人教版九年級數(shù)學(xué)上冊期中押題1卷

期中押題培優(yōu)01卷

（考試范圍21.1-24.2）

一、單選題（共16分）

1.（本題2分）把一元二次方程無（2x-l）=x-3化為一般形式，正確的是（）

A.2尤2+3=0B.2X2-2X-3=0

C.2X2-X+2=0D.2尤2—2X+3=0

【答案】D

【分析】將方程整理為一般式即可.

【詳解】解：x（2x-l）=x-3,

2尤~-x—x—3，

即2f-2x+3=0.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式的形式為

ax?+bx+c=0（a片0）是解題的關(guān)鍵.

2.（本題2分）點(diǎn)尸（2,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)p的坐標(biāo)是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（-2,-3）D.（3,2）

【答案】C

【分析】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】根據(jù)“關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)”可知：

點(diǎn)P（2,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,-3）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐

標(biāo)互為相反數(shù).

3.（本題2分）已知點(diǎn)A（—2,y）,5（2,乃），。（3,%）均在拋物線y=；（xTy+左上，則%,%，%

的大小關(guān)系為（）

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開口向下，對稱軸是直線.『1,根據(jù)后1時，y隨x的增

大而增大，即可得出答案.

1,

【詳解】解：???y=5(x-iy+左，

...拋物線的開口向上，對稱軸是直線A1,

；.尤之1時，y隨X的增大而增大，

又?.?4(—2,%)關(guān)于直線x=l的對稱點(diǎn)是(4,%),3(2,%),C(3,%)

而2<3<4,

/.%<%<%，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握,

能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

4.(本題2分)用配方法解方程/一2犬-3=0時，原方程應(yīng)變形為()

A.(x+1)2=4B.(^-1)2=4C.(尤+2『=7D.(x-2)2=7

【答案】B

［分析］利用完全平方公式儲±2"+"=(0土6)2進(jìn)行配方即可得.

【詳解】解：尤2-2尤一3=0,

/一2尤=3,

x~—2x+1=3+1,

(1)2=4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵.

5.(本題2分)將矩形ABC。繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到矩形43。。,若48=12,4。=5,貝1］_。3。

的面積為()

A.13B.26C.84.5D.169

【答案】C

【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到0°，DB=D'B,繼而得到，。即，是等腰直角三角形,

利用勾股定理求出8。的長，即可求出.Da7的面積.

【詳解】解：：矩形ABCD繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到矩形ABCD',

：.ZDBD'=9Q°,DB=D'B,

，,是等腰直角三角形，

；45=12,AD=5,

?*-BD=VAD2+AB2=A/122+52=13，

，.的面積為：xl3xl3=84.5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到ADB。是等腰直角三

角形，此題難度不大.

6.（本題2分）如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分,如果輸水管的半徑為5cm,

水面寬AB為8cm,則水的最大深度CD為（）

【答案】C

【分析】由垂徑定理可知=根據(jù)勾股定理計算即可.

2

【詳解】解：如圖所示：

D

一輸水管的半徑為5cm,水面寬AB為8cm,水的最大深度為CD,

DOLAB,

/.AO=5cm,AC=—AB=4cm,

2

.-.C（9=752-42=3（cm）,

CD=5-3=2（cm）

，水的最大深度8為：2cm.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

7.（本題2分）已知二次函數(shù)>=辦2+法+C（°HO）的圖象如圖所示，并且關(guān)于尤的一元二次方程

ov?+Zw+c—%=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，下歹U結(jié)論：@b2—4ac<0;?abc>0；?a-b+c<0；

@m>-2.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】直接利用拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)以及拋物線與方程之間的關(guān)系、函數(shù)圖象與各系數(shù)之間關(guān)

系分析得出答案.

