專題4.3角與角的比較（舉一反三）（北師大版）

專題4.3角與角的比較【九大題型】【北師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1角的相關(guān)概念辨析】 1【題型2角的單位換算】 4【題型3鐘表上有關(guān)角的計算】 7【題型4與方向角有關(guān)的計算】 9【題型5角的計數(shù)問題】 13【題型6角的比較】 17【題型7與角平分線相關(guān)的角的運算】 21【題型8與角n等分線相關(guān)的角的運算】 27【題型9在三角板中的角的運算】 34【知識點1角的概念及其表示方法】定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．定義二：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．表示方法A圖例A記法適用范圍用三個大寫字母表示BOBOAOB或BOA任何情況下都適應(yīng).表示端點的字母必須寫在中間.用一個大寫字母表示AAA以這個點為頂點的角只有一個.用數(shù)字表示111任何情況下都適用.但必須在靠近頂點處加上弧線表示角的范圍，并注上數(shù)字或希臘字母.用希臘字母表示【題型1角的相關(guān)概念辨析】【例1】完成以下各題．(1)寫出圖中能用一個字母表示的角；(2)寫出圖中以A為頂點的角；(3)圖中共有幾個角？【答案】(1)能用一個字母表示的角有2個：∠B，∠D(2)以A為頂點的角有6個：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE(3)圖中所有的角有11個：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B【分析】（1）根據(jù)角的概念和角的表示方法，依題意求得答案；（2）根據(jù)角的概念和角的表示方法，依題意求得答案；（3）根據(jù)角的概念即可得到答案．【詳解】（1）能用一個字母表示的角有2個：∠B，∠D；（2）以A為頂點的角有6個：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE；（3）圖中所有的角有11個：∠BAD，∠BAC，∠BAE，∠DAC，∠CAE，∠DAE，∠D，∠ACD，∠ACB，∠BCD，∠B．【點睛】本題主要考查了角的概念．從一點引出兩條射線組成的圖形就叫做角．【變式11】下列說法中，正確的是（

）A．兩條射線組成的圖形叫做角B．有公共端點的兩條線段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D．角的邊越長，角越大【答案】C【分析】根據(jù)角的動態(tài)定義和角的靜態(tài)定義解答．【詳解】解：A、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；B、有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故此選項不符合題意；C、角可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，故此選項符合題意；；D、角度的大小與邊的長短無關(guān)，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】此題考查了角的動態(tài)定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握角的動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角．所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊．角的靜態(tài)定義：具有公共端點的兩條不重合的射線組成的圖形叫做角．這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊．【變式12】如圖所示，圖中可以用一個字母表示的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)角的概念和角的表示方法，依題意求得答案．【詳解】解：能用一個字母表示的角有2個：∠A，∠C；故選B．【點睛】本題考查了角的概念，能數(shù)出符合的所有角是解題的關(guān)鍵．【變式13】如圖，

(1)用不同的方法表示圖中以D為頂點的角；(2)寫出以B為頂點的角與邊；(3)畫出DA′，使【答案】(1)∠ADB或∠1或∠D(2)角為∠CBD（或∠B或∠2），邊是BD，BC(3)圖見解析，邊是DA，D【分析】（1）根據(jù)角的表示方法即可得到答案；（2）根據(jù)角的表示方法和邊的定義即可得到答案；（3）根據(jù)平角的定義和邊的定義即可得到答案．【詳解】（1）解：由圖可得：用三個字母表示以D為頂點的角為：∠ADB，用一個字母表示以D為頂點的角為：∠D，用數(shù)字表示以D為頂點的角為：∠1，故答案為：∠ADB或∠1或∠D．（2）解：解：由圖可得：用三個字母表示以B為頂點的角為：∠CBD，用一個字母表示以B為頂點的角為：∠B，用數(shù)字表示以B為頂點的角為：∠2，以B為頂點邊是BD，BC，故答案為：角為∠CBD（或∠B或∠2），邊是BD，BC．（3）解：如圖，DA′是射線

則∠ADA′成平角，∠ADA′的邊是【點睛】本題考查角的概念，熟練掌握角的概念與表示方法是解題的關(guān)鍵．【題型2角的單位換算】【例2】關(guān)于度、分、秒的換算．（1）56°18（2）12°32（3）12.31°用度、分、秒表示．【答案】（1）56.3°．（2）12.54°．（3）12°18【分析】（1）將18′轉(zhuǎn)化為（2）將24″轉(zhuǎn)化為24×(160)（3）將0.31°轉(zhuǎn)化為0.31×60′=18.6′【詳解】（1）56°18（2）12=12°+3=12°+3=12°+32.=12°+32.4×(=12.54°；（3）12.31°=12°+0.31°=12°+0.31×6=12°+18.=12°+1=12°+1=12°+1=12°18【點睛】本題主要考查了度分秒的換算，關(guān)鍵是掌握將高級單位化為低級單位時，乘以60，反之，將低級單位轉(zhuǎn)化為高級單位時除以60．【變式21】比較大?。?0°25′60.25°（填“>”，“<”或“【答案】>【分析】先把單位化統(tǒng)一，再比較大小即可到答案．【詳解】解：∵60.25°=60°+0.25°=60°15∴60°25故答案為：>【點睛】本題考查了角的大小比較，注意單位要化統(tǒng)一，掌握1°=60【變式22】計算（1）34°41′25″×5；

