第12講函數(shù)的概念（7種題型）

第12講函數(shù)的概念（7種題型）【知識(shí)梳理】一．常量與變量（1）變量和常量的定義：在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量．（2）方法：①常量與變量必須存在于同一個(gè)變化過程中，判斷一個(gè)量是常量還是變量，需要看兩個(gè)方面：一是它是否在一個(gè)變化過程中；二是看它在這個(gè)變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化；②常量和變量是相對(duì)于變化過程而言的．可以互相轉(zhuǎn)化；③不要認(rèn)為字母就是變量，例如π是常量．二．函數(shù)的概念函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量．說明：對(duì)于函數(shù)概念的理解：①有兩個(gè)變量；②一個(gè)變量的數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；③對(duì)于自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)值有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即單對(duì)應(yīng)．三．函數(shù)關(guān)系式用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個(gè)字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書寫時(shí)有順序性，例如，y＝x+9時(shí)表示y是x的函數(shù)，若寫成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．四．函數(shù)自變量的取值范圍自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義．①當(dāng)表達(dá)式的分母不含有自變量時(shí)，自變量取全體實(shí)數(shù)．例如y＝2x+13中的x．②當(dāng)表達(dá)式的分母中含有自變量時(shí)，自變量取值要使分母不為零．例如y＝x+2x﹣1．③當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式是偶次根式時(shí)，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零．④對(duì)于實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實(shí)際問題有意義．五．函數(shù)值函數(shù)值是指自變量在取值范圍內(nèi)取某個(gè)值時(shí)，函數(shù)與之對(duì)應(yīng)唯一確定的值．注意：①當(dāng)已知函數(shù)解析式時(shí)，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當(dāng)已知函數(shù)解析式，給出函數(shù)值時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值就是解方程；②當(dāng)自變量確定時(shí)，函數(shù)值是唯一確定的．但當(dāng)函數(shù)值唯一確定時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè)．六．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象定義對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形就是這個(gè)函數(shù)的圖象．注意：①函數(shù)圖形上的任意點(diǎn)（x，y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對(duì)x、y的值，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上；③判斷點(diǎn)P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點(diǎn)P（x，y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖象上．．七．動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．【考點(diǎn)剖析】一．常量與變量（共1小題）1．（2021秋?黃浦區(qū)期中）如圖所示是關(guān)于變量x，y的程序計(jì)算，若開始輸入的x值為4，則最后輸出因變量y的值為20．【分析】將x＝4代入關(guān)系式x（x+1），進(jìn)而解決此題．【解答】解：當(dāng)x＝4，則x（x+1）＝4×5＝20＞15．∴輸出因變量y＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求因變量的值，熟練掌握自變量對(duì)應(yīng)的因變量的值的求法是解決本題的關(guān)鍵．二．函數(shù)的概念（共3小題）2．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）下列各圖象中，不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)的概念：對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，因變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，因變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，故A不符合題意；B、對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，因變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，故B不符合題意；C、對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，因變量y不是都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，所以不能表示y是x的函數(shù)，故C符合題意；D、對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，因變量y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）下列圖象中表示y是x的函數(shù)的有幾個(gè)（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，對(duì)應(yīng)x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)判斷即可．