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論的思想解決問題是解答的關(guān)鍵．例9．（2023春·吉林長春·八年級?？计谀┰诘冗呏校?，動點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)在射線上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒．(1)用含的代數(shù)式表示線段的長；(2)連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)若在線段上存在一點(diǎn)，且．在點(diǎn)運(yùn)動的同時(shí)有一動點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，立即以原速度返回至終點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出的值．

【答案】(1)(2)或(3)或．【分析】（1）根據(jù)題意分情況討論，列出代數(shù)式，即可求解；（2）根據(jù)題意，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，列出一元一次方程，解方程即可求解；（3）依題意，得出為等腰三角形，分點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)以及從點(diǎn)返回，兩種情況分析，即可求解．【詳解】（1）解：∵，動點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)在射線上運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒．∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，（2）解：如圖所示，當(dāng)在線段上時(shí)，∵是等邊三角形，∴，，當(dāng)時(shí)，∴∴解得：

當(dāng)在的延長線上時(shí)，∵，∴∴∴∴解得：（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，在上運(yùn)動時(shí)，

∵，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則為等邊三角形，∴，∵，．∴點(diǎn)在上運(yùn)動的時(shí)間為：，在上運(yùn)動的時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，，∴解得：；當(dāng)，即點(diǎn)在的延長線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)從D運(yùn)動回點(diǎn)C當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)返回時(shí)，，；∴解得：；綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，一元一次方程的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．例10．（2022春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過的直線交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)，直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，若的面積為

(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)的長為，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或【分析】（1）據(jù)直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，設(shè)直線解析式為，把的坐標(biāo)代入求得的值，從而求得的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式，先根據(jù)的坐標(biāo)求出直線的解析式，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線的解析式，求出的縱坐標(biāo)，將的縱坐標(biāo)代入直線的解析式就可以求出的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中的值，就可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，∴設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過，，，∴直線的解析式為，，，的面積為，，，，，直線的解析式為（2）解：設(shè)直線的解析式為，，∴，解得．∴直線的解析式為；∵點(diǎn)P在上，且橫坐標(biāo)為m，，軸，∴E的縱坐標(biāo)為，代入得，，解得，，的長；即，；（3）解：在x軸上存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖①，有，，，，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，如圖②，有，的長等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，，，解得：，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖③，有，．，．作，點(diǎn)R為垂足，，，．同理，．∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，，∴，解得：，，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，．綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·陜西渭南·八年級?？计谥校┤舻妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為，則它的底角為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析，注意分類討論思想的運(yùn)用．【詳解】解：①，，，

，；②，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩個(gè)定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，若點(diǎn)C在x軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分為、，三種情況畫圖判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)時(shí)，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，符合條件的點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)C在的垂直平分線上時(shí)，符合條件的點(diǎn)有一個(gè)．故符合條件的點(diǎn)C共有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知線段的端點(diǎn)在直線上（與不垂直）請?jiān)谥本€上另找一點(diǎn)，使是等腰三角形，這樣的點(diǎn)能找（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】直線可為等腰三角形的底邊，也可為腰長，所以應(yīng)分開來討論．【詳解】解：當(dāng)為腰長時(shí)，存在個(gè)角等腰三角形；如圖同理當(dāng)為底邊時(shí)，有個(gè)．如圖所以題中共有個(gè)點(diǎn)使其為等腰三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是直線可為等腰三角形的底邊，也可為腰長解答．4．（2023·云南昭通·八年級校聯(lián)考期末）已知一個(gè)等腰三角形一邊長為6，周長為20，則另兩邊長分別為（

）A．6，8 B．7，7 C．6，8或7，7 D．以上都不對【答案】C【分析】分兩種情況討論：若腰長為6；若底邊長為6，即可求解．【詳解】解：若腰長為6，則底邊長為，此時(shí)另兩邊長分別為6，8；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；若底邊長為6，則腰長為，此時(shí)另兩邊長分別為7，7；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；綜上所述，另兩邊長分別為6，8或7，7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)，若是等腰三角形，則的面積不可能是（