【詳解】解：觀察圖象得：二次函數(shù)>=加+法+或"。）的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，

A=Z?2-4tzc>0,故①錯誤；

b

觀察圖象得：6/>0,c<0,對稱軸冗=——>0,

2a

：.b<0,

/.abc>0,故②正確；

觀察圖象得：當(dāng)x=-i時，y>o,

「?。―b+c>0,故③錯誤；

觀察圖象得：二次函數(shù)圖象開口向上，

???二次函數(shù)有最小值，最小值為-2,

???關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

???二次函數(shù)y=^2+"+c（〃w。）的圖象與直線％=根有兩個交點(diǎn)，

?*.m>-2,故④正確；

故選：B

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，正確把握二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

8.(本題2分)如圖，。。在AABC三邊上截得的弦長相等，即Z)E=PG=A/N,NA=50。，貝！1480c

=()

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作。尸，AB于點(diǎn)P,OQLAC于點(diǎn)。，OKLBC于點(diǎn)K,由于CE=FG=MN,所以

弦的弦心距也相等，所以。8、0C是角平分線，根據(jù)/A=50。，先求出

ZABC+ZACB=180°-ZA=130°,再求出，進(jìn)而可求出NBOC.

【詳解】解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)P,OQLAC于點(diǎn)Q,OKLBC于點(diǎn)K,

：.OP=OK=OQ,

：.OB、OC^^AABC^WAACB,

ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

VNA=50。,

???ZABC-^-ZACB=1800-ZA=130°,

ZOBC+ZOCB=-ZABC+-ZACB

22

=1(ZABC+ZACB)

=65°,

/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180-65°

=115°

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，角平分線的判定，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，解題關(guān)鍵

是構(gòu)造出輔助線一弦心距.

二、填空題（共16分）

9.（本題2分）請你用數(shù)學(xué)的眼光觀察，以下歷屆冬奧會圖標(biāo)中，你最為欣賞的圖標(biāo)是

【答案】②既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可.

【詳解】解：我最為欣賞的圖標(biāo)是②，選擇理由是②既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

①是軸對稱圖形，③既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，④是軸對稱圖形.

故答案為：②；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵.

10.（本題2分）將拋物線>向上平移3個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的解析式是

【答案】y=（x-2）2+3

【分析】根據(jù)題意可得將拋物線y=x2向上平移3個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的頂

點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,即可求解.

【詳解】解：：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,

將拋物線y=V向上平移3個單位，再向右平移2個單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,

所得拋物線的解析式是y=（x-2）2+3.

故答案為：y=（x-2『+3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

11.（本題2分）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點(diǎn)，截得的三條弦相等，我

們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的

半徑為.

【答案】2-V2##-V2+2

【分析】如圖，當(dāng)?shù)认覉A。最大時，則。經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C,連接CO交42于凡

連接OE,DK,再證明DK經(jīng)過圓心，CF±AB,分別求解AC,BC,CF,設(shè)的半徑為「，再

分別表示瓦再利用勾股定理求解半徑廠即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)?shù)认覉A。最大時，則，。經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)C,連接C。交43

于凡連接OE,DK,

QCD=CK=EQJACB90?,

\?COD?COK90?,DK過圓心。，CFLAB,

QAC=BC,?ACB90?,AB2,

\AC=BC=y/2,AF=BF=CF=-AB=l,

2

設(shè)＜'O的半徑為

JCD=y/r2+r2=y/2r=EQ,OF=l-丫,OE=丫,

CFLAB,

整理得：--4r+2=0,

解得：q=2+a,4=2-血,

QOC<CF,

\r=2+應(yīng)不符合題意，舍去，

當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為2-忘.

故答案為：2-亞

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，弦，弧，圓心角

之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解本題

的關(guān)鍵.

12.(本題2分)關(guān)于尤的一元二次方程/-3x-機(jī)=。有兩個實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍為.

91

【答案】m>—##m>-2.25##m>-2—

44

【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，得出AK),建立關(guān)于加的不等式，求出機(jī)的取值范圍即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得△=(-3尸-4xlx(-m)>0,

9

解得：m>--,

4

9

故答案為：m>--.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程狽2+灰+c=o(〃/),a,b,c為常數(shù))根的判別式.當(dāng)A〉。,

方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.

13.(本題2分)如圖，點(diǎn)A、B、。在。。上，ZB=130°,貝！JNAOC=°.