（2）72°35′÷2＋18°33′×4．【答案】（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．【分析】（1）根據(jù)角度與整數(shù)的乘法法則計算即可；（2）根據(jù)角度的四則混合運算法則計算即可．【詳解】（1）34°41′25″×5＝（34°＋41′＋25″）×5＝34°×5＋41′×5＋25″×5＝170°＋205′＋125″＝173°27′5″；（2）72°35′÷2＋18°33′×4＝36°17′30″＋72°132′＝110°29′30″．【點睛】本題主要考查了角度的運算，正確理解角度的60進制是解答本題的關(guān)鍵．【變式23】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，則這三個角的大小關(guān)系正確的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠AC．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【答案】D【分析】先把∠C的度數(shù)化成度、分、秒，再進行比較，即可得到答案．【詳解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°0.25°＝0.25×60′＝15′，∴∠C＝30°15′，∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C故選：D．【點睛】本題考查了度分秒的換算和角的大小比較，解題的關(guān)鍵是正確進行度分秒之間的換算，從而完成求解．【知識點2鐘表上有關(guān)夾角問題】鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題．【題型3鐘表上有關(guān)角的計算】【例3】某同學(xué)走進教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30，他想知道再過多長時間分針能和時針第一次重合．假設(shè)鐘表走時準確，請問再過分鐘．【答案】150【分析】由鐘表旋轉(zhuǎn)可得每過一分鐘時針轉(zhuǎn)過的角度為0.5度，分針每分鐘走6度，設(shè)再過x分鐘，分針與時針第一次重合，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：鐘表上一周是360度，有12個大格，∴每個大格的度數(shù)為：360÷12=30度，一個大格有5個小格，∴每個小格的度數(shù)為：30÷5=6度，一小時是60分鐘，每過一分鐘時針轉(zhuǎn)過的角度為：30÷60=0.5度，分針每分鐘走6度，設(shè)再過x分鐘，分針與時針第一次重合，根據(jù)題意得：0.5x+60+0.5×30=6x，解得：x=150故答案為：15011【點睛】題目主要考查鐘面角度的計算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．【變式31】實驗中學(xué)上午10:10時通常準時上第三節(jié)課，此時時針與分針所夾的角是（

）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】C【分析】時鐘上每一大格是30°，此時時針與分針所夾的角是30°×4減去時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)．【詳解】解：時鐘上每一大格是30°，∵10:10時時針與分針之間有四個大格，且此時時針轉(zhuǎn)動30°×10÷60∴此時時針與分針所夾的角是30°×4?5°=115°，故選：C．【點睛】本題考查時間的推算和角度的計算，明確時鐘上每一大格是30°和時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式32】小明下午4點多外出購物，當時鐘面上的時針與分針的夾角恰好為88°，下午不到5點回家時，時針與分針的夾角又是88°，則小明外出的時間是【答案】32【分析】根據(jù)題意，設(shè)小明外出到回家時針走了x°，則分針走了2×88°+x°，可得到時針的度數(shù)，又因為時針每小時走30°，故小明外出用的時間可求．【詳解】解：設(shè)時針從小明外出到回家走了x°，則分針走了2×88°+x°，由題意，得2×88°+x°解得x=16°，∵時針每小時走30°，∴16°即小明外出用了32分鐘時間．故答案為：32【點睛】本題考查應(yīng)用類問題，鐘表時針與分針的夾角．在鐘表問題中，常利用時針與分針轉(zhuǎn)動的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動1°時針轉(zhuǎn)動112【變式33】鐘面角是指時鐘的時針和分針所成的角．例如：六點鐘的時候，時針與分針所成鐘面角為180°；七點鐘的時候，時針與分針所成鐘面角為150°．那么從六點鐘到七點鐘這一個小時內(nèi)，哪些時刻時針與分針所成鐘面角為100°？請寫出具體時刻：．（結(jié)果形如6點2311【答案】6點16011分或6點【分析】設(shè)6點m分時，時針與分針所成鐘面角為100°，根據(jù)時針與分針的角度差為100°，分時針與分針重合前以及重合后分別列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)6點m分時，時針與分針所成鐘面角為100°，時針每分鐘轉(zhuǎn)30°60=0.5°，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，六點鐘的時候，時針與分針所成鐘面角為分時針與分針重合前，0.5m+180?6m=100，解得：m=分時針與分針重合后，6m?0.5m+180解得：m=故答案為：6點16011分或6點560【點睛】本題考查了鐘面角的計算，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．【知識點3方向角】在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．【題型4與方向角有關(guān)的計算】【例4】根據(jù)描述標出每個同學(xué)家的位置(1)小紅家在學(xué)校東偏北30°方向150米處．(2)學(xué)校在小平家北偏西45°方向200米處．(3)小華家在學(xué)校南偏西60°方向100米處．(4)小剛家在學(xué)校西偏北30°方向150米處．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）利用方向角的定義即可解答；（2）利用方向角的定義即可解答；（3）利用方向角的定義即可解答；（4）利用方向角的定義即可解答．【詳解】（1）如圖所示，（2）如圖所示，（3）如圖所示，（4）如圖所示，【點睛】本題考查了用坐標表示地理位置，正確掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式41】從海島A點觀察海上兩艘輪船B、C．輪船B在點A的北偏東60°25′方向；輪船C在點A的南偏東15°37′【答案】103°5【分析】首先根據(jù)題意畫出草圖，然后由方向角的定義，確定AB、AC與正北方向、正南方向的夾角；然后根據(jù)角的關(guān)系計算，即可求出∠BAC的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵輪船B在點A的北偏東60°25′方向；輪船C在點A的南偏西∴∠ABC=180°?60°25故答案為：103°58【點睛】本題主要考查了與方向角有關(guān)的計算，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角的定義．【變式42】如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70°方向走到點B，乙從點A出發(fā)向南偏西15°方向走到點C，則∠BAC的度數(shù)是（）

