（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專題2.1 不等式的性質(zhì)（含答案及解析）

專題2.1不等式的性質(zhì)題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用題型二比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小題型三比較法證明不等式題型四求目標(biāo)式的取值范圍題型五不等式的綜合應(yīng)用題型一 不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1．（海南省2022屆高三高考全真模擬卷（三）數(shù)學(xué)試題）（多選）如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．例2．（2023秋·廣東湛江·高三雷州市第一中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，那么下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．練習(xí)1．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）若，一定成立的是（

）A． B．C． D．練習(xí)2．（2022秋·安徽合肥·高三?？计谀┫铝忻}為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則練習(xí)3．（2023秋·廣東梅州·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則練習(xí)4．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．練習(xí)5．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）能夠說(shuō)明“設(shè)是任意實(shí)數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為_(kāi)_________.題型二 比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小例3．（2022秋·河北石家莊·高一校考期中）（1）設(shè)，比較與的大?。唬?）已知，，，求證：．例4．（2021春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，則的大小順序是（

）A． B．C． D．練習(xí)6．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高三統(tǒng)考期末）“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件練習(xí)7．（2022秋·廣東江門·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論為（

）A．① B．② C．③ D．④練習(xí)8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）（多選）已知a，b，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．練習(xí)9．若，求證：．練習(xí)10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）試比較下列組式子的大小：(1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．題型三 比較法證明不等式例5．（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習(xí)）已知為三角形的三邊長(zhǎng)，求證：(1)；(2).例6．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．練習(xí)11．（1）設(shè)，，．試比較P與Q的大小．（2）已知，，求證：．練習(xí)12．（2022秋·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，求證：.練習(xí)13．（2022秋·河南平頂山·高二葉縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三個(gè)不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均為實(shí)數(shù)），命題p：__________，____________________（橫線上填①，②，③）．請(qǐng)寫(xiě)出2種可能的命題，并判斷其真假．練習(xí)14．已知都是正數(shù)．求證：“”的充要條件是“”．練習(xí)15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知a，b，c，d均為正數(shù).求證：（2）已知.求證：<的充要條件為x>y題型四 求目標(biāo)式的取值范圍例7．（2022秋·廣東肇慶·高二?？茧A段練習(xí)）已知，且，（1）取值范圍是__________（2）的取值范圍是__________．例8．（2022秋·高一單元測(cè)試）（1）設(shè)，，求，，的范圍；（2）已知，求證：.練習(xí)16．已知，，(1)求的范圍(2)求的范圍練習(xí)17．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知，則的取值范圍是__________．練習(xí)18．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）若，，則的取值范圍為_(kāi)_____.練習(xí)19．（2022秋·江蘇淮安·高三江蘇省洪澤中學(xué)校聯(lián)考期中）若，則的取值范圍為_(kāi)__________.練習(xí)20．（2022秋·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則的取值范圍為_(kāi)____________．題型五 不等式的綜合應(yīng)用例9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）（多選）若，則（

）A． B．C． D．例10．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市第一中學(xué)?？级＃┮阎瑒t下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．練習(xí)21．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的一個(gè)充要條件是（

）A． B．C． D．練習(xí)22．（2023春·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列中，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A． B．C． D．練習(xí)23．（2023春·云南昭通·高三校考階段練習(xí)）（多選）已知，，且，則（

）A． B．C． D．練習(xí)24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C． D．練習(xí)25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．