B

【答案】100

【分析】如圖所示，在優(yōu)弧AC上去一點(diǎn)。，連接AD,DC,利用圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)求出NADC

的度數(shù)，再由圓周角定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧AC上去一點(diǎn)。，連接ADDC,則四邊形A8CO是圓內(nèi)接四邊形，

ZB=130°,

JZADC=180°-ZB=50°,

???ZAOC=2ZADC=100o,

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形是

解題的關(guān)鍵.

14.(本題2分)如圖，等邊,的邊在x軸上，點(diǎn)8坐標(biāo)為(2,0),以點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，把OAB

逆時針轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

【答案】卜61)

【分析】過點(diǎn)A作08于瓦過點(diǎn)4作軸于H.利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE_LQB于E,過點(diǎn)4作軸于H.

:.OA=OB=AB=2,

AEYOB,

:.OE=EB=1,

AE=^AO2-OE2=722-I2=73,

AHLOH,

ZAHO=ZAEO=ZAOA=90°,

ZAOH+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

:.ZAOH=ZOAE,

在，4?！昂汀?。4￡中

ZA'OH=ZOAE

<ZA'HO=ZAEO,

OA'^OA

：.^AOH=OAE(AAS),

.-.AH=OE=1,OH=AE=,

A-(-A/3,1),

故答案為：(-G,i).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

15.(本題2分)某件商品連續(xù)兩次降價后，零售價由原來的500元降為405元，設(shè)此商品平均每次降

價的百分率為x,則恨據(jù)題意列出的方程是.

【答案】500(1-x)2=405

【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為尤，則第一次降價后售價為500(1-x),第二次降價后售價為

500(1-x)2,然后根據(jù)兩次降價后的售價建立等量關(guān)系即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得500(1-尤y=405.

故答案為：500(1-xy=405.

【點(diǎn)睛】本題考查的是由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，要注意題意指明的是降價，應(yīng)該是(1-x)

而不是(1+x).

16.(本題2分)如圖，已知頂點(diǎn)為(-3,-6)的拋物線yuad+fcv+c經(jīng)過點(diǎn)(-1,-4),則下列結(jié)論：

①〃>4ac②qV+Ac+cN-e③若點(diǎn)(-2,㈤,(-5,〃)在拋物線上，則機(jī)④關(guān)于x的一元二次方程

加+6元+。=-4的兩根為-5和-1⑤(a+c)2>〃2,其中正確的有.

【答案】①②④

【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及其與一元一次不等式的關(guān)系，以及二次函數(shù)的對稱

性可以求解.

【詳解】由圖象知，拋物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，只是左邊那個沒畫出來而已，

由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系可知，△=/-4">0,從而〃>4ac,故①正確；

已知該拋物線是開口向上，頂點(diǎn)為(-3,-6),故辦^^+之4正確，從而②正確；

由拋物線的對稱軸為4-3,點(diǎn)(-2,m),(-5,n)在拋物線上，則點(diǎn)(-2,m)離對稱軸的距離為1,

而點(diǎn)(5,〃)離拋物線的距離為2,開口向上時，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，從而小〈小故③錯

誤；

由圖象可知，4-1為關(guān)于x的一元二次方程依的一個根，由二次函數(shù)的對稱性，可知-5

為另一個根，從而④正確；

.拋物線y=加+bx+c頂點(diǎn)為(-3,-6),經(jīng)過點(diǎn)(-1,-4),

拋物線解析式可以化為：y=a(x+3)2-6,

A-4=a(-l+3)2-6,

1

Cl——,

2

:.b=3,c=——,

2

A(a+c)2=l,Z>2=9,故⑤錯誤；

綜上，正確的是①②④.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)圖象的綜合問題，考查了二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與一元一

次不等式，及二次函數(shù)的對稱性，難度中等.

三、解答題(共88分)

17.(本題6分)解方程：

(1)1)=—12

(2)2X2-4X-1=0.

【答案】(1)再=4,%=5；

_2+^/6_2—V6

22

【分析】(1)方程整理后，利用因式分解法求解即可；

(1)方程整理后，利用配方法求解即可.

(1)

解：方程整理得了之一9%+20=0,

因式分解得4)(%-5)=0,

解得：X|=4,X2=5；

(2)

解：方程整理得f-2x=g,

13

配方得Y-2尤+1=5+1,即(x-l)2=；,

.2土瓜

??X一,

2

.2+762-A/6

??西=口一，^2=^--

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解

法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法.

