（圓夢高考數(shù)學）專題9.3 橢圓（含答案及解析）

專題9.3橢圓題型一橢圓的定義題型二橢圓的標準方程題型三橢圓的焦點三角形題型四距離和差的最值問題題型五橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六求橢圓離心率題型七求橢圓離心率的取值范圍題型一 橢圓的定義例1．（2023秋·高三課時練習）已知點P為橢圓上動點，分別是橢圓C的焦點，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4例2．（2021秋·高三單元測試）在平面直角坐標系中，已知點和，點B在橢圓上，則=________，的最小值是________．練習1．（2022秋·高二課時練習）已知，動點C滿足，則點C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點練習2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25練習3．（2021秋·高三課時練習）平面內(nèi)有一個動點M及兩定點A，B．設(shè)p：為定值，q：點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件練習4．（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）已知為橢圓的左、右焦點，點在上，則的最小值為___________．練習5．（2023·全國·高三專題練習）已知動點滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動點的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線題型二 橢圓的標準方程例3．（2023秋·高二課時練習）常數(shù)，橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則a的值為__________．例4．（2021秋·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)一個焦點坐標為，離心率；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8；(3)求經(jīng)過點M(1,2)，且與橢圓有相同離心率的橢圓的標準方程．練習6．（2023·全國·高三對口高考）根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程(1)兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；(2)兩個焦點的坐標分別是、，并且橢圓經(jīng)過點；(3)橢圓經(jīng)過兩點，；(4)離心率為且過點；練習7．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個標準方程為______.練習8．（2023秋·高三課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對練習9．（2023秋·高二課時練習）已知分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，（O為坐標原點）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為__________．練習10．（2023·全國·高三專題練習）已知焦點在軸上的橢圓的焦距等于，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．題型三 橢圓的焦點三角形例5．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，且，則的面積為（

）A． B． C． D．例6．（2023·北京·101中學校考三模）已知分別是雙曲線的左右焦點，是上的一點，且，則的周長是__________．練習11．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠中學校?？计谥校┮阎本€與橢圓交于兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是___________.練習12．（2022秋·高三課時練習）已知點在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積練習13．（2023·福建寧德·?？寄M預測）如圖，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為__________

練習14．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）橢圓的一個焦點是F，過原點O作直線(不經(jīng)過焦點)與橢圓相交于A，B兩點，則的周長的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20練習15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）橢圓的左右兩焦點分別為，點在橢圓上，正三角形面積為，則橢圓的方程為______．題型四 距離和差的最值問題例7．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)P是橢圓上一點，M、N分別是兩圓：和上的點，則的最小值、最大值分別是________．例8．（2022秋·貴州遵義·高三習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為__________.練習16．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11練習17．（2021秋·高三課時練習）已知點F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2練習18．（2020·北京·高三校考強基計劃）（多選）已知點，P為橢圓上的動點，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為練習19．（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學?？茧A段練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是，則的最大值是______．練習20．（2022·高三課時練習）（多選）已知是左右焦點分別為，的上的動點，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點，使 D．的最大值為題型五 橢圓的簡單幾何性質(zhì)例9．（2023秋·高三課時練習）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A． B．C． D．例10．（2023秋·高二課時練習）已知P點是橢圓上的動點，A點坐標為，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習21．（2023春·上海長寧·高三上海市第三女子中學?？计谥校E圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同練習22．（2023秋·高三課時練習）橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、頂點坐標，并用描點法畫出它的圖形．練習23．（2022秋·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？茧A段練習）一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標準方程為______.練習24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線y＝m與C交于A，B兩點（A在y軸右側(cè)），O為坐標原點，則下列說法正確的是（

