2025屆黑龍江省克東一中、克山一中等五校聯(lián)考數(shù)學(xué)高三上期末考試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆黑龍江省克東一中、克山一中等五校聯(lián)考數(shù)學(xué)高三上期末考試試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象在點處的切線為,則在軸上的截距為()A. B. C. D.2.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.3.若,則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.44.馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.65.已知函數(shù),,若存在實數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為()A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.198.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標(biāo)原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.10.正的邊長為2,將它沿邊上的高翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.11.水平放置的,用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的,其中,則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為()A. B. C. D.12.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實數(shù)的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓,,若橢圓上存在點使得為等邊三角形(為原點),則橢圓的離心率為_________.14.已知函數(shù),對于任意都有,則的值為______________.15.已知,,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是____.16.已知實數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知中,角所對邊的長分別為,且(1)求角的大小;(2)求的值.18.(12分)對于給定的正整數(shù)k,若各項均不為0的數(shù)列滿足:對任意正整數(shù)總成立,則稱數(shù)列是“數(shù)列”.(1)證明:等比數(shù)列是“數(shù)列”;(2)若數(shù)列既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,證明:數(shù)列是等比數(shù)列.19.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對邊分別為,且,求的面積.20.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,并且.(1)已知_______________,計算的面積;請①,②,③這三個條件中任選兩個,將問題(1)補充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計分.(2)求的最大值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長度單位相同.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長為,求直線的傾斜角.22.(10分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機構(gòu)進行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性50100女性70100合計(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程,從而可求切線的縱截距.【詳解】,故,所以曲線在處的切線方程為:.令,則,故切線的縱截距為.故選:A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距,注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標(biāo),因此截距有正有負,本題屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.3、D【解析】

a,b可看成是與和交點的橫坐標(biāo),畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.4、C【解析】

模擬程序的運行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,故選:C.【點睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)實數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時,等號成立,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.6、D【解析】

利用列舉法,從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況,由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.記這5部專著分別為,其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,基本事件有共10種情況,所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有,共9種情況,所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為.故選D.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.7、B【解析】

計算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時,,即,且.故,,故.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學(xué)生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.8、D【解析】

過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.9、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.10、D【解析】

如圖所示,設(shè)的中點為,的外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,利用正弦定理可得,利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形,最后利用勾股定理可求外接球的半徑,從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示,設(shè)的中點為,外接圓的圓心為,四面體的外接球的球心為,連接,則平面,.因為,故,因為,故.由正弦定理可得,故,又因為,故.因為,故平面,所以,因為平面,平面,故,故,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以,故外接球的半徑為,外接球的表面積為.故選:D.【點睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算,還考查正弦定理和余弦定理,折疊問題注意翻折前后的變量與不變量,外接球問題注意先確定外接球的球心的位置,然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算,本題有一定的難度.11、B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理,將平面直觀圖還原為原幾何圖形,可得,,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得,,,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,它的表面積為.故選:【點睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.12、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實數(shù)的最小值.【詳解】因為不等式有正整數(shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當(dāng)時,,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時,,故,解得.故選:A.【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意求出點N的坐標(biāo),將其代入橢圓的方程,求出參數(shù)m的值,再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得,將其代入橢圓方程得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),屬于中檔題.14、【解析】

由條件得到函數(shù)的對稱性,從而得到結(jié)果【詳解】∵f=f,∴x=是函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的一條對稱軸.∴f=±2.【點睛】本題考查了正弦型三角函數(shù)的對稱性,注意對稱軸必過最高點或最低點,屬于基礎(chǔ)題.15、(-4,2)【解析】試題分析:因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以考點:基本不等式求最值16、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式:2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y,即x=328故答案為:2.【點睛】本題考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角換元求得答案.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,以及兩角和的正弦公式展開,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構(gòu)造齊次式,利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,得到,結(jié)合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因為得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴【點睛】1.考查學(xué)生對正余弦定理的綜合應(yīng)用;2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題18、(1)證明見詳解;(2)證明見詳解【解析】

(1)由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:即可證明.(2)既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,,則對于任意都成立,則成等比數(shù)列,設(shè)公比為,驗證得答案.【詳解】(1)證明:由是等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得:等比數(shù)列是“數(shù)列”.(2)證明:既是“數(shù)列”又是“數(shù)列”,可得,()(),()可得:對于任意都成立,即成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,成等比數(shù)列,設(shè),()數(shù)列是“數(shù)列”時,由()可得:時,由()可得:,可得,同理可證成等比數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列【點睛】本題是一道數(shù)列的新定義題目,考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式等基本知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸以及綜合運用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力,屬于難題.19、(1);(2)或【解析】

(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得,利用正弦函數(shù)的周期性即可求解;(2)由(1)可求,結(jié)合范圍,可求的值,由余弦定理可求的值,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或當(dāng)時,由余弦定理得即,解得.此時.當(dāng)時,由余弦定理得.即,解得.此時.【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算、正弦函數(shù)的周期性,考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析(2)1【解析】

(1)選②,③.可得,結(jié)合,求得.即可;若選①,②.由可得由,求得.即可;若選①,③,可得,又,可得,即可;(2)化簡,根據(jù)角的范圍求最值即可.【詳解】(1)若選②,③.,,,,又,.的面積.若選①,②.由可得,,,又,.的面積.若選①,③,,又,,可得,的面積.(2),當(dāng)時,有最大值1.【點睛】本題考查了正余弦定理,三角三角恒等變形,考查了計算能力,屬于中檔題.21、(1);(2)或【解析】

(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程,再根據(jù),,即可得極坐標(biāo)方

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