A．85° B．105° C．125° D．160°【答案】C【分析】首先求得AB與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解．【詳解】根據(jù)題意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故選：C．【點睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關(guān)鍵．【變式43】如圖，貨輪甲從港口O出發(fā)，沿東偏南60°的方向航行20海里后到達A處．（已知四個圓圈的半徑（由小到大）分別是5海里，10海里，15海里，20海里．）（1）寫出在港口O觀測燈塔B，C的方向及它們與港口的距離；（2）已知燈塔D在港口O的南偏西30°方向上，且與燈塔B相距35海里，在圖中標出燈塔D的位置．（3）貨輪乙從港口O出發(fā)，沿正東方向航行15海里到達P處后，需把航行方向調(diào)整到與貨輪甲的航行方向一致，此時貨輪乙應(yīng)向左（或右）轉(zhuǎn)多少度？并畫出貨輪乙航行線路示意圖．【答案】（1）燈塔B的方向是東偏北60°，燈塔C的方向是正北方向，燈塔B與港口O相距離20海里，燈塔C與港口O相距離10海里；（2）詳見解析；（3）貨輪乙應(yīng)向右轉(zhuǎn)60°，畫圖見解析【分析】（1）根據(jù)方位角的定義以及題意可求出港口O觀測燈塔B，C的方向及它們與港口的距離；（2）根據(jù)方位角的定義即可找出燈塔D的位置；（3）根據(jù)甲的方向航行以及乙的航行方向可求出貨輪乙應(yīng)向左（或右）轉(zhuǎn)的角度，以及航行線路示意圖.【詳解】（1）燈塔B的方向是東偏北60°，燈塔C的方向是正北方向，燈塔B與港口O相距離20海里，燈塔C與港口O相距離10海里；（2）燈塔D的位置如圖所示；（3）∵甲沿東偏南60°航行，乙沿正東方向航行要使乙與甲的航行方向一致∴貨輪乙應(yīng)向右轉(zhuǎn)60°即順時針轉(zhuǎn)60°，航行線路如圖所示．【點睛】本題主要考查了方向角含義，理解方向角的定義是解決本題的關(guān)鍵．【題型5角的計數(shù)問題】【例5】解答下列各題（1）如圖，在∠AOB中，以O(shè)為頂點引射線，填表：∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)1234角的總個數(shù)________________________（2）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，請用關(guān)于n的式子表示出上面的結(jié)論．（3）若∠AOB內(nèi)有射線條數(shù)是2020，則角的總個數(shù)為多少？【答案】（1）3，6，10，15；（2）12【分析】（1）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，可構(gòu)成12（2）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，可構(gòu)成12（3）把2020代入12【詳解】解：（1）填表如下：∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)1234角的總個數(shù)361015（2）當n=1時，角總個數(shù)為：1+2=3，當n=2時，角總個數(shù)為：1+2+3=6，當n=3時，角總個數(shù)為：1+2+3+4=10，當n=4時，角總個數(shù)為：1+2+3+4+5=15，...當n=n時，角總個數(shù)為：1+2+3+4+5+?+(n+1)=1即∠AOB內(nèi)射線的條線是n時，角總個數(shù)為：1（3）當∠AOB內(nèi)有射線條數(shù)是2020時，角總個數(shù)為：12【點睛】本題主要考查的是角的概念，掌握其規(guī)律是解題的關(guān)鍵．有公共頂點的n條射線，一共可構(gòu)成12n（n【變式51】如圖，從點O出發(fā)的5條射線，可以組成的銳角的個數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】每一條射線都分別與其它的射線組成一個角，如圖所示，若從點O出發(fā)的n條射線，可以組成角的個數(shù)是n【詳解】解：組成角的個數(shù)是n故選C．【點睛】此題主要考查了角的概念以及應(yīng)用，要熟練掌握．利用公式：從點O出發(fā)的n條射線，組成角的個數(shù)為nn?1【變式52】如圖，從點O引出的射線（任兩條不共線）條數(shù)與角的總個數(shù)有如下關(guān)系：從點O引出兩條射線形成1個角；如圖1從點O引出3條射線共形成3個角；如圖2從點O引出4條射線共形成6個角；如圖3從點O引出5條射線共形成10個角；（1）觀察操作：當從點O引出6條射線共形成有個角；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖4當從點O引出n條射線共形成個角；（用含n的式子表示）（3）實踐應(yīng)用：8支籃球隊進行單循環(huán)比賽（參加比賽的每兩支球隊之間都要進行一場比賽），總的比賽場數(shù)為場．如果n支籃球隊進行主客場制單循環(huán)賽（參加的每個隊都與其它所有隊各賽2場）總的比賽場數(shù)是場．【答案】15nn?1【分析】（1）觀察圖形可知，2條射線組成1個角，3條射線就可以組成2+1=3個角，4條射線可以組成3+2+1=6個角，依此可得6條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+4+5然后計算即可；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可知：n條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+…+（n1），然后計算即可；（3）將每只球隊當作一條射線，每場單循環(huán)賽當作一個角，然后利用（2）的規(guī)律解答即可；【詳解】解：（1）觀察圖形可知，2條射線組成1個角，3條射線就可以組成2+1=3個角，4條射線可以組成3+2+1=6個角，依此可得6條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+4+5=15；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律可知：n條射線組成角的個數(shù)是1+2+3+…+（n1）=nn?1（3）將每只球隊當作一條射線，每場單循環(huán)賽當作一個角，所以8支籃球隊進行單循環(huán)比賽相當于8條射線可以組成的角，即比賽場數(shù)88?1如果n支籃球隊進行主客場制單循環(huán)賽（參加的每個隊都與其它所有隊各賽2場）總的比賽場數(shù)是nn?1故答案為（1）15，（2）nn?1【點睛】考查了數(shù)角的個數(shù)、歸納總結(jié)規(guī)律以及遷移應(yīng)用規(guī)律的能力，根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律和遷移應(yīng)用規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【變式53】在銳角∠AOB內(nèi)部由O點引出3種射線，第1種是將∠AOB分成10等份；第2種是將∠AOB分成12等份；第3種是將∠AOB分成15等份，所有這些射線連同OA?OB可組成的角的個數(shù)是（