）A．B．當時，四邊形ABF1F2為矩形C．若，則D．存在實數(shù)m使得四邊形ABF1O為平行四邊形練習25．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，若是該橢圓上的一個動點，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與題型六 求橢圓離心率例11．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．例12．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）設(shè)內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點重合，邊過的中心，若邊上中線過點，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為______.練習26．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．練習27．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，.若關(guān)于直線的對稱點P恰好在橢圓C上，則橢圓C的離心率為______.練習28．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知橢圓：，過中心的直線交于，兩點，點在軸上，其橫坐標是點橫坐標的3倍，直線交于點，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則的離心率為（

）A． B． C． D．練習29．（2022秋·高三課時練習）已知是橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且滿足，，則該橢圓的離心率是（

）A． B．C． D．練習30．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交于兩點（點在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．題型七 求橢圓離心率的取值范圍例13．（2023秋·高三課時練習）設(shè)分別是橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例14．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？寄M預測）已知為圓上一點，橢圓焦距為6，點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍為_________________．練習31．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）設(shè)是橢圓的上頂點，是上的一個動點．當運動到下頂點時，取得最大值，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習32．（2022秋·高三課時練習）橢圓的焦點在軸上，則它的離心率的取值范圍是（

）A．（0，） B．（，]C． D．練習33．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知點，為橢圓上的兩點，點滿足，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習34．（2023春·寧夏吳忠·高三吳忠中學?？计谥校┮阎獧E圓的下頂點為，右焦點為，直線AF交橢圓于點，，若，則橢圓的離心率的取值范圍是______．練習35．（2023·河北·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為圓與的一個公共點，若，則當時，橢圓的離心率的取值范圍為______.

專題9.3橢圓題型一橢圓的定義題型二橢圓的標準方程題型三橢圓的焦點三角形題型四距離和差的最值問題題型五橢圓的簡單幾何性質(zhì)題型六求橢圓離心率題型七求橢圓離心率的取值范圍題型一 橢圓的定義例1．（2023秋·高三課時練習）已知點P為橢圓上動點，分別是橢圓C的焦點，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由橢圓的定義可得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，所以，又由橢圓的定義可得，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故選：D.例2．（2021秋·高三單元測試）在平面直角坐標系中，已知點和，點B在橢圓上，則=________，的最小值是________．【答案】/2【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合正弦定理可求得的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】由已知得，故點A，C為橢圓的焦點，由正弦定理及橢圓的定義可得，當B點位于橢圓的左頂點時，最小，最小值是，故答案為：；2練習1．（2022秋·高二課時練習）已知，動點C滿足，則點C的軌跡是（）A．橢圓 B．直線C．線段 D．點【答案】C【分析】由，作出判斷即可．【詳解】因為，所以，知點C的軌跡是線段AB．故選：C.練習2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖像，結(jié)合條件可得，，再結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點為，橢圓的左右焦點分別為，則為的中點，為的中點，所以，同理，所以.故選:C練習3．（2021秋·高三課時練習）平面內(nèi)有一個動點M及兩定點A，B．設(shè)p：為定值，q：點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)為定值，且定值大于時軌跡才是橢圓，從而得到答案.【詳解】當為定值時，若定值大于時，點M軌跡是橢圓，若定值等于，點M軌跡是線段，若定值小于，則軌跡不存在；當點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓時，必為定值；所以，但，故p為q的必要不充分條件．故選：B練習4．（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）已知為橢圓的左、右焦點，點在上，則的最小值為___________．【答案】/【分析】利用橢圓的定義和基本不等式直接求最值.【詳解】因為點在橢圓上，所以，所以.所以（當且僅當，即時等號成立）.所以的最小值為.故答案為：.練習5．（2023·全國·高三專題練習）已知動點滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動點的軌跡是（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】的幾何意義為點與點間的距離，同理的幾何意義為點與點間的距離，且又由為大于零的常數(shù)，可知，當且僅當，即時取等，故，即動點到點與到點的距離之和為定值，且大于，所以動點的軌跡為橢圓，故選：C.題型二 橢圓的標準方程例3．（2023秋·高二課時練習）常數(shù)，橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則a的值為__________．【答案】3或【分析】分，討論，根據(jù)條件列出等式，即求.【詳解】由橢圓，可得橢圓，當時，表示焦點在x軸上的橢圓，∴，即，當時，表示焦點在y軸上的橢圓，∴，即，綜上，實數(shù)a的值為3或.故答案為：3或.例4．（2021秋·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)一個焦點坐標為，離心率；(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8；(3)求經(jīng)過點M(1,2)，且與橢圓有相同離心率的橢圓的標準方程．【答案】(1)＋＝1(2)＋＝1(3)＋＝1或＋＝1【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點結(jié)合離心率求得的值，進一步計算得到橢圓的方程；（2）根據(jù)題意得出為等腰直角三角形，得到，再由，求得的值，即可求得橢圓的方程；（3）由所求橢圓與橢圓有相同離心率，得到，分類討論，即可求得橢圓的方程.【詳解】（1）（1）依題意，焦點在x軸上，且c＝3，又，則a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)橢圓方程為，如圖所示，由一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8，可得為等腰直角三角形，為斜邊的中線(高線)，又由，所以，所以，故所求橢圓的方程為.

