2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：函數(shù)模型的應(yīng)用

第函數(shù)模型的應(yīng)用

■課程標(biāo)準(zhǔn)

1.理解函數(shù)模型是描述客觀(guān)世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具；在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類(lèi)型

刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律.

2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解

“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.

3.感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.

LI_____知___識(shí)____?_逐____點(diǎn)___夯____實(shí)___口_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_____必__備__知___識(shí)_____系__統(tǒng)__梳__理____基___礎(chǔ)__重__落__實(shí)_____…___________課__前__自___修_

知識(shí)梳理

1.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型/(x)=ax+b(〃，/?為常數(shù)，)

反比例函數(shù)模型于（x）=^+b（左，b為常數(shù)，kWQ）

二次函數(shù)模型f(x)=ax1+bx+c(〃，。，c為常數(shù)，)

函數(shù)模型函數(shù)解析式

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=b〃+c(Q,,C為常數(shù)，〃>0且〃#1)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型/(X)=blogax+c(Q,Z?,C為常數(shù)，#0,4>0且4W1)

幕函數(shù)模型/(x)=axn+b(4,b,〃為常數(shù)，〃WO)

對(duì)勾函數(shù)模型y=ox+g(。，b為常數(shù)，ab>0)

2.三種函數(shù)性質(zhì)比較

類(lèi)別y=ax(a>l)y=logaX(〃>1)y=(n>0)

在（0,+8）上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X值增大,圖象與_隨尤值增大，圖象與X軸

圖象的變化隨"值變化而各有不同

y軸接近平行接近平行

對(duì)點(diǎn)自測(cè)

1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“V,錯(cuò)誤的畫(huà)“X”）

（1）函數(shù)y=2,的函數(shù)值恒比的函數(shù)值大.（X）

(2)黑函數(shù)的增長(zhǎng)速度比一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度快.(X)

(3)在選擇實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.(X)

2.在某個(gè)試驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表所示：

X0.501.092.013.98

y-0.990.010.982.00

則對(duì)尤，y最適合的擬合函數(shù)是()

A.y=2xB.y=f-1

C.y=2x-2D.y=log2X

解析：D在直角坐標(biāo)系中，描點(diǎn)連線(xiàn)畫(huà)出圖象(圖略)，觀(guān)察圖象知選D.

3.下面對(duì)函數(shù)〃無(wú))=1。%尤與g(x)=()在區(qū)間(0,+8)上的衰減情況的說(shuō)法中正確的是()

A/(無(wú))的衰減速度越來(lái)越慢，g(無(wú))的衰減速度越來(lái)越快

B.7(x)的衰減速度越來(lái)越快，g(x)的衰減速度越來(lái)越慢

C./(x)的衰減速度越來(lái)越慢，g(x)的衰減速度越來(lái)越慢

D./(x)的衰減速度越來(lái)越快，g(x)的衰減速度越來(lái)越快

解析：C在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出/(x)與g(x)圖象如圖所示，由圖象可判斷出衰減情況為：/(x)衰減

速度越來(lái)越慢；g(無(wú))衰減速度越來(lái)越慢，故選C.

4.(2024.壽光模擬)某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的固定成本為420元，每桶水的進(jìn)價(jià)為5元，日均銷(xiāo)售量y(單位：桶)

與銷(xiāo)售單價(jià)x(單位：元)的關(guān)系式為y=-30x+450,則該桶裝水經(jīng)營(yíng)部要使利潤(rùn)最大，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為10

元.

解析：由題意得該桶裝水經(jīng)營(yíng)部每日利潤(rùn)為W(尤)=(-30x+450)(x-5)-420=-30f+600x-2670=-

30(x-10)2+330,則當(dāng)尤=10時(shí)，利潤(rùn)最大.