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的概念，可知：圖1和圖4不能表示y是x的函數(shù)，圖2和圖3能表示y是x的函數(shù)，∴上列圖象中表示y是x的函數(shù)的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念，對(duì)應(yīng)x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?奉賢區(qū)期中）下列所述不屬于函數(shù)關(guān)系的是（）A．長方形的面積一定，它的長和寬的關(guān)系 B．x+2與x的關(guān)系 C．勻速運(yùn)動(dòng)的火車，時(shí)間與路程的關(guān)系 D．某人的身高和體重的關(guān)系【分析】根據(jù)函數(shù)的定義：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與其對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量．對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、∵S＝ab，∴矩形的長和寬成反比例，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵x+2中隨x的變化而變化是函數(shù)，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵S＝vt，速度固定時(shí)，路程和時(shí)間是正比例關(guān)系，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∵身高和體重不是函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三．函數(shù)關(guān)系式（共3小題）5．（2021春?灤州市期末）據(jù)測試，擰不緊的水龍頭每分鐘滴出100滴水，每滴水約0.05毫升．小明洗手后沒有把水龍頭擰緊，水龍頭以測試速度滴水，當(dāng)小明離開x分鐘后，水龍頭滴水y毫升水，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝0.05x B．y＝5x C．y＝100x D．y＝0.05x+100【分析】每分鐘滴出100滴水，每滴水約0.05毫升，則一分鐘滴水100×0.05毫升，則x分鐘可滴100×0.05x毫升，據(jù)此即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可得：y＝100×0.05x，即y＝5x．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)解析式，正確表示出一分鐘滴的水的體積是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?青浦區(qū)期中）已知一個(gè)梯形的面積為60，上底長是高的2倍，設(shè)高為x，下底為y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝．【分析】根據(jù)梯形的面積可得，進(jìn)一步可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)高為x，∵上底長是高的2倍，∴上底長為2x，∵一個(gè)梯形的面積為60，∴，∴y＝，故答案為：y＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握函數(shù)關(guān)系式的定義是解題的關(guān)鍵．7．（2019秋?黃浦區(qū)校級(jí)期中）A、B兩地相距50千米，小張騎自行車從A地到B地，車速為13千米/小時(shí)，騎了t小時(shí)后，小張離B地s千米，那么s關(guān)于t的函數(shù)解析式是s＝50﹣13t．【分析】直接利用總路程﹣行駛路程＝離B地距離，進(jìn)而得出關(guān)系式．【解答】解：由題意可得：s＝50﹣13t．故答案為：s＝50﹣13t．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意得出等式是解題關(guān)鍵．四．函數(shù)自變量的取值范圍（共3小題）8．（2023春?青浦區(qū)期末）函數(shù)的定義域?yàn)閤≠﹣1．【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求得答案．【解答】解：由題意可得x+1≠0，y＝的定義域?yàn)閤≠﹣1，故答案為：x≠﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，根據(jù)分式有意義的條件得出x+1≠0是解題的關(guān)鍵．9．（2022?崇明區(qū)二模）函數(shù)中自變量x的取值范圍是x＞﹣．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式，得到答案．【解答】解：由題意得：3x+1＞0，解得：x＞﹣，故答案為：x＞﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?寶山區(qū)期末）已知：函數(shù)f（x）＝﹣3x．（1）求這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）計(jì)算．【分析】（1）根據(jù)分母不等于0即可得到函數(shù)定義域；（2）把自變量x＝2和分別代入函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，x﹣1≠0，解得x≠1，∴定義域?yàn)閤≠1；（2）f（2）＝﹣3×2＝3﹣6＝﹣3，f（）＝﹣3＝3（+1）﹣3＝3+3﹣3＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達(dá)式都有意義．五．函數(shù)值（共5小題）11．（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知f（x）＝，那么f（）＝3．【分析】將x＝代入函數(shù)表達(dá)式，化簡即可．【解答】解：由題意將x＝代入函數(shù)表達(dá)式，則有：f（）＝．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)求值問題，只需將自變量的取值代入函數(shù)表達(dá)式．12．（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，則f（6）＝2．【分析】把x＝6代入計(jì)算即可．【解答】解：f（6）＝＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值，理解函數(shù)值的定義是解決問題的前提，把x的值代入函數(shù)關(guān)系式按照關(guān)系式指明的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算是得出正確答案的關(guān)鍵．13．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（1）＝﹣．