專題2.1不等式的性質(zhì)題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用題型二比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小題型三比較法證明不等式題型四求目標(biāo)式的取值范圍題型五不等式的綜合應(yīng)用題型一 不等式性質(zhì)的應(yīng)用例1．（海南省2022屆高三高考全真模擬卷（三）數(shù)學(xué)試題）（多選）如果，那么下列不等式錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所以，故A項(xiàng)正確；取，，則，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；取，，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；取，，，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BCD．例2．（2023秋·廣東湛江·高三雷州市第一中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，那么下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得，然后利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，，滿足，，所以，.對(duì)于A：因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，因?yàn)椋?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：ABD練習(xí)1．（2021秋·福建泉州·高三?？计谥校┤?，一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】若，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故BC錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：A.練習(xí)2．（2022秋·安徽合肥·高三?？计谀┫铝忻}為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)排除選項(xiàng)A；取計(jì)算驗(yàn)證，排除選項(xiàng)C，D得到答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，當(dāng)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，所以，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，取，計(jì)算知不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，取，計(jì)算知不成立，故D錯(cuò)誤.故選：B.練習(xí)3．（2023秋·廣東梅州·高三統(tǒng)考期末）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值判斷.【詳解】A.取特殊值，，，顯然不滿足結(jié)論；B.由可知，，由不等式性質(zhì)可得，結(jié)論正確；C.由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，結(jié)論正確；D.取，滿足條件，顯然不成立，結(jié)論錯(cuò)誤.故選：BC.練習(xí)4．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及特練習(xí)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，所以不等式不一定成立，符合題意；對(duì)于B中，因?yàn)?，可得，又由，所以一定成立，不符合題意；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，所以不一定成立，符合題意；對(duì)于D中，由，因?yàn)椋傻?，?dāng)?shù)姆?hào)不確定，所以不一定成立，符合題意.故選：ACD.練習(xí)5．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）能夠說(shuō)明“設(shè)是任意實(shí)數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為_(kāi)_________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，討論的正負(fù)和三種情況，得出結(jié)論．【詳解】若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；“設(shè)是任意實(shí)數(shù)，若，則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為，故答案為：（答案不唯一）題型二 比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小例3．（2022秋·河北石家莊·高一?？计谥校?）設(shè)，比較與的大小；（2）已知，，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得，利用作商法即可得出答案；（2）利用不等式的性質(zhì)和作差法，即可證明結(jié)論.【詳解】（1），，，.（2），，又，又，，.例4．（2021春·陜西西安·高二西安中學(xué)校考期中）設(shè)，則的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將化簡(jiǎn)，使分子相同，即可根據(jù)分母大小關(guān)系進(jìn)行比較；利用作差比較大小關(guān)系即可.【詳解】，，，，.又，故.則.故選：C.練習(xí)6．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高三統(tǒng)考期末）“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】做差可判斷充分性，取可判斷必要性可得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，可得，所以充分性成立；但當(dāng)時(shí)，即也成立，所以必要性不成立．因此“”是“”的充分不必要條件．故選：B.練習(xí)7．（2022秋·廣東江門·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論為（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BCD【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤結(jié)論，利用差比較法、商比較法證明正確結(jié)論.【詳解】依題意，正實(shí)數(shù)x，y滿足，，若，則，所以①錯(cuò)誤.，所以②正確.由于，所以，所以③正確.，所以④正確.故選：BCD練習(xí)8．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）（多選）已知a，b，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C． D．【答案】BC【分析】通過(guò)舉反練習(xí)可判斷A項(xiàng)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性可判斷B項(xiàng)，運(yùn)用基本不等式可判斷C項(xiàng)，方法1：通過(guò)舉反練習(xí)，方法2：作差法可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，練習(xí)如，，，滿足，，但不滿足，故A項(xiàng)不成立；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以冪函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，方法1：當(dāng)，時(shí)，，，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．方法2：作差法，，因?yàn)?，，所以，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC.練習(xí)9．若，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】作商法證明不等式.【詳解】證明：∵a>b>0，∴，且．∴作商得：．∴．練習(xí)10．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）試比較下列組式子的大小：(1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).【分析】(1)通過(guò)比較與的大小來(lái)確定與的大??；(2)通過(guò)作差法來(lái)比較的大小；(3)通過(guò)作差法或作商法比較與的大小.（1）解：，，因?yàn)椋?，即；?）解：．因?yàn)?，，所以，，所以，即；?）方法一（作差法）．因?yàn)?，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因?yàn)?，所以，，，所以，所以．題型三 比較法證明不等式例5．（2022秋·安徽蕪湖·高一蕪湖一中校考階段練習(xí)）已知為三角形的三邊長(zhǎng)，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用作差法，變形并判斷符號(hào)作答.（2）利用三角形兩邊的和大于第三邊的性質(zhì)，結(jié)合不等式性質(zhì)推理作答.【詳解】（1）為三角形的三邊長(zhǎng)，而，顯然，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以.（2）為三角形的三邊長(zhǎng)，則，于是得：，所以.例6．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）作差后，根據(jù)條件結(jié)合不等式的性質(zhì)證明；（2）先用作差法證明，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可得到.【詳解】（1）證明：，因?yàn)?，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）證明：因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因?yàn)?，，所以，，又，所以，成?所以，有.練習(xí)11．（1）設(shè)，，．試比較P與Q的大?。?）已知，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）直接作差化簡(jiǎn)得，則；（2）利用不等式的性質(zhì)與推論或者直接作差通分有，再進(jìn)行符號(hào)分析即可得到答案.【詳解】（1）解：∵，∴，∴．（2）方法一