）A．595 B．406 C．35 D．666【答案】B【分析】設(shè)銳角∠AOB=α，第1種中間由9條射線，每個小角為α10，第2種中間由11條射線，每個小角為α12，第3種中間由14條射線，每個小角為α15，利用∠AOB內(nèi)部的三種射線與OA形成的角相等求出重合的射線，第一種第m被倍小角為mα10，第二種n倍小角nα12【詳解】設(shè)銳角∠AOB第1種是將∠AOB分成10等份；中間由9條射線，每個小角為α10第2種是將∠AOB分成12等份；中間由11條射線，每個小角為α12第3種是將∠AOB分成15等份，中間由14條射線，每個小角為α15設(shè)第1種,第2種，第3種中相等的角的射線重合為1條，第一種第m倍小角為mα10，第二種n倍小角nα12，與第三種p倍小角則m10先看三種分法中同時重合情況m:n:p=10:12:15除OA，OB外沒有重合的，再看每兩種分法重合情況第1種,第2種,m:n=5:6，第一種第5條與第二種第6條重合，共重合1條，第1種,第3種，m:p=2:3，m=2，4，6，8,與P=3，6，9，12重合，共重合4條，第2種,第3種,n:p=4:5,n=4，8與p=5，10重合，共重合2條，在∠AOB中一共有射線數(shù)=2+9+11+14124=29條射線，29條射線分成的所有角=1+2+3+…+28=12故選擇：B．【點睛】本題考查射線分角問題，不同角的個數(shù)求法，掌握掌握三種分法中排出重合射線的條數(shù)是解題關(guān)鍵．【知識點4角的比較與運算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小．方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【題型6角的比較】【例6】如圖所示，∠AOB=∠DOE，∠BOC<∠COD，試比較∠AOC和∠COE的大小關(guān)系．【答案】∠AOC<∠COE．詳見解析【分析】由∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠COE=∠DOE+∠COD，∠AOB=∠DOE，【詳解】因為∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠COE=∠DOE+∠COD，∠AOB=∠DOE，所以可得∠AOC<∠COE．故答案為∠AOC<∠COE．【點睛】本題主要考查角的大小比較，關(guān)鍵是根據(jù)圖形得到∠AOC和∠COE的等量關(guān)系式，然后根據(jù)已知條件進行比較即可．【變式61】已知∠α與∠β都小于平角，在平面內(nèi)把這兩個角的一條邊重合，若∠α的另一條邊恰好落在∠β的內(nèi)部，則（）．A．∠α<∠β B．∠α=∠β C．∠α>∠β D．不能比較∠α與∠β的大小【答案】A【分析】如圖所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∠α，∠AOC＞∠BOC，【詳解】解：如圖所示，∠AOC=∠β，∠BOC=∵∠AOC＞∠BOC，∴∠α<∠β，故選A．【點睛】本題主要考查了角的大小比較，解題的關(guān)鍵在于能夠畫出圖形進行求解．【變式62】如圖，已知直線AB與射線OP相交于點O，點C是OA上一點，且∠AOP=90°.用尺規(guī)完成作圖：(1)在射線OB上截取OD，使OD=OC；在射線OP上取一點E，OE=2OC，連接CE、DE；比較線段CE與DE的大小，并直接寫出結(jié)論；(2)在射線OP上取一點Q(不同于點O，E)，連接CQ、DQ，比較∠CED與∠CQD的大小，并直接寫出結(jié)論.【答案】(1)CE=DE(2)當點Q在線段OE上時，∠CED<∠CQ1D，當點Q在射線【分析】（1）按照作一條線段等于已知線段的作法作圖即可.（2）分兩種情況：①Q(mào)點在線段OE上，②Q點在線段EP上，作出圖形即可比較大小.【詳解】（1）如圖，點D、E即為所求，且CE=DE.（2）如圖，當Q點在線段OE上時，∠CED<∠CQ當點Q在射線EP上時，∠CED>∠CQ【點睛】本題主要考查了比較線段的大小和比較角的大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確的作出圖形.【變式63】學(xué)習了角的大小比較后，我們知道利用度量法可以進行兩個角的大小比較C、D為一個量角器在AB上方邊緣上的兩個動點，連接CO、DO．(1)當C，D兩點運動到如圖1所示的位置時，請你直接由量角器讀出∠COB=______°，∠DOA=______°；(2)若OD從OA出發(fā)以每秒8°的速度向終邊OB運動，同時OC從OB出發(fā)，以每秒10°的速度向終邊OA運動，運動時間為t，當CO⊥DO時，運動時間t是多少？(3)如圖2，過點O作AB的垂線與量角器的邊緣交于點E，若∠COD=60°，OF是∠COE的平分線，OD從OA出發(fā)，當C與B重合時停止運動，請?zhí)骄窟@個運動過程中，∠DOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)45，60(2)運動時間是5s或15s時，CO⊥DO．(3)當0°<α≤30°時，∠COF=12∠DOE?30°；當30°<α≤90°時，∠COF=?12【分析】（1）根據(jù)量角器的讀法讀數(shù)即可；（2）分情況討論：當C在D的右邊時；當C在D的左邊時，列出關(guān)于t的方程求解即可；（3）設(shè)∠DOA=α，分情況討論：當0°<α≤30°時，當30°<α≤90°時，當90°<α≤120°時，表示出∠DOE，∠COF，即可求出∠DOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：由圖可知：∠COB=45°，∠DOA=60°，故答案為：45，60（2）如圖1，當C在D的右邊時，8t+10t=90，解得t=5；如圖2，當C在D的左邊時，8t+10t=180+90，解得t=15答：運動時間是5s或15s時，CO⊥DO．（3）設(shè)∠DOA=α，當0°<α≤30°時，如圖3，∠DOE=90°?α，∠COF=90°?α?60°∴∠COF=當30°<α≤90°時，如圖4，∠DOE=90°?α，∠COF=α+60°?90°∴∠COF=?當90°<α≤120°時，如圖5，∠DOE=α?90°，∠COF=α+60°?90°∴∠COF=綜上，當0°<α≤30°時，∠COF=1當30°<α≤90°時，∠COF=?1當90°<α≤120°時，∠COF=1【點睛】本題考查角的度量，角之間的關(guān)系，垂直，解題的關(guān)鍵是熟練掌握量角器的使用方法，結(jié)合圖形求解，注意分情況討論．【知識點5角的和差關(guān)系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB∠2．角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12【題型7與角平分線相關(guān)的角的運算】【例7】如圖，O為直線AD上一點，以O(shè)為頂點作∠COE=90°，射線OF平分∠AOE．