【分析】根據(jù)所給的函數(shù)關(guān)系式求解即可．【解答】解：由題意，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求函數(shù)值，理解題中函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．14．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）如果函數(shù)f（x）＝，那么f（3）＝2+．【分析】把x＝3代入解析式求解．【解答】解：f（3）＝＝2+，故答案為：2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)值，掌握有理數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝0．【分析】根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)值，把自變量的值代入函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．六．函數(shù)的圖象（共4小題）16．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖：某人從甲地行走到乙地的路程S（千米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那么此人行走5千米，所用的時(shí)間是1.25小時(shí)．【分析】根據(jù)速度＝路程÷時(shí)間求出行駛的速度，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：由圖可知，速度＝12÷3＝4千米/時(shí)，所以，行走5千米所用的時(shí)間＝5÷4＝1.25小時(shí)．故答案為：1.25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象，準(zhǔn)確識(shí)圖，確定出路程和時(shí)間然后求出此人的速度是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?金山區(qū)期末）小強(qiáng)騎車從家到學(xué)校要經(jīng)過一段先上坡后下坡的路，在這段路上小強(qiáng)騎車的距離s（千米）與騎車的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答下列問題：（1）小強(qiáng)去學(xué)校時(shí)下坡路長2千米；（2）小強(qiáng)下坡的速度為0.5千米/分鐘；（3）若小強(qiáng)回家時(shí)按原路返回，且上坡的速度不變，下坡的速度也不變，那么回家騎車走這段路的時(shí)間是14分鐘．【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以得到下坡路的長度；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求的小強(qiáng)下坡的速度；（3）根據(jù)題意可以求得小強(qiáng)上坡的速度，進(jìn)而求得小強(qiáng)返回時(shí)需要的時(shí)間．【解答】解：（1）由題意和圖象可得，小強(qiáng)去學(xué)校時(shí)下坡路為：3﹣1＝2（千米），故答案為：2；（2）小強(qiáng)下坡的速度為：2÷（10﹣6）＝0.5千米/分鐘，故答案為：0.5；（3）小強(qiáng)上坡時(shí)的速度為：1÷6＝千米/分鐘，故小強(qiáng)回家騎車走這段路的時(shí)間是：＝14（分鐘），故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．18．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為t（分），Q1、Q2與t之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）加油之前，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油；運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量40噸油；（2）這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需10分鐘；（3）運(yùn)輸飛機(jī)的飛行油耗為每分鐘0.1噸油；（4）運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，如果每分鐘油耗相同，最多能飛行11.5小時(shí)．【分析】（1）通過觀察線段Q1，Q2段圖象，不難得到加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油，運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量為40噸油．（2）將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)中需10分鐘．（3）首先根據(jù)運(yùn)輸飛機(jī)在10分鐘時(shí)間內(nèi)，加油29噸，但加油飛機(jī)消耗了30噸，求出每小時(shí)耗油量．（4）根據(jù)（3）中的耗油量，可直接得出最多飛行時(shí)間．【解答】解：（1）由題意及圖象得加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸油，運(yùn)輸飛機(jī)的油箱有余油量為40噸油．故答案為：30；40．（2）將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)中需10分鐘；故答案為：10；（3）∵運(yùn)輸飛機(jī)在10分鐘時(shí)間內(nèi)，加油29噸，但加油飛機(jī)消耗了30噸，所以說10分鐘內(nèi)運(yùn)輸飛機(jī)耗油量為1噸，∴運(yùn)輸飛機(jī)每分鐘耗油量為0.1噸；故答案為：0.1；（4）由（3）知運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量為＝6（噸），∴69÷6＝11.5（小時(shí)），故答案為：11.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象．解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖象，其中尤其注意運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量這個(gè)隱含條件的確定．19．（2022秋?嘉定區(qū)期中）甲、乙兩同學(xué)騎自行車從A地沿同一條路到B地，已知乙比甲先出發(fā)，他們離出發(fā)地的距離s（km）和騎行時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）乙比甲先出發(fā)0.5小時(shí)．（2）甲騎行的速度是每小時(shí)千米．（3）相遇后，甲的速度大于乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于”）．