18.(本題6分)如圖，等邊ABC中，。是AC中點(diǎn)，過C作CE〃A2,且求證：BD=AE.

【答案】見解析

【分析】只需要利用AAS證明△84。絲ZkACE即可證明結(jié)論;

【詳解】證明：???等邊三角形42c中，。是AC中點(diǎn)，

：.AB=CA,8。是等邊三角形ABC的高，

VAEXCE,

ZADB=ZE=90°,

\'CE//AB,

：.NBAD=NACE,

在與ZMCE中

ZADB=ZE

?：]ZBAD=ZACE

AB^CA

.,.△BAD^AACE(AAS)

：.BD=AE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟知等邊

三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

19.（本題6分）己知。是方程2x—1=0的一個根，求代數(shù)式（a—2>+（a+l）（q—1）的值.

【答案】5

【分析】先根據(jù)條件。是方程尤2+x-l=0的一個根，得出/-20=1,然后把所給的代數(shù)式化簡為

2（a2—2a）+3,代入a?-2a=1計算即可.

【詳解】是方程f-2x-l=0的一個根,

?*.a2-2a-l=0.

??a2—2a=1.

（a一2/+（〃+l）（a—1）

=/—4〃+4+a2—1

=2片—4。+3

=2（a2—2a）+3

=2x1+3

=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義，代數(shù)式求值，正確理解方程根的概念、利用整體代入

的方法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.

20.（本題6分）如圖，已知A3、CD是。。的直徑，。b〃A3交。。于點(diǎn)兄BE〃DC交OO于點(diǎn)E.

C,

（1）求證：BE=DF；

（2）寫出圖中4組不同的且相等的劣?。ú灰笞C明）.

【答案】（1）見解析；（2）答案不唯一，圖中相等的劣弧有：弧。尸=弧36,弧EC=弧物，弧AC=

弧8。，弧。4=弧8C

【分析】（1）根據(jù)。尸〃AB,BE//DC,得到尸，然后根據(jù)相等的弧所對的弦相等即可

證明BE=DF；

（2）根據(jù)等弦對等弧和相等的圓周角所對的弧相等即可得到4組不同的且相等的劣弧.

【詳解】⑴：。尸〃AB,BE//DC,

，ZEBA=ZCOA=ZCDF.

：.弧ECA=^CAF,

，弧8后=弧DF,

：.BE=DF-,

⑵由（1）可得，弧D4弧BE；

弧ECA=<CAF,

...弧EC二弧閉

ZAOC=NBOD,

...弧AC=M8。；

弧BE+弧EC=^AF+弧DF-,

二弧以=弧BC.

，綜上所述，圖中相等的劣弧有：弧￡>/三弧BE,弧EC=弧陰，弧弧。4=弧8c

【點(diǎn)睛】此題考查了相等的圓周角所對的弧相等，弦相等，等弧對等弦等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相等的圓周角所對的弧相等，弦相等，等弧對等弦等知識.

21.（本題7分）下面是娜娜設(shè)計的“作一個角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程.

已知：RTAABC,

求作：AB上作點(diǎn)D,使/BCD=/A.

作法：如圖，以AC為直徑作圓，交AB于D,所以點(diǎn)D就是所求作的點(diǎn);

根據(jù)娜娜設(shè)計的作圖過程，完成下面的證明.

證明：：AC是直徑

.,.ZADC=90°（）（填推理的依據(jù)）

即/ACD+NA=90°,

,/ZACB=90°,

即ZACD+=90°,

/.ZBCD=ZA（）（填推理的依據(jù)）.

【答案】見詳解

【分析】根據(jù)直徑的性質(zhì)可得/ADC=90。，再利用同角的余角相等即可得證.

【詳解】證明：：AC是直徑

.\ZADC=90°(直徑所對圓周角為直角)

即/ACD+/A=90°,

VZACB=90°,

即ZACD+ZBCD=90°,

.,.ZBCD=ZA(同角的余角相等).

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑的性質(zhì)及同角的余角相等，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

22.(本題7分)已知關(guān)于x的一元二次方程(03)尤2-化+2戶+1-2左=0億力3).

