高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)第04講 數(shù)列求和（含答案及解析）

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查倒序相加法 1題型二：重點(diǎn)考查分組求和（形如） 3題型三：重點(diǎn)考查分組求和（形如） 5題型四：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（等差型） 7題型五：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型：形如） 9題型六：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型：形如） 11題型七：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 13題型八：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和 15題型九：重點(diǎn)考查其他方法求和 17題型一：重點(diǎn)考查倒序相加法典型例題例題1．（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094例題2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．例題3．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為.精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)，若，試求：（1）；（2）．2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.題型二：重點(diǎn)考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┘褐炔顢?shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公比為3的等比數(shù)列與首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，數(shù)列的前和為，求．例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.精練核心考點(diǎn)1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2024上·甘肅酒泉·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2024上·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學(xué)?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列，其前項(xiàng)和為．若．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．題型三：重點(diǎn)考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．精練核心考點(diǎn)1．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，且________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型四：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（等差型）典型例題例題1．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（2024上·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例題3．（2024上·山東泰安·高三校考期末）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．精練核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東深圳·高二校考期末）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型五：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型：形如）典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·天津·高二耀華中學(xué)?？计谀?duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則（

）.A．65 B．67 C．74 D．82（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型六：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.例題2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的最大項(xiàng)；(3)若數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且．(1)求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意正整數(shù)，都有．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型七：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法典型例題例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足關(guān)系式．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3．（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項(xiàng)和為.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項(xiàng)和.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和2．（2024上·四川瀘州·高二瀘縣五中校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項(xiàng)和，且依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，(1)求及；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.題型八：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和典型例題例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中再選取一個(gè)作為條件，解決下面問(wèn)題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求．例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足是與的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型九：重點(diǎn)考查其他方法求和典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．例題2．（2023下·河北保定·高二河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，_____________.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，記，求的前項(xiàng)和.例題3．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項(xiàng)和．精練核心考點(diǎn)1．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.2．（2023下·江蘇宿遷·高二宿遷中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在①，；②公差為1，且成等比數(shù)列；③，，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.問(wèn)題：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足___________(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為且.數(shù)列足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為區(qū)間內(nèi)整數(shù)的個(gè)數(shù)求數(shù)列的前50項(xiàng)和.

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查倒序相加法 1題型二：重點(diǎn)考查分組求和（形如） 5題型三：重點(diǎn)考查分組求和（形如） 9題型四：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（等差型） 16題型五：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型：形如） 20題型六：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型：形如） 23題型七：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法 29題型八：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和 34題型九：重點(diǎn)考查其他方法求和 38題型一：重點(diǎn)考查倒序相加法典型例題例題1．（2024·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【答案】D【詳解】，即設(shè)①，則②①+②得，所以，又，所以.故選：D.例題2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．【答案】【詳解】，，因?yàn)棰?，所以②，兩式相加得，所?故答案為：例題3．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為.【答案】2022【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以，因此數(shù)列的前2022項(xiàng)和為，故答案為：2022精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)，若，試求：（1）；（2）．【答案】1500【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?（2）由（1）可得，.所以，，所以.故答案為：1；500.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【答案】46【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋O(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，，相加得所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.【答案】11【詳解】因，設(shè)，則，故.故答案為：11題型二：重點(diǎn)考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┘褐炔顢?shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項(xiàng)，是和的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）由題意得，又，設(shè)的公比為，故，相加得，則①，兩式相除得②，又，所以③，由①③得④，由②④得，解得，解得或0（舍去），由得，，所以，所以，其中，故，（2），其中，，故例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知公比為3的等比數(shù)列與首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列，數(shù)列的前和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，所以?）由（1）知，，所以，.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），則（），當(dāng)時(shí)，，即，將代入，解得，則，適合（），所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1得），.故.精練核心考點(diǎn)1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）數(shù)列滿足,整理得：，所以，即又，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，，，所以．．2．（2024上·甘肅酒泉·高三校考期末）已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，則，，則，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.3．（2024上·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學(xué)?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列，其前項(xiàng)和為．若．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．，，，又，，．的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，，，，，．題型三：重點(diǎn)考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，設(shè)，則，兩式相減得，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，設(shè)，所以；綜上所述：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則；綜上所述：.例題2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，兩式相減可得，因?yàn)?，，所以，所以，所以，，，，是首?xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，，，，，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則，，故；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；綜上所述：.精練核心考點(diǎn)1．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，且________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，.(2)【詳解】（1）由，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.選①，由，，成等差數(shù)列，可得，即，解得，所以.選②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，所以.選③，由，得，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，記前項(xiàng)和中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，則.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，記前項(xiàng)和中的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，故.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）法一:當(dāng)時(shí)，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項(xiàng)公式是．法二：因?yàn)?，所以，同理可得，故，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，①、②兩式相減得：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上，.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，又，所以因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，化簡(jiǎn)得，又，所以，所以；（2）由（1）可得：，則，則當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即.題型四：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（等差型）典型例題例題1．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1);(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的等比為，因?yàn)?，，，所以，解得?（2）因?yàn)?，所以，則，所以.例題2．（2024上·全國(guó)·高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)滿足條件的所有的值為或或【詳解】（1）∵，①∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，②由①－②得，∴，，．當(dāng)時(shí)，符合，∴，．（2）存在．由（1）知，∴，∴．令，得．∵，∴的可能值為4，6，12，即的值為1，3，9，對(duì)應(yīng)的的值為，∴存在正整數(shù)，使得．因此滿足條件的所有的值為或或例題3．（2024上·山東泰安·高三校考期末）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，則；，由于，則，故解得，則.（2），所以.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，顯然符合通項(xiàng)，所以；因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，因?yàn)?，，所以公差，，則；（2）由（1）知，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：2．（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由題意可知，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，，所以.所以，當(dāng)時(shí)，.故.3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由,則，解得則；（2）由（1）得則題型五：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（無(wú)理型：形如）典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解法一：由得，由累乘法得.解法二：由得，則數(shù)列是各項(xiàng)為1的常數(shù)列，所以，即.（2）由（1）得，所以.例題2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）令，，則舍去，所以.（2），因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時(shí)，，（3）令，所以精練核心考點(diǎn)1．（2024上·天津·高二耀華中學(xué)?？计谀?duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和為，則（