（4）甲比乙少用了1小時(shí)．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)，可得路程，根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)，可得時(shí)間，根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系，可得答案．【解答】解：由題意可得：（1）乙比甲先出發(fā)0.5小時(shí)．故答案為：0.5；（2）甲騎行的速度為：＝（千米/小時(shí)）．故答案為：；（3）相遇后，甲的速度大于乙的速度（填“大于”、“小于”或“等于”）．故答案為：大于；（4）甲比乙少用了1小時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象獲得有效信息是解題關(guān)鍵．七．動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象（共3小題）20．（2023春?靜安區(qū)期末）如圖1，矩形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），作EF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BE，如果設(shè)CF＝x，△ABE面積為y，那么可得y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖2所示）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；（2）求△ABC的面積及矩形對(duì)角線AC的長．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）首先根據(jù)題意得到當(dāng)x＝0時(shí)，點(diǎn)E于點(diǎn)C重合，進(jìn)而得到△ABC的面積為24；然后由y＝0，解得x＝6，最后利用三角形面積公式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，∴將（0，24），（4，8），代入得，，∴解得，∴y＝﹣4x+24；當(dāng)x＝0時(shí)，即﹣4x+24＝0，解得x＝6，∵點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合，∴定義域?yàn)?≤x＜6；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴S△ABC＝S△ABE＝24，∴△ABC的面積為24；由（1）可得，當(dāng)y＝0時(shí)，解得x＝6，∴BC＝FC＝6，∵S△ABC＝24，四邊形是矩形，∴?AB?BC＝24，即?AB×6＝24，∴AB＝8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝10．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)與幾何結(jié)合，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．21．（2015秋?松江區(qū)期中）如圖，已知邊長等于8個(gè)單位長度的兩個(gè)完全相同的正方形ACBF、BDEF有公共邊BF，且CB與BD均在直線L上，將正方形ACBF沿直線L以1單位/秒向右平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，正方形ACBF在移動(dòng)過程中與正方形BDEF重疊的面積為S，試求：（1）當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到線段BD上時(shí)，寫出S與t的函數(shù)解析式，并寫出定義域．（2）在整個(gè)移動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到線段BD上時(shí)（不與B、D重合），寫出S與t的函數(shù)解析式，并寫出定義域．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形得出重疊部分是長為t、寬為8的矩形，據(jù)此可得；（2）根據(jù)題意畫出圖形得出重疊部分是長為16﹣t、寬為8的矩形，據(jù)此可得．【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到線段BD上時(shí)，BB′＝t，BF＝8，S＝8t（0≤t≤8）；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到線段BD上時(shí)，BB′＝t，則BC＝t﹣8，∴CD＝8﹣（t﹣8）＝16﹣t，則S＝8（16﹣t）＝128﹣8t（8＜t＜16）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖形的變化情況畫出圖形、分類討論是解題的關(guān)鍵．22．（2010秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長是3厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC、CD、DA方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x厘米，△ABP的面積為y平方厘米．（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于x的解析式及其定義域；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，△ABP的面積為1.5平方厘米？【分析】（1）利用當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用三角形面積求法得出即可；（2）利用當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，結(jié)合圖象得出三角形面積是定值；（3）分別利用△ABP的面積為1.5平方厘米，當(dāng)P在BC上時(shí)，以及當(dāng)P在AD上時(shí)，求出即可．【解答】解：（1）∵當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，正方形ABCD的邊長是3厘米，∴△ABP的面積為：y＝×AB×BP＝×3x即（0＜x≤3）；（2）∵當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∴△ABP的面積為：×3×3＝，即，（3≤x≤6）；（3）如圖所示：△ABP的面積為1.5平方厘米，當(dāng)P在BC上時(shí)，則y＝x＝1.5，解得：x＝1，當(dāng)P在AD上時(shí)，則y＝×AP×AB＝（9﹣x）＝1.5，解得：x＝8，綜上所述：x＝1或x＝8時(shí)，△ABP的面積為1.5平方厘米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及三角形面積求出是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）下列圖象中表示y是x的函數(shù)的有幾個(gè)（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐個(gè)圖象判斷，即可得出答案．