2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2.4向量的數(shù)量積鞏固練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE6.2.4向量的數(shù)量積課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.已知|a|=6,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a·b等于()A.6+3 B.6-3 C.6 D.7解析:a·b=|a||b|cos60°=6×2×cos60°=6.答案:C2.若向量a與b的夾角為60°,則向量-a與-b的夾角是()A.60° B.120° C.30° D.150°解析:平移向量a,b使它們有公共起點(diǎn)O,如圖所示,則由對頂角相等可得向量-a與-b的夾角也是60°.答案:A3.已知向量m,n的夾角為π6,且|m|=3,|n|=1,則|m-n|=(A.4 B.3 C.2 D.1解析:∵|m-n|2=m2-2m·n+n2=3-2×3×1×32+1=∴|m-n|=1.答案:D4.已知|b|=3,向量a在向量b上的投影向量為32b,則a·b=(A.3 B.92 C.32 D解析:設(shè)向量a,b的夾角為θ.∵a在b上的投影向量為|a|cosθb|b∴|a|cosθ|b|=32∴a·b=|a||b|cosθ=3×92答案:D5.設(shè)a,b,c是隨意三個(gè)非零向量且互不共線,下列各式正確的個(gè)數(shù)是()①(a·b)2=a2·b2;②a·③(a·b)·c-(a·c)·b=0;④|a·b|=|a|·|b|.A.0 B.1 C.2 D.4解析:①中錯(cuò)誤地遷移了實(shí)數(shù)的乘方運(yùn)算,事實(shí)上,由a·b=|a||b|cosθ得(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ=a2b2cos2θ,其中θ=<a,b>,只有當(dāng)cos2θ=1,即a∥b時(shí)(a·b)2=a2·b2才成立,而當(dāng)cos2θ≠1時(shí),a2·b2cos2θ<a2·b2,即(a·b)2<a2·b2,故①錯(cuò);②中運(yùn)用了實(shí)數(shù)中的約分,而向量ba是沒有意義的,故②錯(cuò);③錯(cuò)用了實(shí)數(shù)乘法中的結(jié)合律,由于b與c是不共線的向量,故③錯(cuò);④運(yùn)用了實(shí)數(shù)中肯定值的意義,導(dǎo)致錯(cuò)誤,由a與b的數(shù)量積兩邊加肯定值,得|a·b|=|a||b||cosθ|,只有當(dāng)θ=0或θ=π時(shí),|a·b|=|a|·|b|才成立,故④錯(cuò)答案:A6.已知|a|=8,e為單位向量,a與e的夾角為150°,則a在e上的投影向量為.

解析:a在e上的投影向量為|a|cos150°e=8×-32e=-43答案:-43e7.若向量a,b滿意|a|=2,|b|=1,a·(a+b)=1,則向量a,b的夾角的大小為.

解析:∵|a|=2,a·(a+b)=1,∴a2+a·b=2+a·b=1.∴a·b=-1.設(shè)a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|又θ∈[0,π],∴θ=3π答案:38.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=.

解析:b·c=b·[ta+(1-t)b]=t·a·b+(1-t)b2=12t+1-t=1-12t=0,解得t=答案:29.已知向量a,b的長度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夾角為120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=23,求a與b的夾角θ.解:(1)a·b=|a||b|cos120°=4×2×-12=-又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=419.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(23)2,∴a·b=-4,∴cosθ=a·b|又θ∈[0,π],∴θ=2π10.已知向量a,b不共線,且|2a+b|=|a+2b|,求證:(a+b)⊥(a-b).證明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2,∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a與b不共線,∴a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B組1.若非零向量a與b的夾角為2π3,|b|=4,(a+2b)·(a-b)=-32,則向量a的模為(A.2 B.4 C.6 D.12解析:(a+2b)·(a-b)=a2+2a·b-a·b-2b2=a2+a·b-2b2=-32,∵a·b=|a||b|cos2π3=|a|×4×-12=-2∴|a|2-2|a|-2×42=-32.∴|a|=2(|a|=0不合題意,舍去).答案:A2.若非零向量a,b滿意|a|=|b|,(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°解析:設(shè)向量a與b的夾角為θ,∵(2a+b)·b=0,∴2a·b+b2=0.∴2|a||b|cosθ+|b|2=0.∵|a|=|b|,∴cosθ=-12∴θ=120°.答案:C3.已知向量a,b滿意|a|=3,|b|=23,且a⊥(a+b),則b在a上的投影向量為()A.3a B.-a C.-3a D.a解析:由a⊥(a+b),得a·(a+b)=0,即|a|2+a·b=0,于是a·b=-9,因此b在a上的投影向量為|b|cosθa|a|=答案:B4.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是()A.0,π6C.π3,2解析:因?yàn)棣?a2-4|a|·|b|cosθ(θ為向量a與b夾角),若方程有實(shí)根,則有Δ≥0即a2-4|a|·|b|cosθ≥0,又因?yàn)閨a|=2|b|,所以4|b|2-8|b|2cosθ≥0,所以cosθ≤12又因?yàn)?≤θ≤π,所以π3≤θ≤π答案:B5.設(shè)向量a,b滿意|a|=1,|b|=1,且|ka+b|=3|a-kb|(k>0).若a與b的夾角為60°,則k=.

解析:由|ka+b|=3|a-kb|,得k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2,即(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.∵|a|=1,|b|=1,a·b=1×1×cos60°=12∴k2-2k+1=0,∴k=1.答案:16.在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若AC·BE=1,則AB的長為解析:因?yàn)锽E=所以AC·BE=(AB+AD)·AD-12AB=AD2+12AD·AB-所以14|AB|-12|AB|2=0,答案:17.已知|a|=1,a·b=12,(a-b)·(a+b)=12,(1)a與b的夾角;(2)a-b與a+b的夾角的余弦值.解:(1)∵(a-b)·(a+b)=12∴|a|2-|b|2=12∵|a|=1,∴|b|=|a設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·∵0°≤θ≤180°,∴θ=45°.(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2=12∴|a-b|=22∵(a+b)2=a2+2a·b+b2=52,∴|a+b|=10設(shè)a-b與a+b的夾角為α,則cosα=(a8.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7.是否存在實(shí)數(shù)μ,使μa+b與a-2b垂直?解:若(