(1)如圖①，∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖①，如果∠AOC=60°，求∠COF的度數(shù)；(3)若將圖①中的∠COE繞點O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，OF依然平分∠AOE，若∠AOC=α，請猜想∠COF的度數(shù)（可用α表示），并說明理由．【答案】(1)∠AOC+∠DOE=90°(2)∠COF=15°(3)∠COF=45°+a【分析】（1）根據(jù)已知條件和圖形可知：∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，從而可以得到∠AOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系；（2）先求出∠AOE，根據(jù)射線OF平分∠AOE，得到∠AOF=12∠AOE（3）利用∠AOC=α，表示出∠AOE，再利用OF平分∠AOE，得到∠AOF，再寫出∠COF的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，∴∠AOC+∠DOE=90°，故答案為：∠AOC+∠DOE=90°；（2）∠COF=15°理由如下：∵∠AOC=60°，∠COE=90°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=1∴∠COF=∠AOF?∠AOC=75°?60°=15°；（3）∠COF=45°+a∵∠AOC=α，∴∠AOE=90°?α，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=1∴∠COF=∠AOC+∠AOF=45°+【點睛】本題考查了角平分線的定義以及角的計算，解題的關(guān)鍵是找出各個角之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想找出所求問題需要的條件．【變式71】如圖，點O為直線AB上一點，∠COD=90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．