【詳解】對(duì)于第一個(gè)圖象，取一個(gè)x的值，y的值不唯一，不符合題意；對(duì)于第二個(gè)圖象，取一個(gè)x的值，y有唯一的值相對(duì)應(yīng)，符合題意；對(duì)于第三個(gè)圖象，取一個(gè)x的值，y有唯一的值相對(duì)應(yīng)，符合題意；對(duì)于第四個(gè)圖象，取一個(gè)x的值，y的值不唯一，不符合題意．符合題意有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·上?！ぐ四昙?jí)上海市西南模范中學(xué)校考期中）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，M是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P按的順序在邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程x為自變量，△APM的面積為y，則函數(shù)y的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分三種情況：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在CM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出y與x的關(guān)系式，即可得到答案．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得：，∴；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得：，∴，∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴，∴；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在CM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，∴，∴可知當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)，y隨x增大而減小，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D反映了一輛汽車從甲地開往乙地的過程中，汽車離開甲地的距離s(千米)與所用時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系．已知汽車在途中停車加油一次，根據(jù)圖象，下列描述中，不正確的是（

）A．汽車在途中加油用了10分鐘 B．汽車在加油前后，速度沒有變化C．汽車加油后的速度為每小時(shí)90千米 D．甲乙兩地相距60千米【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示距離，由于函數(shù)圖象不是平滑曲線，故應(yīng)分段考慮．【詳解】解：A、圖中加油時(shí)間為25至35分鐘，共10分鐘，故本選項(xiàng)正確；B、汽車加油前的速度為千米/分；汽車加油后的速度為千米/分；汽車在加油前后，速度發(fā)生了變化，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由B可知，汽車加油后的速度為×60=90千米/時(shí)；故本選項(xiàng)正確；D、由圖可知，甲、乙兩地相距60千米；故本選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的變化分段考慮是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要明確公式：路程=速度÷時(shí)間．4．（2023春·上海靜安·八年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┬∶髟绯繌募因T車到學(xué)校，先上坡后下坡，行程情況如圖，若返回時(shí)上、下坡速度仍保持不變，則小明從學(xué)校騎車回家的時(shí)間是（）分鐘．

A．30 B．31 C．32 D．33【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合速度路程時(shí)間求出小明上坡和下坡的速度，然后根據(jù)時(shí)間路程速度求出小明從學(xué)校騎車回家的時(shí)間即可．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知上坡的速度為，下坡的速度為，∴小明從學(xué)校騎車回家的時(shí)間，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，正確讀懂函數(shù)圖象求出上坡和下坡的速度是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將，代入函數(shù)解析式即可求解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，將自變量的值代入解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·八年級(jí)單元測試）已知一個(gè)等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是10，則底邊y關(guān)于腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式及定義域?yàn)椋ǎ〢．y＝10﹣2x（5＜x＜10） B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）C．y＝10﹣2x（0＜x＜5） D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的定義即三角形的周長公式列出底邊y關(guān)于腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及底邊大于0，列出不等式組，進(jìn)而求得定義域．【詳解】一個(gè)等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是10，即即解得即解得底邊y關(guān)于腰長x之間的函數(shù)關(guān)系式為故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，函數(shù)解析式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）已知常值函數(shù)f(x)=3.那么f(7)=_____.【答案】3.【分析】根據(jù)常值函數(shù)的意義，即可得到答案.