（3）由題意，橢圓，可得長半軸，短半軸，，因為所求橢圓與橢圓有相同離心率，可得，解得，即，當橢圓的焦點在軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為，將點代入橢圓的方程，可得，解得，所以橢圓的方程為；當橢圓的焦點在軸上時，設(shè)所求橢圓的方程為，將點代入橢圓的方程，可得，解得，所以橢圓的方程為，綜上可得，橢圓的方程為或.練習6．（2023·全國·高三對口高考）根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程(1)兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；(2)兩個焦點的坐標分別是、，并且橢圓經(jīng)過點；(3)橢圓經(jīng)過兩點，；(4)離心率為且過點；【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）依題意可得、，即可求出，從而得解；（2）依題意可得，根據(jù)橢圓的定義及兩點的距離公式求出，即可求出，從而得解；（3）設(shè)橢圓方程為，代入點的坐標得到方程組，求出參數(shù)的值，即可得解；（4）分焦點在軸、軸兩種情況討論，分別計算可得.【詳解】（1）依題意、，所以，則，所以橢圓方程是.（2）依題意橢圓的焦點在軸上，．又橢圓經(jīng)過點，，所以，則，橢圓方程是.（3）設(shè)橢圓方程為，依題意可得，解得，所以橢圓方程是.（4）若焦點在軸上，則，又離心率，所以，則，所以橢圓方程為；若焦點在軸上，則，又離心率，，解得，所以橢圓方程為；綜上可得，所求橢圓方程為或.練習7．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）若橢圓的焦點在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個標準方程為______.【答案】（答案不唯一）【分析】先求得橢圓：的離心率，進而可以得到橢圓的一個標準方程.【詳解】橢圓：的離心率為.則焦點在軸上離心率為的橢圓可?。?故答案為：練習8．（2023秋·高三課時練習）若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對【答案】B【分析】由短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成個正三角形可得，由焦點到橢圓上點的最短距離為，結(jié)合可得.【詳解】

由題意，當橢圓焦點在軸上，設(shè)橢圓方程為：，由題意，，所以，，，，所以橢圓方程為：，當橢圓焦點在軸上時，同理可得：，故選：B練習9．（2023秋·高二課時練習）已知分別為橢圓的左、右焦點，點P在橢圓上，（O為坐標原點）是面積為的正三角形，則此橢圓的方程為__________．【答案】【分析】不妨設(shè)點位于第一象限，且，由題意得到，解得，結(jié)合橢圓的定義，求得，得到，即可求得橢圓的方程.【詳解】不妨設(shè)點位于第一象限，且，因為是面積為的正三角形，可得，解得，所以，由橢圓的定義得，所以，則，所以橢圓的標準方程為.故答案為：.