L考點(diǎn)?分類(lèi)突破口------精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通-課堂演練

1—

用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程

考點(diǎn)一

(師生共研過(guò)關(guān))

［例1］如圖，一高為反目裝滿(mǎn)水的魚(yú)缸，其底部有一排水小孔，當(dāng)小孔打開(kāi)時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完

所用時(shí)間為T(mén).若魚(yú)缸水深為h時(shí)，水流出所用時(shí)間為t,則函數(shù)h=f（t）的圖象大致是（）

解析：B水勻速流出，所以魚(yú)缸水深力先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來(lái)越快.

解題技法

用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程的2種方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法：先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；

（2）驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)

際情況的答案.

G訓(xùn)練

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線(xiàn)BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,AABP的面

積為S,則函數(shù)S=〃x）的圖象是（）

解析：D依題意知，當(dāng)0WxW4時(shí)，/(x)=2x；當(dāng)4<xW8時(shí)，/(x)=8；當(dāng)8<xW12時(shí)，/(x)=24-2x,

觀(guān)察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.

二次函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)二

（師生共研過(guò)關(guān)）

［例2］為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某地計(jì)劃投入資金200萬(wàn)元，搭建甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大

棚至少要投入資金40萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜.根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入產(chǎn)

（單位：萬(wàn)元），種黃瓜的年收入。（單位：萬(wàn)元）與各自的投入資金內(nèi)，（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足

P=80+4后,。=32+120.設(shè)甲大棚的投入資金為x（單位：萬(wàn)元），兩個(gè)大棚的總收入為〃尤）（單位：萬(wàn)

元），則〃x）的最大值為（）

A.282B.228

C.283D.229

解析：A當(dāng)甲大棚的投入資金為x（單位：萬(wàn)元）時(shí)，乙大棚的投入資金為200-元（單位：萬(wàn)元），所以/（x）

,_1._fx>40,廣

=80+4岳+士（200-尤）+120=-々+41+250,由《可得40WxW160,令f=《，貝（

44I

（200-%>40

2

ze[2V10,4V10],g（r）=-i?+4V2r+250=-;（t-8A/2）+282,因?yàn)?&G，4VIU],所以當(dāng)

r=8V2,即x=128時(shí)，/（x）最大，為282.故選A.

解題技法

構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的注意點(diǎn)

（1）確定二次函數(shù)模型的解析式時(shí)，一般是借助已知點(diǎn)來(lái)確定，常用待定系數(shù)法；

（2）二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；

（3）解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問(wèn)題.

0訓(xùn)練

某城市對(duì)一種每件售價(jià)為160元的商品征收附加稅，稅率為R%（即每銷(xiāo)售100元征稅R元），若年銷(xiāo)售量為

（30-|我）萬(wàn)件，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，則R的取值范圍是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,100%]

解析：A根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，則（30-翔X160XR%2128,整理得N-12R+32W0,解

得4WRW8.所以R的取值范圍是[4,8],故選A.

對(duì)勾函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)三

（師生共研過(guò)關(guān)）

【例3]在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為200m2的矩形區(qū)

域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排2m寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/n?,中間區(qū)域地面硬化以

方便后期放置各類(lèi)健身器材，硬化造價(jià)為100元/n?,設(shè)矩形的長(zhǎng)為x（m）.

（1）求總造價(jià)y（元）關(guān)于長(zhǎng)度x（m）的函數(shù)；

(2)當(dāng)尤(m)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià).

解：(1)由矩形的長(zhǎng)為xm,得矩形的寬為出m,則中間區(qū)域的長(zhǎng)為(尤-4)m,寬為(迎-4)m,定義域?yàn)閤G

(4,50).

貝iJy=100(x-4)-4)+200X[200-(x-4)與-4)],

整理得y=18400+400(%+警)，(4,50).

(2)因?yàn)閤+變N2.%=20也當(dāng)且僅當(dāng)尸變，即x=10迎e(4,50)時(shí)取等號(hào).

xyXX

所以當(dāng)尤=10近時(shí)，總造價(jià)最低為(18400+8000V2)元.