(1)若∠AOE=10°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠AOC:∠COB=2:13，求∠BOF的度數(shù)．【答案】(1)70°(2)33°【分析】（1）由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，可得∠AOC=2∠AOE=20°，根據(jù)∠BOD=180°?∠AOC?∠COD，計算求解即可；（2）由∠AOC:∠COB=2:13，∠AOC+∠COB=180°，可得∠AOC=180°×215=24°，則∠BOD=180°?∠AOC?∠COD=66°，由OF平分∠BOD【詳解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOC=2∠AOE=20°，∴∠BOD=180°?∠AOC?∠COD=70°，∴∠BOD的度數(shù)為70°；（2）解：∵∠AOC:∠COB=2:13，∠AOC+∠COB=180°，∴∠AOC=180°×2∴∠BOD=180°?∠AOC?∠COD=66°，∵OF平分∠BOD，∴∠BOF=1∴∠BOF的度數(shù)為33°．【點睛】本題考查了角平分線．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．【變式72】解答下列問題如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是

(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ=（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)12α或1【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答；(2)根據(jù)“巧分線”定義，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ(3)根據(jù)“巧分線”定義，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ【詳解】（1）解：如圖1：∵OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∴根據(jù)巧分線定義可得OC是這個角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當∠MPN=2∠MPQ1時，則②當∠NPQ2=2∠MPQ2③當∠MPQ3=2∠NPQ3綜上，∠MPQ可以為30°，（3）解：如圖3：①當∠MPN=2∠MPQ1時，則②當∠NPQ2=2∠MPQ2③當∠MPQ3=2∠NPQ3綜上，∠MPQ可以為α2

【點睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式73】已知：O為直線AB上的一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．