(1)判斷方程根的情況，并說明理由；

(2)若方程的所有實(shí)數(shù)根均為整數(shù)，并且上也是整數(shù)，求上的值.

【答案】(1)總有兩個實(shí)數(shù)根，理由見解析

⑵-2或2或4或8

4

【分析】(1)根據(jù)題意求出該一元二次方程根的判別式A=9(左-g)220,即得出該一元二次方程根

的情況為總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)根據(jù)因式分解法可求出該一元二次方程的解為玉=f—=2+三，x2=-l.再根據(jù)該方程

的所有實(shí)數(shù)根均為整數(shù)，上也是整數(shù)，即可得出人的值.

(1)

根據(jù)題意可知該一元二次方程根的判別式

4

A=b2-4ac=[-(%+2)『9一4(k-3)(1-2^)=%2-24^+16=9(k-j)2,

4,

V9(^--)2>0,即A20,

/.該一元二次方程根的情況為總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)

化一3卜2一化+2)%+l—2左=0(左w3)

.?.[(左一3)x+(l—2Q](x+l)=0(左w3),

2k—1.5?

..x=-------=2+-------,x=-1.

1k-3k-32

??.方程的所有實(shí)數(shù)根均為整數(shù)，

,巧為整數(shù)，即2+三為整數(shù).

k-3

???左也是整數(shù)，

；.h3是5的因數(shù)，

當(dāng)k-3=~5,即左=-2時，x,=2-1=1；

當(dāng)無-3=-1,即上=2時，\=2—5=—3；

當(dāng)h3=l,即左=4時，玉=2+5=7；

當(dāng)k-3=5,即％=8時，占=2+1=3.

綜上可知，上的值為：-2或2或4或8.

【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次方程根的判別式判斷其根的情況，解一元二次方程.掌握一元二次方

程辦2+6x+c=0(a+0)的根的判別式為A=I)?-4ac，且當(dāng)A>0時，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=()時，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)/<0時，該方程沒有實(shí)數(shù)根和因式分解法解一元二次

方程是解題關(guān)鍵.

23.(本題7分)如圖，己知拋物線丫=內(nèi)2+法+。的頂點(diǎn)為4(4,3),與y軸相交于點(diǎn)8(0,-5),對

稱軸為直線/，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)并求直線AB的表達(dá)式；

(3)設(shè)動點(diǎn)P,。分別在拋物線和對稱軸/上，當(dāng)以A,P,Q,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,

求P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】+4尤-5

(2)M(2,-1),y=2x-5

(3)尸、。的坐標(biāo)分別為(6,1)或(2,1)、(4,-3)或(4,1)或(4,5)

【分析】(1)函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x-4)2+3,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式，即可求解；

(2)44,3)、B(0,-5),則點(diǎn)M(2,-l),設(shè)直線A3的表達(dá)式為：y=kx-5,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式,

即可求解；

(3)分當(dāng)A〃是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可.

(1)

解：函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x-4)2+3,

將點(diǎn)8坐標(biāo)代入上式并解得：。=-1，

故拋物線的表達(dá)式為：y=~x2+4x~5；

(2)

解：：A(4,3)、8(0,-5),

.?.點(diǎn)M(2,T),

設(shè)直線AB的表達(dá)式為：y=kx-5,

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：3=4k-5,解得：k=2,

故直線A2的表達(dá)式為：y=2x-5.

(3)

解：設(shè)點(diǎn)Q(4,s)、點(diǎn)P(m,~m2+4m-5),

①當(dāng)AM是平行四邊形的一條邊時，

當(dāng)點(diǎn)。在A的下方時，

點(diǎn)A向左平移2個單位、向下平移4個單位得到

同樣點(diǎn)尸(“%-；"f+4"-5)向左平移2個單位、向下平移4個單位得到2(4,s),

1

BP：:九一2=4,——nT9+4m—5-4=s,

2

解得：m=6,s=—3,

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(6,1)、點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,-3),

故當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)A上方時，AQ=MP=2,

同理可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1)、點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,5),

②當(dāng)AM是平行四邊形的對角線時，

由中點(diǎn)定理得：4+2=〃?+4,3-1=+4m-5+s,

解得："7=2,s=1,

故點(diǎn)尸、Q的坐標(biāo)分別為(2,1)、(4,1)；

綜上，P、。的坐標(biāo)分別為尸(6,1)或(2,1),。(4,5)或(4,-3)或(4,1).