解題技法

應(yīng)用函數(shù)模型/(X)="+;(M>o)的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)明確對(duì)勾函數(shù)是由正比例函數(shù)/(x)=QX與反比例函數(shù)/(x)=g疊加而成的；

(2)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)一般可以直接建立了(%)=ax+^(。。>0)的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為了

(x)=ax+-Cab>0)的形式；

X

(3)利用模型/(x)=辦+5(4>0)求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.

。學(xué)習(xí)講義“第頁(yè)|57

0訓(xùn)練

某專(zhuān)營(yíng)店經(jīng)銷(xiāo)一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預(yù)計(jì)當(dāng)一袋桃酥的售價(jià)為x元

(9WxWll)時(shí),一年的銷(xiāo)售量為上萬(wàn)袋，并且全年該桃酥食品共需支付3x萬(wàn)元的管理費(fèi)，一年的利潤(rùn)=一年

%-5

的銷(xiāo)售量X售價(jià)-(一年銷(xiāo)售桃酥的成本+一年的管理費(fèi))(單位：萬(wàn)元).

(1)求該專(zhuān)營(yíng)店一年的利潤(rùn)工(單位：萬(wàn)元)與每袋桃酥食品的售價(jià)X的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)每袋桃酥的售價(jià)為多少元時(shí)，該專(zhuān)營(yíng)店一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值.

解：(1)由題意知，該專(zhuān)營(yíng)店一年的利潤(rùn)乙(單位：萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)解析式為

x-5

(6X—+3x)=48(X-6)-3x,尤e[9,11].

x-5x-5

z、48(X-6)48z48z

(2)L=--------------3x=48----------3(JV-5)-15=33----------3(x-5),

x-5%-5x-5

因?yàn)?WxWll,所以a+3(x-5)22--3(x-5)=24,當(dāng)且僅當(dāng)上=3(x-5),

x-5x-5x-5

即x=9時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)L最大，為9萬(wàn)元.

故當(dāng)每袋桃酥的售價(jià)為9元時(shí)，該專(zhuān)營(yíng)店一年的利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為9萬(wàn)元.

指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)四

(師生共研過(guò)關(guān))

[例4](1)(多選)(2023?新高考I卷10題)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,

定義聲壓級(jí)。=20義館里，其中常數(shù)po(po>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，°是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車(chē)1060?90

混合動(dòng)力汽車(chē)1050?60

電動(dòng)汽車(chē)1040

已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)iom處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為Pl,P2,P3,貝II(ACD)

A.p會(huì)P2B.02>10p3

C.p3=lOOpoD.piW10022

(2)一個(gè)容器裝有細(xì)沙acn?,細(xì)沙從容器底部一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地漏出，rmin后剩余的細(xì)沙量為

(cnP),經(jīng)過(guò)&min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)16min,容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一.

解析：(1)由，=20XlgJ得A=R)X10私由題表中的數(shù)據(jù)可知poXUWpW’oXlO"R)X105W〃2Wa)><103,

Po

03=夕0義1O2=1OO〃O,故A、C正確；因?yàn)?0〃3=10X1OO〃O=R)X1O32P2,故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/p>

5

pQXlO2^1OOp2^poX10,所以piWlOO,2,故D正確.故選A、C、D.

(2)當(dāng)才=8時(shí)，y=ae~Sb=-a,所以e-勖=士容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一，即丁=恁-初=工〃，e-bt=-=

2288

(e-防)3=e-2%貝卜=24.所以再經(jīng)過(guò)16min容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一.

解題技法

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與賽函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確

定參數(shù)，求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行幕、指、對(duì)運(yùn)算，靈活進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化.

0訓(xùn)練

1.我們處在一個(gè)有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求.音量大小的單位是分貝(dB),對(duì)于一

個(gè)強(qiáng)度為/的聲波，其音量的大小n可由如下公式計(jì)算：n=ioig7(其中/。是人耳能聽(tīng)到聲音的最低聲波強(qiáng)度)，

則70dB的聲音的聲波強(qiáng)度ly是60dB的聲音的聲波強(qiáng)度/2的()

A.箱B.屈倍C.10倍D.ln絹

OOO

rri,

解析：C由n=101g；得/=7oio而，所以/1=/01。7,/2=/OK)6,所以勺=10,所以70dB的聲音的聲波強(qiáng)度/1是60

7012

dB的聲音的聲波強(qiáng)度，2的10倍.