）.A．65 B．67 C．74 D．82【答案】C【詳解】由題知，，所以，，，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以.故選：C.2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【詳解】數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：題型六：重點(diǎn)考查裂項(xiàng)相消法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，兩式相減得，，化簡(jiǎn)可得，所以，即，又可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，可得（2）由（1）可知，，所以，則，，，，因?yàn)?，所以，則.例題2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的最大項(xiàng)；(3)若數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.（2）解：因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)除以可得，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，所以，，所以，，由可得，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，即，由可得，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，即，所以，數(shù)列中的最大項(xiàng)為.（3）解：因?yàn)椋?，，因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1),(2)(3)【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因?yàn)?，，所以，，所以，解得，所?（2）由（1）可得，，所以，，所以，所以.（3），所以.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且．(1)求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由題知正項(xiàng)數(shù)列，且，所以有，兩式相除得，即，兩邊取對(duì)數(shù)有，即，所以，所以，結(jié)合，所以，即數(shù)列是常數(shù)列，所以，即，所以.（2）由（1）知，所以，所以，故，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，即，得證.2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意正整數(shù)，都有．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）數(shù)列中，，則，兩式相減得，即，因此，又當(dāng)時(shí)，，得

即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為5公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得，即，則有，又，因此是常數(shù)數(shù)列，即，則，從而所以.3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.題型七：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法典型例題例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足關(guān)系式．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，解得，，由，則當(dāng)時(shí)，有，則，故，當(dāng)時(shí)，有，故，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，故，則，則，.例題2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，將得，當(dāng)時(shí)也適用，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，所以，，將得，化簡(jiǎn)得.例題3．（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項(xiàng)和為.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.又滿足，所以.由題意，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足，所以.（2），，，①②.①-②得，所以.精練核心考點(diǎn)1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，得，則，所以，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）知，，所以，①故，②①-②得：，所以2．（2024上·四川瀘州·高二瀘縣五中校考期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，可得.故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2），則，兩邊都乘以，得，以上兩個(gè)式子相減，可得：，故.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項(xiàng)和，且依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，(1)求及；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由依次成等比數(shù)列，，，即，解得（舍）或，，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由可得，相減得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，故；（2）依題，，，故，.題型八：重點(diǎn)考查數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和典型例題例題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中再選取一個(gè)作為條件，解決下面問(wèn)題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．選擇①：（1）因?yàn)?，所以，解得．所以，則，利用二次函數(shù)對(duì)稱性和開口方向知，關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以?dāng)或6時(shí)，.選擇②：因?yàn)?，可得，因?yàn)?，所以，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)或11時(shí)，最小，此時(shí).選擇③：因?yàn)?，所以，即，所以，所以，則，利用二次函數(shù)對(duì)稱性和開口方向知，關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，所以?dāng)或6時(shí)，.（2）解：若選擇①或③：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以.若選擇②：由（1）知，且當(dāng)時(shí)，，且，所以.例題2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足是與的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，解得，設(shè)的公比為，因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，即，解得，從而，故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是；（2）由（1）知，所以，，設(shè)的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，易知數(shù)列是首項(xiàng)為6，公差為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，易知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和．例題3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項(xiàng)和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，依題意得，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），，所以經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.（2）依題意得，，，其前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，，故，當(dāng)時(shí)，，故所以.精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，，則，得；則；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;（2）由題可知2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知時(shí)，，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)椋?，解得，且，?dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；綜上所述：.題型九：重點(diǎn)考查其他方法求和典型例題例題1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)