）

A．40 B．48 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知分三種情況，然后分類求出的面積即可．【詳解】解：，，，，是等腰三角形，存在三種情況，當(dāng)時(shí)，的面積是：；當(dāng)時(shí)，，的面積是：；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，，即，解得，，的面積是：；由上可得，的面積是40或48或，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．6．（2023春·湖北襄陽·九年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角為，則等腰三角形的底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】等腰三角形分銳角和鈍角兩種情況，求出每種情況的頂角的度數(shù)，再利用等邊對等角的性質(zhì)（兩底角相等）和三角形的內(nèi)角和定理，即可求出底角的度數(shù)．【詳解】如圖當(dāng)是銳角三角形時(shí)，于D，則，

∵，∴．∵，∴；如圖當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，于H，則，

∵，∴，∴．∵，∴．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．7．（2023秋·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）等腰三角形一邊上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為【答案】或【分析】分為“高在三角形內(nèi)部”和“高在三角形外部”兩種情況討論．【詳解】解：如圖1：∵，∴；如圖2：∵，∴，∴故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角的內(nèi)角和定理，及分類討論思想，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，等于．

【答案】或或【分析】根據(jù)為等腰三角形進(jìn)行分類討論，分別求出的長，即可求出t．【詳解】解：在中，，由勾股定理得：（cm），由題意可知共三種情況，如下：①時(shí)，，則，∴，解得；

②當(dāng)時(shí)，，所以，

③當(dāng)時(shí)，即，所以，綜上所述，當(dāng)t的值為或或；故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分類討論思想，能夠正確地分類是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023·云南·八年級校聯(lián)考期中）等腰三角形有一內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為．【答案】或【分析】由于不明確的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分的角是頂角和底角兩種情況討論．【詳解】分兩種情況：當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r(shí)，底角的度數(shù)；當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r(shí)，其底角為，故它的底角度數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解答此題時(shí)要注意的角是頂角和底角兩種情況，不要漏解，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．10．（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一張長方形紙片，已知，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（），則等腰三角形的底邊長是．

【答案】或或5【分析】分情況討論：①當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，得出底邊即可；②當(dāng)時(shí)，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等邊即可；③當(dāng)時(shí)，底邊；即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：

①當(dāng)時(shí)，∵，∴是等腰直角三角形，∴底邊；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴底邊；③當(dāng)時(shí)，底邊；綜上所述：等腰三角形的底邊長為或或5；故答案為：或或5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．11．（2023春·湖南株洲·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）若、為等腰三角形兩邊，且滿足，則等腰三角形周長是．【答案】11或13【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義求出、的值，再根據(jù)5是腰長和底邊長兩種情況討論求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，解得，，（1）若5是腰長，則三角形的三邊長為：5、5、3，能組成三角形，則周長為；（2）若5是底邊長，則三角形的三邊長為：3、3、5，能組成三角形，周長為；∴等腰三角形周長是11或13，故答案為：11或13．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；解題主要利用了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分情況討論求解時(shí)要注意利用三角形的三邊關(guān)系對三邊能否組成三角形做出判斷．根據(jù)題意列出方程式正確解答本題的關(guān)鍵．12．（2023春·甘肅酒泉·八年級校聯(lián)考期末）如圖，中，，，，動點(diǎn)從出發(fā)，以的速度沿移動到，則點(diǎn)出發(fā)秒時(shí)，是等腰三角形．

【答案】4或【分析】當(dāng)為等腰三角形時(shí)應(yīng)分當(dāng)A是頂角頂點(diǎn)，當(dāng)B是頂角頂點(diǎn)，當(dāng)P是頂角的頂點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，從而求解．【詳解】解：如圖，，，，∴，