2.某地鎰礦石原有儲(chǔ)量為。萬(wàn)噸，計(jì)劃每年的開(kāi)采量為本年年初儲(chǔ)量的機(jī)（0（根<1,且“為常數(shù)）倍，那么第n

（“GN*）年開(kāi)采完成后剩余儲(chǔ)量為。（1-機(jī)）"萬(wàn)噸，按該計(jì)劃方案使用10年時(shí)間開(kāi)采到原有儲(chǔ)量的一半.若開(kāi)采

到剩余儲(chǔ)量為原有儲(chǔ)量的70%,則需開(kāi)采約（參考數(shù)據(jù)：或M.4）（）

A.4年B.5年

C.6年D.8年

解析：B設(shè)第〃（”eN*）年開(kāi)采完成后剩余儲(chǔ)量為y萬(wàn)噸，則y=a（l-M",當(dāng)”=10時(shí)，y—^a,所以，=。

1nn

（1-m）10,又〃>0,所以之=（1-m）叱1-進(jìn)而產(chǎn)碓）1。.當(dāng)y=70%〃時(shí)，卷=0°，

n

w=（2）10,即2=1。9是=1唯學(xué)1限1.4=現(xiàn)2企嚀，故土5,故選B.

3.眾所周知，大包裝商品的成本要比小包裝商品的成本低.某種品牌的餅干，其100克裝的售價(jià)為1.6元，其400克

裝的售價(jià)為4.8元，假定該商品的售價(jià)由三部分組成：生產(chǎn)成本、包裝成本、利潤(rùn).生產(chǎn)成本與餅干質(zhì)量成正比目

系數(shù)為m,包裝成本與餅干質(zhì)量的算術(shù)平方根成正比且系數(shù)為n,利潤(rùn)率為20%,則該種餅干900克裝的合理售價(jià)

為9.6元.

解析：設(shè)餅干的質(zhì)量為x克，則其售價(jià)y（單位：元）與x之間的函數(shù)解析式為尸（3十〃?）（1+0.2）.由題

意得1.6=（lOOm+VlOOn）（1+0.2）,SP-=50m+5/i①，4,8=（400/n+V400n）（1+0.2）,即

100/n+5?=l②.由①②解得機(jī)=言，??產(chǎn)提十卷?當(dāng)彳=900時(shí)，尸9.6.故這種餅干900克裝的合理售價(jià)

為9.6元.

關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升-----------課后練習(xí)

LI______課___時(shí)____?_跟____蹤___檢____測(cè)____」____-__-_-__-_-_________________________________________________1__________

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.有一貨船從石塘沿水路順?biāo)叫?，前往河口，途中因故障停留一段時(shí)間，到達(dá)河口后逆水航行返回石塘.假設(shè)貨

船在靜水中的速度不變，水流速度不變，若該貨船從石塘出發(fā)后所用的時(shí)間為尤（小時(shí)），貨船距石塘的距離為y

（千米），則下列各圖中，能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

解析：A分析圖象可知選項(xiàng)A正確.故選A.

2.某校擬用一種噴霧劑對(duì)宿舍進(jìn)行消毒，需對(duì)噴霧完畢后空氣中每立方米藥物殘留量y（單位：毫克）與時(shí)間尤

（單位：時(shí)）的關(guān)系進(jìn)行研究，為此收集部分?jǐn)?shù)據(jù)并做了初步處理，得到如圖散點(diǎn)圖.現(xiàn)擬從下列四個(gè)函數(shù)模型中

選擇一個(gè)估計(jì)y與尤的關(guān)系，則應(yīng)選用的函數(shù)模型是（）

w毫克

*

???

ol

A.y=〃x+b

B.y=a.G)+b(<7>0)

C.y=xa+b(A>0)

D.y=ax+-(a>0,b>Q)

解析：B由題圖可知，函數(shù)在(0,十8)上單調(diào)遞減，且散點(diǎn)分布在一條曲線(xiàn)附近，函數(shù)的圖象

為一條曲線(xiàn)，且當(dāng)。>0時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞減，符合題意，故選B.