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等，其中(3),要

注意分類求解，避免遺漏.

24.(本題7分)如圖，在咫A3c中，ZB=90°,AB=6cm,3c=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊

向點(diǎn)8移動，速度為lcm/s；點(diǎn)。從點(diǎn)8開始沿3c邊向點(diǎn)C移動，速度為2cm/s,點(diǎn)P、。分別

從點(diǎn)A、B同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.

(1)幾秒時，PQ的長度為3&cm?

(2)幾秒時，的面積為8cm°?

(3)當(dāng)r(0<f<5)為何值時，四邊形APQC的面積最??？并求這個最小值.

【答案】(1)3秒時，PQ的長度為36cm

(2)2或4秒時，△尸8。的面積為8cm2

(3)當(dāng)f=3時，四邊形APQC的面積最小，最小值為21

【分析】(1)設(shè)運(yùn)動時間為f秒，分別用，的代數(shù)式表示出線段PB,的長度，利用勾股定理列出

方程即可求解；

(2)利用三角形的面積公式列出方程即可求解；

(3)由四邊形APQC的面積=SABc-S.Bo,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

(1)

解：設(shè)運(yùn)動時間為t秒時，尸。的長度為3&cm,

依題意得：AP-tcm,BQ=2fcm,

PjB=(6-r)cm.

ZB=90°,

:.PB-+BQ1=PQ,即（6—+（2f）2=（3方］，

3

解得：t=3或-至負(fù)數(shù)不合題意，舍去）.

:.t=3.

二3秒時，P。的長度為36cm；

（2）

設(shè)運(yùn)動時間為f秒時，△PBQ的面積為8cm2,

依題意得：AP=tcm,BQ=2rcm,04/45,

PB=（6T）cm.

PBQ的面積為8cm2,

gx（6-f）*2f=8.

解得：f=2或4.

；.2或4秒時，△PBQ的面積為8cm3

（3）

四邊形APQC的面積=sABC-SPBQ

=gxAB.BC-gxBQ.PB

=產(chǎn)—6r+30

=”3）2+21,

???當(dāng)r=3時，四邊形APQC的面積最小，最小值為21.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積等知識.本

題是動點(diǎn)問題，利用含f的代數(shù)式表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

25.（本題8分）如圖，A3是：）。的直徑，8是；。的一條弦，43_1。,連接4（7,0。.

⑴求證：NBOD=2NA;

(2)連接08,過點(diǎn)C作CE，DB,交DB的延長線于點(diǎn)E,延長。。,交AC于點(diǎn)/，若b為AC的中點(diǎn),

求證：直線CE為：。的切線.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)設(shè)A3交。于點(diǎn)打，連接OC,證明Rt,CO"三Rt，故可得NCOW=NDOW,

于是BC=BD，即可得到N3Q￡>=2ZA；

(2)連接AC,解出NCO3=60。，根據(jù)A3為直徑得到ZAD3=90。，進(jìn)而得到ZAB￡>=60。，即可

證明OC〃D3,故可證明直線CE為。的切線.

(1)

證明：設(shè)A3交CD于點(diǎn)H,連接0C,

由題可知，

OC=OD,NOHC=NOHD=90°,

OH=OH,

.'.RtCOH^RtDOH(HL),

:.NCOH=NDOH,

BC=BD，

:.ACOB=ABOD,

/COB=23

:.ZBOD=2ZA；

(2)

證明:

E

連接AD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

同理可得：ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZODC,

???點(diǎn)〃是。。的中點(diǎn)，點(diǎn)戶是AC的中點(diǎn)，

ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC,

AOAD+Z.ODA+AOAC+AOCA+AOCD+AODC=180°,

ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC=30°,

ZCOB=2ZCAO=2x30。=60°,

QAB為。的直徑，

:.ZADB=90°,

ZABD=90-NDAO=90°-30°=60°,

ZABD=ZCOB=60°,

:.OC//DE,

QCE1BE,

:.CE^OC,

???直線CE為O的切線.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，圓周角定理，直線平行

的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和公式，證明三角形全等以及證明平行線是解題的關(guān)鍵.

