【整合課件】6.1-第2課時-兩個計數(shù)原理的應(yīng)用

計數(shù)原理第六章第2課時兩個計數(shù)原理的應(yīng)用6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課前預(yù)習(xí)案兩個計數(shù)原理的區(qū)別計數(shù)原理分類加法分步乘法區(qū)別一每類辦法都能獨立完成這件事．它是獨立的、一次的且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就完成任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類辦法之間是_________，_________，_________各步之間是_____________，并且既不能_______，也不能_______互斥的并列的獨立的相互依存的重復(fù)遺漏1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“√”，錯誤的打“×”．(1)將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同的放法有34個． (

)(2)從甲、乙等6人中選出3名代表，甲一定當(dāng)選，則有20種選法． (

)(3)(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展開后共有36項． (

)(4)三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過5次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有10種． (

)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√2．由1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 (

)A．36

B．24

C．12

D．6答案B解析由題意知可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為4×3×2＝24．3．從甲地到乙地，每天有直達(dá)汽車4班，從甲地到丙地，每天有5個班車，從丙地到乙地，每天有3個班車，則從甲地到乙地不同的乘車方法有 (

)A．12種 B．19種C．32種 D．60種答案B解析由題意得，分兩類：第一類直接到達(dá)，共有4種方法，第二類間接到達(dá)，共有5×3＝15種方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得4＋15＝19種．4．從－1,0,1,2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，則可組成________個不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有________個．(用數(shù)字作答)答案18

6

解析一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計數(shù)原理知共有3×3×2＝18(個)二次函數(shù)．若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b＝0，同上可知共有3×2＝6(個)偶函數(shù)．

用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？課堂探究案探究一組數(shù)問題解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125種．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100種．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12種排法；另一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18種排法．因而有12＋18＝30種排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．[變式1]由本例中的五個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去用過的一個還有3個可任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理共有2×3×3×2＝36個．[變式2]在本例條件下，能組成多少個能被3整除的四位數(shù)？解一個四位數(shù)能被3整除，必須各位上數(shù)字之和能被3整除，故組成四位數(shù)的四個數(shù)字只能是0,1,2,3或0,2,3,4兩類．所以滿足題設(shè)的四位數(shù)共有2×3×3×2×1＝36個．[方法總結(jié)]常見的組數(shù)問題及解題原則(1)常見的組數(shù)問題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的和或數(shù)字間滿足某種特殊關(guān)系等．(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對數(shù)字的要求，針對這一要求通過分類、分步進(jìn)行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進(jìn)行組數(shù)． (1)高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有 (

)A．16種 B．18種C．37種 D．48種答案C解析高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐有43種不同的分配方案，若三個班都不去工廠甲則有33種不同的分配方案．則滿足條件的不同的分配方案有43－33＝37(種)．探究二抽取與分配問題(2)甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有_________種．答案9

解析不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后第二個來取，共3種取法，余下來的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．[方法總結(jié)]選(抽)取與分配問題的常見類型及其解法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用列舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法．(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．[訓(xùn)練2]3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？解法一：(以小球為研究對象)分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝5×4×3＝60(種)．法二：(以盒子為研究對象)盒子標(biāo)上序號1,2,3,4,5，分成以下10類：第一類：空盒子標(biāo)號為(1,2)：選法有3×2×1＝6(種)；第二類：空盒子標(biāo)號為(1,3)：選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標(biāo)號為(1,4)：選法有3×2×1＝6(種)；分類還有以下幾種情況：空盒子標(biāo)號分別為(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10類，每一類都有6種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共有方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60(種)．

將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂在如圖所示的圖中五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？探究三涂色問題解題程序：第一步：泛讀題目明待求結(jié)論：求圖中區(qū)域的涂色方法數(shù)．第二步：精讀題目挖已知條件：已知圖中有五個區(qū)域，其中A和E不相鄰，且相鄰區(qū)域顏色不同．第三步：建立聯(lián)系尋解題思路：A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色取決于B與D涂的顏色，如果B與D顏色相同有2種，如果不相同，那么只有1種．因此應(yīng)先分類后分步．第四步：書寫過程養(yǎng)規(guī)范習(xí)慣．解

法一：(1)當(dāng)B與D同色時，有4×3×2×1×2＝48種．(2)當(dāng)B與D不同色時，有4×3×2×1×1＝24種．故共有48＋24＝72種不同的涂色方法．法二：按涂色時所用顏色種數(shù)多少分類：第一類，用4種顏色．此時B，D區(qū)域或A，E區(qū)域同色，則共有2×4×3×2×1＝48種不同涂法．第二類，用3種顏色．此時B，D同色，A，E同色，先從4種顏色中取3種，再涂色，共4×3×2×1＝24種不同涂法．由分類加法計數(shù)原理共48＋24＝72種不同涂法．[方法總結(jié)]求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析；(2)以顏色(種植作物)為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類加法計數(shù)原理分析；(3)對于涂色問題將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題．答案D解析分兩種情況：