3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)

=吳+2苫+20(萬(wàn)元).1萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為()

A.36萬(wàn)件B.18萬(wàn)件

C.22萬(wàn)件D.9萬(wàn)件

解析：B利潤(rùn)L(x)=2Qx-C(x)=-|(x-18)2+142,當(dāng)尤=18時(shí)，L(無(wú))有最大值.故選B.

4.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，每名感染者平均可傳染的

人數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為Ro,1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，這N個(gè)人中有V個(gè)人接種

過(guò)疫苗《稱(chēng)為接種率)，那么1個(gè)感染者傳染人數(shù)為中(N-V).已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)Ro=4,為

了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1,則該地疫苗的接種率至少為()

A.45%B.55%

C.65%D.75%

解析：D為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1,只需與(.N-V)<1,即(14)WL因?yàn)?=4,所以1-

可得(》：=75%.故選D.

5.北京時(shí)間2023年5月30日9時(shí)30分，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射成功.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大

速度v(km/s)和燃料的質(zhì)量M(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關(guān)系是v=2OOOln(1+?).按

照這個(gè)規(guī)律，當(dāng)1000M=6〃z時(shí)，火箭的最大速度v約可達(dá)到(參考數(shù)據(jù)：In1.006=0.006)()

A.7.9km/sB.l1.2km/s

C.12km/sD.16.7km/s

解析：C因?yàn)関=2OOOln(1+竺)，當(dāng)1000M=6加時(shí)，貝!|"=」一=0.006,所以v=2OOOln(1+0.006)=2

mm1000

OOOln1.006-2000X0.006=12km/s.故選C.

6.（多選）甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，它們的路程/（x）（=1,2,3,4）關(guān)

于時(shí)間X（尤20）的函數(shù)關(guān)系式分別為力（X）=2"-1"（X）=/，力（X）=X，A（X）=log2（x+1）,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)尤>1時(shí)，甲走在最前面

B.當(dāng)x>1時(shí)，乙走在最前面

C.當(dāng)0<尤<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最后面

D.如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲

解析：CD由題意知，甲、乙、丙、丁對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、

對(duì)數(shù)型函數(shù)模型.當(dāng)x=2時(shí)，fi（2）=3,拉（2）=4,所以A不正確；當(dāng)x=5時(shí)，力（5）=31,f2（5）=25,所

以B不正確；根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先快后慢，又當(dāng)x=l時(shí)，甲、乙、丙、丁四個(gè)

物體走過(guò)的路程相等，從而可知，當(dāng)0<x<l時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>l時(shí)，丁走在最后面，所以C正確；指數(shù)

型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)模型運(yùn)動(dòng)的物體，

即一定是甲物體，所以D正確.

7.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線(xiàn)的.已知某品牌商品廣告銷(xiāo)售的收入R與廣

告費(fèi)A之間滿(mǎn)足關(guān)系R=a6（a為常數(shù)），廣告效應(yīng)為D=ag-A那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，

投入的廣告費(fèi)應(yīng)為12（用常數(shù)。表示）.

2

解析：令00）,則.\D=at--（t--a\+-O2,「?當(dāng)/=工〃，即A=%時(shí)，。取得最大值.