【詳解】解：∵f(x)是常值函數(shù)，且f(x)=3，∴f(7)=3；故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了常值函數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是掌握常值函數(shù)的意義，無論x取何值，函數(shù)值都是3.8．（2023春·上海浦東新·八年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）某商店購進(jìn)了甲乙兩種新款電動(dòng)自行車共50輛，其中甲款車的利潤為500元/輛，乙款車的利潤為550元/輛，若設(shè)甲種車購入x輛，銷售完這批車的總利潤為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為___________．【答案】【分析】根據(jù)總利潤等于兩款自行車的利潤的和，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：設(shè)甲種車購入x輛，銷售完這批車的總利潤為y元，根據(jù)題意得：，即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）函數(shù)的自變量的取值范圍是______．【答案】且【分析】根據(jù)二次根式的意義和分式的意義即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)二次根式的意義可知：，即，根據(jù)分式的意義可知：，即，且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的意義和分式的意義，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)意義．二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)大于等于0；分式有意義的條件：分母不為0．10．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速步行2400米，先到終點(diǎn)的人原地休息．已知甲先出發(fā)4分鐘．在整個(gè)步行過程中，甲、乙兩人的距離y(米)與甲出發(fā)的時(shí)間t(分)之間的關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①甲步行的速度為60米/分；②乙走完全程用了30分鐘；③乙用16分鐘追上甲；④乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲離終點(diǎn)還有320米，其中正確的結(jié)論有_________．【答案】①②/②①【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以逐個(gè)判斷結(jié)論是否正確即可解答．【詳解】解：根據(jù)圖象，甲步行分鐘走了米，甲步行的速度為米分，故①正確；由圖象可知，甲出發(fā)分鐘后乙追上甲，則乙用了分鐘追上甲，故③錯(cuò)誤；乙的速度為米分，則乙走完全程的時(shí)間為分，故②正確；當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲步行了米，甲離終點(diǎn)還有米)，故④錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論有①②．故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像，解答的關(guān)鍵是理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想獲取所求問題需要的條件．11．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知f(x)=kx，f()=2，那么k=___________．【答案】【分析】把x=代入解析式，可得k=2，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵f(x)=kx，f()=2，∴x=時(shí)，k=2，解得：k=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·上海松江·八年級(jí)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，則________．【答案】【分析】根據(jù)已知函數(shù)的形式代入求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的自變量的值，理解新定義的函數(shù)形式是解題的關(guān)鍵．13．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）按圖的程序，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值______．【答案】2【分析】根據(jù)確定要代入的相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式后，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是確定要代入的函數(shù)關(guān)系式．14．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）若某人以每分鐘100米速度勻速行走，那么用行走的時(shí)間x（分）表示行走的路程y（米）的解析式為________，這樣行走20公里需要_______小時(shí)．【答案】【分析】根據(jù)路程=速度×?xí)r間可得函數(shù)解析式，再令，求出x，換算可得時(shí)間．【詳解】解：∵路程=速度×?xí)r間，∴行走路程y與x的關(guān)系即為，令，則，∴，∴行走20公里需要小時(shí)，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式，求自變量值，注意路程、速度、時(shí)間的關(guān)系以及單位的換算．15．（2023春·上海青浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【分析】根據(jù)分母不等于0列式計(jì)算即可得解．【詳解】的定義域?yàn)?，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域，一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)．16．（2023春·上海奉賢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，那么______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義求函數(shù)值，將代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)值，熟練掌握函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）如圖所示，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC，CD，DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，△ABP的面積為，如果關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示，那么△ABC的面積是_____．