練習10．（2023·全國·高三專題練習）已知焦點在軸上的橢圓的焦距等于，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由橢圓的焦點在軸上確定，再根據(jù)即可求.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以，根據(jù)題意可得，解得.故選：D.題型三 橢圓的焦點三角形例5．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習）在橢圓中，已知焦距為2，橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓中焦點三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義與余弦定理即可求得各邊長，再利用面積公式即可求得的面積.【詳解】由題可知，焦距，則，又橢圓上的一點與兩個焦點的距離的和等于4，即，所以，在中，，由余弦定理得：，整理得，所以，則，故的面積.故選：D.例6．（2023·北京·101中學?？既＃┮阎謩e是雙曲線的左右焦點，是上的一點，且，則的周長是__________．【答案】34【分析】由雙曲線定義可得，再利用之間的關(guān)系求得，從而得到所求周長.【詳解】因為，所以，故，則，又，故，則，，所以的周長為.故答案為：34.練習11．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠中學校?？计谥校┮阎本€與橢圓交于兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是___________.【答案】20【分析】根據(jù)題意可知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，結(jié)合橢圓的定義即可求解.【詳解】橢圓,所以，得，則橢圓的右焦點為，所以直線經(jīng)過橢圓的右焦點，由橢圓的定義可知，的周長為.故答案為：20.練習12．（2022秋·高三課時練習）已知點在橢圓上，是橢圓的焦點，且，求(1)(2)的面積【答案】(1)48(2)24【分析】（1）根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理運算求解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)果運算求解即可.【詳解】（1）因為橢圓方程為，則，即，可得，因為，則即，所以.（2）由（1）得，因為，所以.

練習13．（2023·福建寧德·?？寄M預測）如圖，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為__________

【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義及直徑所對的圓周角等于，利用勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導公式及斜率的定義即可求解.【詳解】連接，如圖所示

設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，,所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故答案為：.練習14．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考期末）橢圓的一個焦點是F，過原點O作直線(不經(jīng)過焦點)與橢圓相交于A，B兩點，則的周長的最小值是（

）A．14 B．15 C．18 D．20【答案】C【分析】不妨取為左焦點，為右焦點，連接，，則為平行四邊形，的周長大于等于，計算得到答案.【詳解】如圖所示：不妨取為左焦點，為右焦點，連接，，則為平行四邊形，的周長為，當，為橢圓上下頂點時等號成立.故選：C練習15．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）橢圓的左右兩焦點分別為，點在橢圓上，正三角形面積為，則橢圓的方程為______．【答案】【分析】邊的中點的橫坐標為，代入橢圓方程得到，求得，根據(jù)題意得到且，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，邊的中點的橫坐標為，把代入橢圓方程可得，解得，因為正三角形的面積為，可得，且，即，解得，將，且，代入，可得，解得或，因為，所以，則，所以橢圓的方程為.故答案為：.

題型四 距離和差的最值問題例7．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)P是橢圓上一點，M、N分別是兩圓：和上的點，則的最小值、最大值分別是________．【答案】4，8【分析】由題可得兩個圓心恰好是橢圓的焦點，結(jié)合橢圓的定義，橢圓上的點到兩個焦點距離之和為定值，再根據(jù)圓外一點到圓上點距離的最小值為點到圓心距離減去半徑，最大值為點到圓心距離加上半徑，即可求解.【詳解】橢圓的兩個焦點坐標為，且恰好為兩個圓的圓心坐標，兩個圓的半徑相等都等于1，則由橢圓的定義可得故橢圓上動點與焦點連線與圓相交于、時，最小，所以，.故答案為：4，8.例8．（2022秋·貴州遵義·高三習水縣第五中學校聯(lián)考期末）已知點是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為__________.【答案】8【分析】由題意得圓的圓心是橢圓的左焦點，，利用橢圓的定義，結(jié)合圖像得到，然后由即可求出的最大值.【詳解】如圖,由，得，則，則圓的圓心是橢圓的左焦點，橢圓的右焦點為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故答案為：8練習16．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，利用可求的最大值.【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當且僅當共線且在中間時等號成立，故的最大值為.故選：A.練習17．（2021秋·高三課時練習）已知點F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．2【答案】C【分析】設(shè)，由坐標表示，由向量模的平方結(jié)合橢圓的范圍得最小值．【詳解】橢圓的左右焦點.設(shè)，則，，∴，又，則.∴∵點P在橢圓上，∴，∴當時，取最小值2．故選：C．練習18．（2020·北京·高三?？紡娀媱潱ǘ噙x）已知點，P為橢圓上的動點，則的（