圖1

圖2

圖3(1)如圖1，若∠COF=34°，則∠BOE=；若∠COF=m°，則∠BOE=；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為．(2)在圖2中，若∠COF=75°，在∠BOE內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD+∠AOF=13∠BOE?∠BOD(3)當射線OE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，直接寫出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)68°，2m°，∠BOE=2∠COF(2)存在，15°(3)2∠COF+∠BOE=360°【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求得∠EOF的度數(shù)，再OF平分∠AOE，求得∠AOE的度數(shù)，從而求得∠BOE的度數(shù)；若∠COF=m°，則∠EOF=90°?m°，由角平分線的定義求得∠AOE=180°?2m°，從而求得∠BOE的度數(shù)，進而求得∠BOE=2∠COF；（2）由∠COF=75°，∠COE=90°，求得∠EOF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠AOF的度數(shù)，再由平角的定義求得∠BOE的度數(shù)，再代入2∠BOD+∠AOF=1（3）設(shè)∠BOE=α，則∠BOC=90°?α，∠AOE=180°?α，由角平分線的定義求得∠EOF=90°?12α【詳解】（1）解：∵∠COF=34°，∠COE=90°，∴∠EOF=90°?34°=56°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=112°，∴∠BOE=180°?112°=68°；∵∠COF=m°，∠COE=90°，∴∠EOF=90°?m°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=180°?2m°，∴∠BOE=180°?180°?2m°∴∠BOE=2∠COF，故答案為：68°，2m°，∠BOE=2∠COF；（2）解：存在，理由如下：∵∠COE=90°，∠COF=75°，∴∠EOF=15°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=15°，∴∠BOE=180°?30°=150°，∵2∠BOD+∠AOF=1∴2∠BOD+15°=1∴∠BOD=15°；（3）解：∵∠COE=90°，設(shè)∠BOE=α，則∠BOC=90°?α，∠AOE=180°?α，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1∴∠COF=∠BOC+∠BOE+∠EOF=90°?α+α+90°?1即2∠COF+∠BOE=360°．【點睛】本題考查角平分線的定義及角的和差計算，熟練掌握角平分線的定義及確定圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型8與角n等分線相關(guān)的角的運算】【例8】如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，已知∠AOB=60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動的時間為t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的t值．【答案】(1)是；(2)15°，33.75°，11.25°，30°；(3)t=3613或t=4【分析】（1）若OC為∠AOB的三等分線，則有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福線”的定義；（2）根據(jù)“幸福線”的定義可得當∠AOB=3∠AOC時，當∠AOC=3∠BOC時，當∠BOC=3∠AOC時，當∠AOB=3∠BOC時，然后根據(jù)角的和差關(guān)系進行求解即可；（3）由題意可分①當0<t<4時ON在與OA重合之前，則有∠MOA=20t，∠AON=60?15t，由OA是∠MON的“幸福線”可進行分類求解；②當4<t<9時，ON在與OA重合之后，則有∠AON=15t?60，∠MON=5t+60，由ON是∠AOM的“幸福線”可分類進行求解．【詳解】（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，∴①當∠AOB=3∠AOC時，則有：∠AOC=15°；②當∠AOC=3∠BOC時，則有∠AOC=3③當∠BOC=3∠AOC時，則有∠AOC=1④當∠AOB=3∠BOC時，則有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；綜上所述：當射線OC為∠AOB的“幸福線”時，∠AOC的度數(shù)為15°，33.75°，11.25°，30°；（3）解：∵∠AOB=60°，∴射線ON與OA重合的時間為60°÷15°=4（秒），∴當0<t≤4時ON在與OA重合之前，如圖所示：∴∠MOA=20t°，∠AON=（60?15t）°，OA是∠MON的“幸福線”，則有以下三類情況：①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60?15t，t=36②∠MOA=3∠AON，即20t=360?15t，t=③∠AON=3∠MOA，即60?15t=3×20t，t=4④∠AON=3∠MON，即60?15t=3×60+5t，t=?4當4<t<9時，ON在與OA重合之后，如圖所示：∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t?60）°，ON是∠AOM的“幸福線”，則有以下三類情況：①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=12②∠NOA=3∠MOA，即15t?60=3×20t，t=?4③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t?60，t=6④∠NOA=3∠MON，即15t?60=35t+60，t綜上：t=3613或t=4【點睛】本題主要考查角的三等分點的計算及角的動點問題，熟練掌握角的三等分點的計算及角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式81】已知∠AOB＝120°，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，射線OM是∠AOC靠近OA的三等分線，射線ON是∠BOC靠近OB的三等分線．(1)若OC平分∠AOB，①依題意補全圖1；②∠MON的度數(shù)為．(2)當射線OC繞點O在∠AOB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，∠MON的度數(shù)是否改變？若不變，求∠MON的度數(shù)；若改變，說明理由．【答案】(1)①見解析；②80°(2)∠MON的度數(shù)不變，80°【分析】（1）①根據(jù)題意補全圖；②根據(jù)∠AOM=13∠AOC=13×60°=20°，∠MOC＝∠（2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分線，射線ON是∠BOC靠近OB的三等分線，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝23∠【詳解】（1）解：①依題意補全圖如下：②∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠AOC=1∵射線OM是∠AOC靠近OA的三等分線，∴∠AOM=1∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，同理可得∠CON＝40°，∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°；（2）解：∠MON的度數(shù)不變．∵OM是∠AOC靠近OA的三等分線，射線ON是∠BOC靠近OB的三等分線，∵∠AOM=13∠AOC∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝∠AOB﹣1＝23∵∠AOB＝120°，∴∠MON＝80°．【點睛】本題考查了角的計算和角的三等分線，掌握各個角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式82】定義：從∠AOB的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC，把∠AOB分成1:2的兩部分，射線OC叫做∠AOB的三等分線．若在∠MON中，射線OP是∠MON的三等分線，射線OQ是∠MOP的三等分線，設(shè)∠MOQ=x，則∠MON用含x的代數(shù)式表示為（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【答案】C【分析】分四種情況，分別計算，即可求解．【詳解】解：如圖：射線OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分線，射線OQ是∠MOP則∠QOP=2x，∠NOP=1∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+3如圖：射線OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分線，射線OQ是∠MOP則∠QOP=12x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1如圖：射線OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分線，射線OQ是∠MOP則∠QOP=12x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1如圖：射線OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分線，射線OQ是∠MOP則∠QOP=2x，∠NOP=2∠MOP=2×x+2x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x；綜上，∠MON為94x或92故選：C．【點睛】本題考查了角的有關(guān)計算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．【變式83】綜合與實踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后，安排同學(xué)打自主探究角的三等分線．小明進行了如下探究，如圖①，若射線OC，OD是∠AOB的三等分線，則稱更靠近OA邊的射線OC是射線OA的“友好線”，靠近OB邊的射線OD是射線OB的“友好線”．(1)如圖②，∠AOB=150°，射線OP是射線OA的友好線，求∠AOP的度數(shù)．(2)【問題探究】如圖③，∠AOB=120°，射線OQ與射線OA重合并繞點O以每秒4°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線OB重合時停止．問旋轉(zhuǎn)幾秒后，OQ是OB的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，∠AOB=180°，射線OM，ON分別與射線OA，OB重合，射線OM繞點O以每秒4°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線ON繞點O以每秒2°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，是否存在某一刻OM恰好是ON的“友好線”，若存在，求出時間t秒；若不存在，請說明理由．【答案】(1)∠AOP=50°(2)旋轉(zhuǎn)20秒后，OQ是OB的“友好線”(3)存在；當t=452或t=1354時，【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義求出∠AOP的度數(shù)即可；（2）根據(jù)“友好線”定義求出∠BOQ的度數(shù)，然后再求出∠AOQ的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度求出旋轉(zhuǎn)時間，即可得出答案；（3）分兩種情況討論，當OM在ON右側(cè)時，當OM在ON左側(cè)時，分別畫出圖形，列出關(guān)于t的方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：∵∠AOB=150°，∴當射線OP是射線OA的“友好線”時，∠AOP=1（2）解：∵∠AOB=120°，∴當OQ是OB的“友好線”時，∠BOQ=1∴∠AOQ=∠AOB?∠BOQ=120°?40°=80°，∴旋轉(zhuǎn)時間為80÷4=20（秒），即旋轉(zhuǎn)20秒后，OQ是OB的“友好線”．（3）解：存在；當t=452或t=1354時，當OM在ON右側(cè)時，如圖所示：此時∠AOM=4t，∠BON=2t，∵OM恰好是ON的“友好線”，∴∠MON=1∴180?4t?2t=1解得：t=45當OM在ON右側(cè)時，如圖所示：此時∠AOM=4t，∠BON=2t，∵OM恰好是ON的“友好線”，∴∠MON=1∴2t?180°?4t解得：t=135綜上分析可知，當t=452或t=1354時，【點睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計算，解題的關(guān)鍵是理解題目中“友好線”的定義，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．【題型9在三角板中的角的運算】【例9】如圖，三角尺①固定不動，將三角尺②的直角頂點O與三角尺①的頂點A重合．若三角尺②的一條直角邊與AC邊的夾角為40°，則三角尺②的另一條直角邊與AB邊的夾角不可能是（