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8.生物學(xué)家為了了解抗生素對(duì)生態(tài)環(huán)境的影響，常通過(guò)檢測(cè)水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來(lái)進(jìn)行判斷.已知水中某

生物體內(nèi)抗生素的殘留量y（單位：mg）與時(shí)間f（單位：年）近似滿(mǎn)足關(guān)系式尸4（1-3”），e0,其中力為

抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)f=8時(shí)，y=',則4:.

y4

解析：因?yàn)椋?-3-81）,所以3-8，W=3-2,解得4小

994

9.（2024?永州模擬）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量/（x）（毫克毫升）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的規(guī)律近似滿(mǎn)

2o<x<1

足表達(dá)式/（X）=,八、；——’《酒后駕車(chē)與醉酒駕車(chē)的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量

Is（0，久>1，

不得超過(guò)0.02毫克星升，此駕駛員至少要過(guò)，小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).（精確到1小時(shí)）

解析：當(dāng)OWxWl時(shí)，由/（x）W0.02,得5*-2WO.O2,解得尤W2+log50.02=log50.5<0,不符合題意；當(dāng)x>l

時(shí)，由了（無(wú)）W0.02,得|?GyW0.02,即31-xWO.l,解得-log3?！?l+log310.因?yàn)?<l+k?g310<4,所以

此駕駛員至少要過(guò)4小時(shí)后才能開(kāi)車(chē).

10.某新型企業(yè)為獲得更大利潤(rùn)，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤(rùn)低于年投資成本的10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)

型，下表顯示的是該企業(yè)幾年來(lái)年利潤(rùn)y（百萬(wàn)元）與年投資成本X（百萬(wàn)元）變化的一組數(shù)據(jù)：

年份2020202120222023…

年投資成本彳35917…

年利潤(rùn)y1234…

給出以下3個(gè)函數(shù)模型：@y^kx+b(20)；②了=心(aWO,b>0,且6W1);③y=log.(x+b)(a>0,且

a#l).

(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述x,y之間的關(guān)系；

(2)試判斷該企業(yè)年利潤(rùn)超過(guò)6百萬(wàn)元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.

解：(1)將(3,1),(5,2)代入y=fcc+6(50),

r(1

1=3k+b,k

得(解得《2???》=341

v2=5k+b',Ib=-2,

當(dāng)x=9時(shí)，y=4,不符合題意；

將(3,I),(5,2)代入y=a"(aWO,b>0,且。Wl),

(._,3(_V2

1=Ctb^,ICL——B、_yx-3

得］解得|4.r,.y=y-(V2)=2..

2=abs,(b=V2,

9-3

當(dāng)x=9時(shí)，y=2h=8,不符合題意；

將(3,1),(5,2)代入y=logq(x+b)Ca>0,且〃￥1),

1=log(3+b)

得a解得4

2=5

.?.y=log2(x-1).

當(dāng)x=9時(shí)，y=log28=3；

當(dāng)x=17時(shí)，y=log216=4.

故可用③來(lái)描述羽y之間的關(guān)系.

(2)令log2(x-1)26,貝1x265.

?,?該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.

B級(jí)?綜合應(yīng)用

11.農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布2024年農(nóng)區(qū)蝗蟲(chóng)防控技術(shù)方案.為了做好蝗蟲(chóng)防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專(zhuān)家假設(shè)蝗蟲(chóng)的

日增長(zhǎng)率為6%,最初有No只，則能達(dá)到最初的1200倍大約經(jīng)過(guò)(參考數(shù)據(jù)：In1.06-0.0583,In1200-7.0901)

()

A.122天B.124天

C.130天D.136天

解析：A由題意可知，蝗蟲(chóng)最初有M只且日增長(zhǎng)率為6%.設(shè)經(jīng)過(guò)〃天后蝗蟲(chóng)數(shù)量達(dá)到原來(lái)的1200倍，則

n

N0(i+6%)=1200,；.L06"=l200,...w=logiod200=整翌刃21.614,：/CN*,.,.大約經(jīng)過(guò)122天能達(dá)到最初

NQ°lnl.06

的1200倍.

12.(多選)某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開(kāi)發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血

液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn).據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含

藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，貝II()

A.〃=3

B.注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小