）A．最大值為 B．最大值為C．最小值為 D．最小值為【答案】BD【分析】利用橢圓的定義可求的最值.【詳解】注意到Q為橢圓的右焦點，設(shè)其橢圓的左焦點為，則，而的取值范圍是，即，因此所求最大值為，最小值為．故選：BD.練習19．（2023春·四川遂寧·高二遂寧中學?？茧A段練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓上的動點，橢圓內(nèi)部一點M的坐標是，則的最大值是______．【答案】21【分析】由題意畫出圖形，利用橢圓定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形兩邊之差小于第三邊及兩點間的距離公式求解．【詳解】由橢圓得，則橢圓右焦點為，點M在橢圓內(nèi)部，如圖所示，則故答案為：21．練習20．（2022·高三課時練習）（多選）已知是左右焦點分別為，的上的動點，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點，使 D．的最大值為【答案】BD【分析】設(shè)，則，進而根據(jù)兩點之間的距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求解判斷A；根據(jù)橢圓定義判斷B；根據(jù)為短軸端點時，判斷C；根據(jù)，，三點共線時，有最大值判斷D.【詳解】解：對于A選項，設(shè)，則，即，所以，又，所以當時，，故A錯誤，對于B選項，由橢圓定義，，故B正確對于C選項，當為短軸端點時，，，，故，進而，故C錯誤，對于D選項，，當，，三點共線時，有最大值，故D正確.故選：BD題型五 橢圓的簡單幾何性質(zhì)例9．（2023秋·高三課時練習）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)可知，代入橢圓標準方程即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為，易知，且，解得；所以，故橢圓方程為.故選：A例10．（2023秋·高二課時練習）已知P點是橢圓上的動點，A點坐標為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用兩點間距離公式結(jié)合橢圓方程運算求解.【詳解】設(shè)，則，因為P點在橢圓上，則，記，所以，又因為開口向上，對稱軸，且，所以當時，取到最小值.故選：B.練習21．（2023春·上海長寧·高三上海市第三女子中學?？计谥校E圓和（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同【答案】C【分析】由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】對于橢圓，，，，∴，，，∴長軸長，短軸長，焦距，對于橢圓，，，，∴，，，∴長軸長，短軸長，焦距，∴橢圓和的長軸長和短軸長均不相等，故頂點不相同，焦距相等.故選：C.練習22．（2023秋·高三課時練習）橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、頂點坐標，并用描點法畫出它的圖形．【答案】(1)；(2)長軸長為4；短軸長為；離心率為；頂點坐標為，作圖見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；（2）根據(jù)長軸長、短軸長、離心率、頂點坐標的定義求解，并描出頂點畫圖即可.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點坐標分別為，長軸長，即，，故橢圓的方程為.（2）由橢圓的方程為可得，橢圓的長軸長，短軸長，離心率為，頂點坐標為，作圖如下：

練習23．（2022秋·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中校考階段練習）一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在軸的正半軸上，則該圓的標準方程為______.【答案】【分析】設(shè)出圓心與半徑，根據(jù)過橢圓的上頂點、左右頂點，由半徑相等列方程求解.【詳解】由及圓心位置知：圓經(jīng)過橢圓的上頂點坐標為，左右頂點坐標為，設(shè)圓的圓心，半徑為，則，解得，，故圓的方程為.故答案為：.練習24．（2023·云南昆明·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線y＝m與C交于A，B兩點（A在y軸右側(cè)），O為坐標原點，則下列說法正確的是（