）

A．20° B．80° C．100° D．150°【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，進行分類討論即可．【詳解】解：（1）當OD與AC邊的夾角為40°時，①當OD在AC下方時，∵∠CAD=40°,∠DAE=90°，∴∠CAE=90°?40°=50°；∵∠BAC=30°，∴∠BAE=30°+50°=80°，

②當OD在AC上方時，∵∠CAD=40°,∠DAE=90°,∠BAC=30°，∴∠BAE=30°+40°+90°=160°；（2）當OE與AC邊的夾角為40°時，①當OE在AC下方時，∵∠CAE=40°,∠BAC=30°，∴∠BAE=40°?30°=10°，∴∠BAD=10°+90°=100°，

②當OE在AC上方時，∵∠CAE=40°,∠BAC=30°，∴∠BAD=90°?40°?30°=20°，綜上：另一條直角邊與AB邊的夾角可能是80°,160°,20°,100°，故選：D．【點睛】本題主要考查了與三夾板有關(guān)的角度計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角板的各個角度，以及正確畫出圖形，具有分類討論的思想．【變式91】如圖所示，以直線AB上的一點O為端點，在直線AB的上方作射線OP，使∠BOP=70°．將一塊直角三角尺的直角頂點放在點O處，且直角三角尺（∠MON=90°）在直線AB的上方．設(shè)∠BOM=n°0<n<90．

(1)當n=32時，求∠PON的大