證明：∵，∴，∴又，∴．方法二

證明：∵，，∴，∴又，∴，∴，即.練習(xí)12．（2022秋·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，再根據(jù)證明即可.【詳解】，.，，即.，，，即.練習(xí)13．（2022秋·河南平頂山·高二葉縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三個(gè)不等式：①；②；③（其中m，n，x，y均為實(shí)數(shù)），命題p：__________，____________________（橫線上填①，②，③）．請(qǐng)寫(xiě)出2種可能的命題，并判斷其真假．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】依題意可得①，②③；①，③②；②，③①根據(jù)不等式的性質(zhì)及作差法證明即可；【詳解】解：命題1：①，②③．若①，②成立，即，，不等式兩邊同除以可得，即命題1為真命題．命題2：①，③②．若①，③成立，即，，不等式兩邊同乘，可得，即命題2為真命題．命題3：②，③①．若③，②成立，即，，則．又，則，即命題3為真命題．（以上三個(gè)命題中可以任意選擇兩個(gè)命題）練習(xí)14．已知都是正數(shù)．求證：“”的充要條件是“”．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義證明即可．【詳解】證明：必要性：若，，，，，即，，，，即，必要性得證；

②充分性：若，，，，，，不等式兩邊同時(shí)除以，即得到，充分性得證.

綜上，的充要條件是．練習(xí)15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知a，b，c，d均為正數(shù).求證：（2）已知.求證：<的充要條件為x>y【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】（1）利用基本不等式即證；（2）利用不等式的性質(zhì)，由，可得<，由<，，可得，即證.【詳解】（1）∵a，b，c，d均為正數(shù)，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，同理可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）充分性，因?yàn)?，，，?lt;，必要性，因?yàn)?lt;，，所以，綜上，<的充要條件為x>y.題型四 求目標(biāo)式的取值范圍例7．（2022秋·廣東肇慶·高二校考階段練習(xí)）已知，且，（1）取值范圍是__________（2）的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】∵，且，∴，，∴；由，可得，又，所以.故答案為：；.例8．（2022秋·高一單元測(cè)試）（1）設(shè)，，求，，的范圍；（2）已知，求證：.【答案】（1），，；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可求解；（2）利用基本不等式的性質(zhì)可知，，，從而可得，再結(jié)合即可得證.【詳解】（1），，，，，，，，.故，，.（2）證明：由，兩邊平方得，根據(jù)基本不等式有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，將上述個(gè)不等式相加得，即，所以，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.練習(xí)16．已知，，(1)求的范圍(2)求的范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）由不等式的性質(zhì)求解，【詳解】（1）由，得，則，即的取值范圍為（2）由，得，即的取值范圍為練習(xí)17．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)可求取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，有，其中，因此的取值范圍是,故答案為：.練習(xí)18．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）若，，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，而，所以有，因此的取值范圍為，故答案為：練習(xí)19．（2022秋·江蘇淮安·高三江蘇省洪澤中學(xué)校聯(lián)考期中）若，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐步計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)椋?，故的取值范圍?故答案為：.練習(xí)20．（2022秋·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則的取值范圍為_(kāi)____________．【答案】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，則，，所以，，由不等式的性質(zhì)可得.故答案為：.題型五 不等式的綜合應(yīng)用例9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用條件進(jìn)行指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，得到，從而有，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，選項(xiàng)A，，故正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，且，所以，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)?，故D正確，故選：ABD．例10．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市第一中學(xué)校考二模）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)，，結(jié)合重要不等式、基本不等式判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，所以，故A錯(cuò)；且，而，故B對(duì)；，故C錯(cuò)；，設(shè)，則，則在上遞增，所以，故D錯(cuò).故選：B.練習(xí)21．（2023·寧夏銀川·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的一個(gè)充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用舉練習(xí)說(shuō)明，排除AB；利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】A：若，取，則不成立，故A不符題意；B：若，取，則不成立，故B不符題意；C：函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，故C不符題意；D：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，得；由，得，所以“”是“”的充要條件，故D符合題意.故選：D.練習(xí)22．（2023春·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列中，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合基本不等式，即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)：根據(jù)A選項(xiàng)得到，即可求