【答案】10【詳解】解：根據(jù)題意可得：AB=5，BC=4，∴△ABC的面積是：×4×5=10．故答案為1018．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）王阿姨從家出發(fā)，去超市交水電費(fèi)．返回途中，遇到鄰居交談了一會(huì)兒再回到家，如圖所示的圖像是王阿姨離開家的時(shí)間（分）和離家距離（米）的函數(shù)圖像．則王阿姨在整個(gè)過程中走得最快的速度是______米/分．【答案】100【分析】根據(jù)題意，分別求出每一段路程的速度，然后進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，0~15分的速度：；25分~35分的速度：；45分~50分的速度：；∵，∴王阿姨在整個(gè)過程中走得最快的速度是100米/分；故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象解決相應(yīng)的問題．三、解答題19．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)全體實(shí)數(shù)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)有意義的條件求解即可；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可；（3）利用分式有意義的條件求解即可；（4）利用二次根式及分式有意義的條件求解即可【詳解】（1）解：為任意值，都有意義，即函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】題目主要考查函數(shù)的定義域，即滿足代數(shù)式有意義的條件，熟練掌握二次根式、分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．20．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）上海磁懸浮列車在一次運(yùn)行中速度V（千米/小時(shí)）關(guān)于時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)圖象如圖，回答下列問題．(1)列車共運(yùn)行了___分鐘(2)列車開動(dòng)后，第3分鐘的速度是___千米/小時(shí)．(3)列車的速度從0千米/小時(shí)加速到300千米/小時(shí)，共用了___分鐘．(4)列車從___分鐘開始減速．【答案】(1)8(2)300(3)2(4)5【分析】根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，解答即可．【詳解】（1）解：列車共運(yùn)行了8分鐘；故答案為：8；（2）列車開動(dòng)后，第3分鐘的速度是300千米小時(shí)；故答案為：300；（3）列車的速度從0千米小時(shí)加速到300千米小時(shí)，共用了2分鐘；故答案為：2；（4）列車從5分鐘開始減速．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象獲得有效信息是解題關(guān)鍵．21．（2023春·上海普陀·八年級(jí)統(tǒng)考期中）張師傅、王師傅兩人從甲地出發(fā)，去8千米外的乙地，圖中線段分別反映了張師傅、王師傅步行所走的路程S（千米）與時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：(1)王師傅比張師傅晚出發(fā)分鐘；(2)王師傅步行的速度為千米/分鐘；(3)王師傅比張師傅早到乙地分鐘.【答案】(1)10(2)0.1(3)6【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象即可直接得出結(jié)果；（2）結(jié)合圖象得出王師傅走的時(shí)間為分，用路程除以時(shí)間即為速度；（3）分別求出兩人相遇后剩余路程所需時(shí)間即可．【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)圖象得：王師傅比張師傅晚出發(fā)10分鐘；故答案為：10；（2）王師傅走的時(shí)間為：分，千米/分鐘，故答案為：；（3）王師傅剩余路程步行的時(shí)間為分鐘，張師傅的速度為：千米/分鐘，剩余路程步行的時(shí)間為分鐘，王師傅比張師傅早到乙地分鐘，故答案為：6．【點(diǎn)睛】題目主要考查根據(jù)函數(shù)圖象獲取相關(guān)信息，有理數(shù)的四則運(yùn)算，理解題意，由圖象得出相關(guān)信息是解題關(guān)鍵．22．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）收割機(jī)的油箱里盛油，使用時(shí)，平均每小時(shí)耗油(1)如果收割機(jī)工作了4小時(shí)，那么油箱還剩多少千克的油？(2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割機(jī)工作的時(shí)間為多少小時(shí)？(3)寫出油箱里剩下的油與使用收割機(jī)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式？(4)在此函數(shù)關(guān)系式中，求函數(shù)定義域．【答案】(1)油箱還剩41千克的油(2)使用收割機(jī)工作的時(shí)間為6小時(shí)(3)(4)函數(shù)定義域?yàn)椤痉治觥浚?）用所盛油量減去4小時(shí)消耗的油量即可；（2）用所盛油量減去用掉的油量，再除以耗油速度即可；（3）根據(jù)剩下的油=總油量每小時(shí)耗油量×工作時(shí)間即可列出關(guān)系式；（4）求出用所盛油量可供使用的時(shí)間即可得到定義域．【詳解】（1）解：由題意可得，，即收割機(jī)工作了4小時(shí)，油箱還剩油；（2）（小時(shí)），即如果油箱里用掉油，那么使用收割機(jī)工作的時(shí)間為6小時(shí)；（3）由題意可得，，即油箱里剩下的油與使用收割機(jī)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式是；（4）當(dāng)時(shí)，，得，即函數(shù)定義域是．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．23．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）一種豆子在市場上出售，豆子的總售價(jià)與所售豆子的數(shù)量之間的數(shù)量關(guān)系如下表:所售豆子數(shù)量x（千克）01234售價(jià)y（元）012345678(1)上表反映的變量是_____和____，___