當(dāng)時(shí)，，如圖，當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，

∴，∴，∴，∴，而，綜上：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為4或．故答案為：4或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）在銳角中，，將沿翻折得到，直線與直線相交于點(diǎn)E，若是等腰三角形，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分三種情形：當(dāng)，點(diǎn)E在和的延長線上，當(dāng)，點(diǎn)E在和的延長線上，分別畫出圖形，分別求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)，點(diǎn)E在和的延長線上，

∵，∴，由折疊得：，，設(shè)，則，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理得：，∴，即，∴，∵，∴此時(shí)為銳角三角形，符合題意；②如圖，當(dāng)，點(diǎn)E在和的延長線上，

∵，∴，由折疊得：，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴此時(shí)為銳角三角形，符合題意；綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．14．（2023春·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“k倍邊等腰三角形”如果一個(gè)等腰三角形是“3倍邊等腰三角形”，且周長為，那么該等腰三角形的底邊長為．【答案】5【分析】設(shè)該等腰三角形的較短邊長為，則較長邊長為，分①為腰；②為腰兩種情況討論即可．【詳解】解：設(shè)該等腰三角形的較短邊長為，則較長邊長為.當(dāng)為腰時(shí)，，不能組成三角形；②當(dāng)為腰時(shí)，能夠組成三角形，，，∴該等腰三角形底邊長為．故填：5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？计谥校┰谥苯亲鴺?biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)P是y軸正半軸上的一點(diǎn)，且△AOP為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】有三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于D，求出OA即可；②以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，根據(jù)勾股定理求出OC即可．【詳解】有三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于D，則OA＝OD＝；∴D（0，）；②以A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交y軸于P，OP＝2×yA=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分線交y軸于C，則AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC＝，∴OC＝，∴C（0，）；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查對線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．16．（2023·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）小剛準(zhǔn)備用一段長50米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的場地，用于飼養(yǎng)雞，已知第一條邊長為米，由于條件限制第二條邊長只能比第一條邊長的3倍少10米．(1)用含的式子表示第三條邊長；(2)第一條邊長能否為8米？為什么？(3)若該三角形是等腰三角形，求的值．【答案】(1)第三條邊長為米(2)第一條邊長不能為8米，理由見解析(3)10【分析】（1）先表示出第二條邊長，再根據(jù)總長度為50米表示出第三條邊長即可；（2）根據(jù)（1）所求，求出第二條邊長和第三條邊長，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行求解即可；（3）分三種情況，根據(jù)等腰三角形的定義建立方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，第二條邊長為米，∴第三條邊長為米．（2）解：第一條邊長不能為8米，理由如下：當(dāng)時(shí)，三邊長分別為8米，米，米，∵，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為8米．（3）解：當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)三條邊的長度依次為5米、5米、40米，不符合三角形三邊關(guān)系；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)三條邊的長度依次為12米、26米、12米，不符合三角形三邊關(guān)系；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)三條邊的長度依次為10米、20米、20米，符合三角形三邊關(guān)系．綜上所述，若該三角形是等腰三角形，則的值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的定義，列代數(shù)式，熟知三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·江西南昌·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為．連接．

(1)當(dāng)秒時(shí)，求的長度（結(jié)果保留根號）；(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；【答案】(1)的長度為；(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為或5或16；【分析】（1）根據(jù)條件求出，在中，用勾股定理即可求出；（2）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；分別求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，∴，∵，在中，，∴的長度為；（2）解：在中，，，∴，若，如圖，則，即，解得：；

若，如圖，則在中，，解得：；若，如圖，則，解得：∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為或5或16；【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是動點(diǎn)運(yùn)動到不同位置形成不同的等腰三角形．18．（2023春·山西運(yùn)城·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)A在第一象限，且是等邊三角形．點(diǎn)D的坐標(biāo)為，E是邊上一動點(diǎn)，連接，以為邊在右側(cè)作等邊，連接．