）A．B．當時，四邊形ABF1F2為矩形C．若，則D．存在實數(shù)m使得四邊形ABF1O為平行四邊形【答案】ABD【分析】由橢圓的定義與對稱性可判斷A；求出，的坐標，即可判斷B；設(shè)，若，則，又，求得，即可判斷C；若四邊形為平行四邊形，則，即的橫坐標為即可，代入橢圓方程可得，即可判斷D.【詳解】由橢圓與關(guān)于軸對稱，可得，故A正確；當時，可得，又，則，則四邊形為矩形，故B正確；設(shè)，則，若，則，又，聯(lián)立消元得，解得，故C錯誤；若四邊形為平行四邊形，則，即的橫坐標為即可，代入橢圓方程可得，故當時，四邊形為平行四邊形，故D正確．故選：ABD．練習25．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，若是該橢圓上的一個動點，則的最大值和最小值分別為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】設(shè)點，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值和最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則點、，設(shè)點，則，且，則，所以，，，所以，，所以，當時，取最小值，當時，取最大值.故選：A.題型六 求橢圓離心率例11．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的坐標，根據(jù)得出的坐標，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.【詳解】

不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標為，令，解得，即.設(shè)，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A例12．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）設(shè)內(nèi)接于橢圓，與橢圓的上頂點重合，邊過的中心，若邊上中線過點，其中為橢圓的半焦距，則該橢圓的離心率為______.【答案】【分析】畫出草圖，分析可知為的重心，求解即可.【詳解】如圖：邊過的中心，所以為的中點，則為邊上的中線，邊上中線過點，所以兩中線的交點為，即為的重心，所以，即，則，所以，所以，所以，所以.故答案為：.練習26．（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學?？寄M預測）已知，是橢圓的左、右焦點，是的上頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，由，點在第三象限，，則，代入直線方程中得整理得，則，∴橢圓的離心率.故選：B.練習27．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預測）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，.若關(guān)于直線的對稱點P恰好在橢圓C上，則橢圓C的離心率為______.【答案】/【分析】根據(jù)，，利用斜率公式列方程組求得P點坐標，代入橢圓方程構(gòu)造齊次式可解.【詳解】由題知，，，設(shè)，記直線與交于點Q，由題知Q為的中點，又O為的中點，所以，所以...①，又，所以...②，聯(lián)立①②解得，代入橢圓方程得，將代入上式，整理可得，即，解得或（舍去），所以.故答案為：

練習28．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）已知橢圓：，過中心的直線交于，兩點，點在軸上，其橫坐標是點橫坐標的3倍，直線交于點，若直線恰好是以為直徑的圓的切線，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三條直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點差法可得.【詳解】

設(shè)，，則，，設(shè)、、，分別為直線、、的斜率，則，，，因直線是以為直徑的圓的切線所以，，所以，又在直線上，所以，因、在上，所以，，兩式相減得，整理得，故，即，，故，故選：D練習29．（2022秋·高三課時練習）已知是橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且滿足，，則該橢圓的離心率是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到線段之間的關(guān)系，橢圓的離心率，根據(jù)等腰三角形三線合一先求即可.【詳解】

因為，所以，又因為，所以，因，所以，，可得：，，，所以點在短軸的頂點上，在等腰三角形中，，故選為：D練習30．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線經(jīng)過左焦點且交于兩點（點在第一象限），設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為，若，則橢圓的離心率的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由橢圓定義及三角形面積公式得到，設(shè)聯(lián)立橢圓消去x，應(yīng)用韋達定理得到橢圓參數(shù)的齊次方程，進而求離心率.【詳解】如圖所示，由橢圓定義可得，，設(shè)△的面積為，的面積為，因為，所以，即①，設(shè)直線，則聯(lián)立橢圓方程與直線，可得，所以②，③，聯(lián)立①②③得，，整理得，所以．故選：D

題型七 求橢圓離心率的取值范圍例13．（2023秋·高三課時練習）設(shè)分別是橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P，使線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可