2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第2節(jié)空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版

PAGE其次節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．平面的基本性質(zhì)基本領(lǐng)實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．基本領(lǐng)實(shí)2：假如一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本領(lǐng)實(shí)3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．基本領(lǐng)實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．基本領(lǐng)實(shí)1及其推論給出了確定一個(gè)平面或推斷“直線共面”的方法；基本領(lǐng)實(shí)2的作用是推斷直線是否在某個(gè)平面內(nèi)；基本領(lǐng)實(shí)3的作用是如何找尋兩相交平面的交線以及證明“線共點(diǎn)”的理論依據(jù)；基本領(lǐng)實(shí)4是對(duì)初中平行線的傳遞性在空間中的推廣．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線；在同一平面內(nèi)，有且只有,一個(gè)公共點(diǎn)；,平行直線：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).互為異面直線的兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線．3．空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線在平面內(nèi)a?α多數(shù)個(gè)直線不在平面內(nèi)直線與平面平行a∥α0個(gè)直線與平面相交直線與平面斜交a∩α＝A1個(gè)直線與平面垂直a⊥α1個(gè)(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β0個(gè)兩平面相交α∩β＝l多數(shù)個(gè)4.等角定理假如空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．探討直線與平面的位置關(guān)系時(shí)肯定不要忽視“直線在平面內(nèi)”．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線． (×)(2)兩兩平行的三條直線可以確定三個(gè)平面． (×)(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的隨意一條直線． (×)(4)假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． (×)(5)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種． (×)(6)空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角肯定相等． (×)2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．肯定是異面直線 B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線C解析：由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不行能為平行直線．若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相沖突．3．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的全部直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交B解析：由題意知，直線l與平面α相交，則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系，因而只有選項(xiàng)B是正確的．4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以△B1D1C為等邊三角形，所以∠D1B1C＝60°，即異面直線B1C與EF所成角的大小為60°.第4題圖第5題圖5．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿意條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿意條件________時(shí)，四邊形EFGH為正方形．(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析：(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形，所以EF＝EH，所以AC＝BD．(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH.因?yàn)镋F∥AC，EH∥BD，且EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，所以AC＝BD且AC⊥BD．考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)——基礎(chǔ)性1．在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)．假如EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．肯定在直線BD上B．肯定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上B解析：如圖所示，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．2．(多選題)(2024·全國(guó)卷Ⅱ改編)下列選項(xiàng)正確的是()A．兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B．過(guò)空間中隨意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面C．若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D．若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥lAD解析：對(duì)于選項(xiàng)A，可設(shè)l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為α；若l3與l1相交，則交點(diǎn)B在平面α內(nèi)，同理，l3與l2的交點(diǎn)A也在平面α內(nèi)，所以，AB?α，即l3?α，選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，若三點(diǎn)共線，則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有多數(shù)個(gè)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，空間中兩條直線可能相交、平行或異面，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，若直線m⊥平面α，則m垂直于平面α內(nèi)全部直線．因?yàn)橹本€l?平面α，所以直線m⊥直線l，選項(xiàng)D正確．共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：一是先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；二是證明兩平面重合．(2)證明共線的方法：一是先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；二是干脆證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．考點(diǎn)2異面直線所成的角——綜合性(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)C解析：(1)如圖，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成角為∠EAB(或其補(bǔ)角)．在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝eq\r(5)，則tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).(2)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(5),4)D．eq\f(5,4)B解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接A1D，AD，A1B，易知∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為1，則AD＝eq\f(\r(3),2)，A1D＝eq\f(1,2)，A1B＝eq\f(\r(2),2).由余弦定理，得cos∠A1AB＝eq\f(A1A2＋AB2－A1B2,2A1A·AB)＝eq\f(1＋1－\f(1,2),2×1×1)＝eq\f(3,4).本例(2)的條件改為“在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1”，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_(kāi)_______．eq\f(\r(10),5)解析：把三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如圖所示．連接C1D，BD，則AB1與BC1所成的角為∠BC1D(或其補(bǔ)角)．由題意可知BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋12－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5).可知BCeq\o\al(2,1)＋BD2＝C1D2，所以△BC1D為直角三角形，所以cos∠BC1D＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5).用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．1．(2024·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧BC的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(30),6) D．eq\f(\r(6),6)D解析：如圖，過(guò)點(diǎn)E作圓柱的母線交下底面于點(diǎn)F，連接AF，易知F為eq\o(\S\UP10(︵),AD)的中點(diǎn)，設(shè)四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則EF＝2，AF＝eq\r(2)，所以AE＝eq\r(22＋\r(2)2)＝eq\r(6).連接ED，ED＝eq\r(6).因?yàn)锽C∥AD，所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).故選D．2．(多選題)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，AA1＝3，則()A．異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),5)B．異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為eq\f(3,5)C．A1B∥平面B1D1CD．點(diǎn)B1到平面A1BD1的距離為eq\f(12,5)ACD解析：因?yàn)锳1B∥D1C，所以∠B1D1C或其補(bǔ)角即為異面直線A1B與B1D1所成角．又因?yàn)锽1D1＝4eq\r(2)，D1C＝5，B1C＝5，所以cos∠B1D1C＝eq\f(B1D\o\al(2,1)＋D1C2－B1C2,2B1D1·D1C)＝eq\f(2\r(2),5)，故A正確，B錯(cuò)誤．因?yàn)锳1B∥D1C，A1B?平面B1D1C，D1C?平面B1D1C，所以A1B∥平面B1D1C，故C正確．設(shè)點(diǎn)B1到平面A1BD1的距離為h.因?yàn)閂eq\s\do6(B-A1B1D1)＝Veq\s\do6(B1-A1BD1)，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)A1B1·A1D1·B1B＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)A1B·A1D1·h，解得h＝eq\f(12,5)，故D正確．故選ACD．3．在正四面體A-BCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(1,3)D．eq\f(\r(3),3)B解析：畫(huà)出正四面體A-BCD的直觀圖，如圖所示．設(shè)其棱長(zhǎng)為2，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，連接CO，則EF∥BD，則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角．因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以CE⊥AB，易得CE＝eq\r(3)，同理可得CF＝eq\r(3)，故CE＝CF.因?yàn)镺E＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,4)BD＝eq\f(1,2)，所以cos∠FEC＝eq\f(EO,CE)＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6).4．(2024·西安模擬)如圖是正四面體的平面綻開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，真命題的是________．(填序號(hào))②③④解析：如圖，還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合．易知GH與EF異面，BD與MN異面．連接GM，因?yàn)椤鱃MH為等邊三角形，所以GH與MN所成角為60°，易證DE⊥AF，又MN∥AF，所以MN⊥DE.因此真命題的序號(hào)是②③④.考點(diǎn)3空間兩條直線的位置關(guān)系——應(yīng)用性考向1異面直線的判定如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________．(填序號(hào))②④解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．本例的條件改為“下列選項(xiàng)中，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)”，則直線PQ與RS是異面直線的圖是()C解析：易知選項(xiàng)A，B中PQ∥RS，選項(xiàng)D中RS與PQ相交，只有選項(xiàng)C中RS與PQ是異面直線．考向2平行或相交直線的判定如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．異面D．平行D解析：如圖，連接D1E并延長(zhǎng)，與AD交于點(diǎn)M，由A1E＝2ED，可得M為AD的中點(diǎn)．連接BF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N.因?yàn)镃F＝2FA，可得N為AD的中點(diǎn)，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,BF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,BF)，所以EF∥BD1.空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法異面直線的判定定理：平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．1．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交D解析：(方法一：反證法)由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不