(1)求出A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，與全等嗎？若全等，請給予證明；若不全等，請說明理由；(3)當(dāng)以為腰的是等腰三角形時(shí)，的長為_________．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)6或【分析】（1）如圖1中，過點(diǎn)作于點(diǎn)．解直角三角形求出，，可得結(jié)論；（2）如圖2中，結(jié)論：．根據(jù)證明三角形全等即可；（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．如圖中，當(dāng)時(shí)，，分別求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，是等邊三角形，，，，，；（2）解：，證明：如圖2，

理由：是等邊三角形，是等邊三角形，，，，，在和中，，；（3）解：如圖中，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴，∵C的坐標(biāo)分別為，∴，∴，，，，，，，，，∵是等邊三角形∴，∴，∴，；如圖中，當(dāng)時(shí)，，

，，綜上所述，滿足條件的的值為6或．【點(diǎn)睛】本題屬三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．19．（2023春·福建寧德·八年級校聯(lián)考期中）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中，．求的度數(shù)．【解決問題】（3）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)等邊三角形”，求的長．

【答案】（1）不是（2）的度數(shù)為或（3）的長為或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得三角形的內(nèi)角，再根據(jù)“準(zhǔn)等邊三角形”即可求解；（2）分兩種情況求解，或，分別求解即可；（3）是“準(zhǔn)等邊三角形”，分兩種情況，或，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵等腰三角形的頂角為，∴等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)分別為，，∴頂角為的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”；（2）∵是“準(zhǔn)等邊三角形”，，，∴分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴°，∴；綜上所述：的度數(shù)為或；（3）∵，，，∴，，∵是“準(zhǔn)等邊三角形”，∴分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作，垂足為E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上所述：的長為或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，利用分類討論的思想求解問題．20．（2023秋·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：用一條直線分割一個(gè)三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就稱這條直線為該三角形的一條等腰分割線．如圖，中，．

(1)如圖（1），若O為的中點(diǎn)，則直線_____的等腰分割線．（填“是”或“不是”）(2)如圖（2）已知的一條等腰分割線交邊于點(diǎn)P，且，若，請求出的度數(shù)．(3)如圖（3），若，點(diǎn)M是邊上的一點(diǎn)，如果直線是的等腰分割線，這樣的點(diǎn)M共有______個(gè)．【答案】(1)是(2)(3)4【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得兩個(gè)等腰三角形；（2）由中，，且，，可求出、度數(shù)，即可得到答案；（3）分情況進(jìn)行討論：先分是等腰三角形時(shí)，分三種情況討論；再分是等腰三角形時(shí)，同理分三種情況討論．【詳解】（1）解：，為中點(diǎn)，在中，，和都是等腰三角形．則直線是的等腰分割線；故答案為：是．（2）解：中，，且，，，，；（3）解：這樣的點(diǎn)M共有4個(gè)，理由如下：中，,，，①若為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)、為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，M不在邊上，舍去；②若為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，，與①中第二種情況是同一點(diǎn)，綜上，這樣的點(diǎn)M共有4個(gè)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了復(fù)雜作圖和等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決此類題目需要熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．解題的關(guān)鍵是正確理解題意，了解等腰分割線的意義．21．（2023秋·吉林長春·八年級?？奸_學(xué)考試）在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交射線于點(diǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：．(2)若，．①如圖②，當(dāng)時(shí)，x的值為___________；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出x的值．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，22.5或45【分析】（1）由同角的余角相等可得，由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別求出，，根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；②分三種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，，∴，由翻折可知，，∴，∴；（2）解：①∵，，∴，，∵，，∴，∵，∴，由翻折可知，；故答案為：；②∵，，，∴當(dāng)時(shí)，即，解得，即的值為22.5，當(dāng)時(shí)，，解得，∵，不合題意，故舍去；當(dāng)，，解得，綜上可知，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值為22.5或45．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)