26.（本題8分）在平面直角坐標(biāo)系％0y中，已知拋物線y=X2—2爾+加-1.

5-

4-

3-

2-

1-

?????____?????.

-5-4-3-2-1O-12345x

-1-

（1）當(dāng)帆=2時，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①求拋物線的對稱軸（用含m的式子表示）;

②若點(diǎn)（M-LM）,（加,％），（加+3,%）都在拋物線，=/-2〃箕+療_1上，則%,上,%的大小關(guān)

為；

（3）直線y=x+6與X軸交于點(diǎn)4（-3,0）,與y軸交于點(diǎn)2,過點(diǎn)B作垂直于y軸的直線/與拋物線

丁=/-27蛆+加2_1有兩個交點(diǎn)，在拋物線對稱軸左側(cè)的點(diǎn)記為p,當(dāng)△O4P為鈍角三角形時，求加

的取值范圍.

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）；⑵①、=叫②%>%>%;⑶機(jī)>2或加<-1

【分析】（1）先將%=2代入拋物線的解析式，并配方可得拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)函數(shù)對稱軸為x=-=計算可得結(jié)論；

②函數(shù)開口向上，時函數(shù)取得最小值，根據(jù)離對稱軸距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大可比較”，>2,心

的大小關(guān)系；

（3）當(dāng)AOA尸為鈍角三角形時，則或機(jī)-2>-3,分別求解即可.

【詳解】解：（1）當(dāng)〃?=2時，拋物線的解析式為：J；=X2-4X+3=（X-2）2-1,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）；

（2）①一拋物線y=尤？-2〃a+利2,

'1?函數(shù)對稱軸為尤==m；

2x1

②;函數(shù)開口向上，x=m時函數(shù)取得最小值，

離對稱軸距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

Qm-l<m<m+3,且點(diǎn)（”?-1,乂），（m,j2）,（〃z+3,%）都在拋物線y=Y+-1上，

故答案為：

（3）把點(diǎn)A（-3,0）代入，=x+6的表達(dá)式并解得：6=3,

則3（0,3）,直線的表達(dá)式為：y=x+3,

如圖，

在直線x=3上，當(dāng)NAOP=90時，點(diǎn)P與B重合，

當(dāng)y=3時，y=x2-2mx+m2-1=3,

貝［Jx=m±2,

,點(diǎn)P在對稱軸的左側(cè)，

.,.X=7〃+2>7〃不符合題意，舍去，

則點(diǎn)P（〃z—2,3）,

當(dāng)AOAP為鈍角三角形時，

貝！JO<〃z—2<機(jī)或加一2<—3,

解得：加>2或加<-1,

7"的取值范圍是：m>2或m<-1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)，解不等式，一元二次方程根的判別式，

鈍角三角形判斷的方法等知識點(diǎn)，第三問有難度，確定NA。尸為直角時點(diǎn)尸的位置最關(guān)鍵.

27.（本題10分）如圖，在A4BC中，^5=4。,/&^?=￡,點(diǎn)。在8。上，以點(diǎn)A為中心，將線段

順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接

（1）按要求作出圖形；

（2）若a=90。，用等式表示線段DC,￡啰,DE大小關(guān)系，并證明；

（3）若a=120。，AB=26，〃為8C的中點(diǎn)，求ME的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）DC2+DB2=DE2,見解析；（3）空

2

【分析】（1）按要求畫出圖形即可；

（2）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明出AAEBMAADC從而推出NEBA=NC=45o,￡B=DC,由勾股定理可知

EB2+DB2=DE2,所以可知0c2+。序=。￡2；

（3）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明出AA￡B-AADC推出/瓦4=/。=30。，/班。=/￡154+//45。=60?？?/p>

知點(diǎn)E在射線BE上運(yùn)動，N￡BC=60。當(dāng)M為3c中點(diǎn)，BM=3,由垂線段最短可知M/L3E,

MH=-BM=之叵即ME最4、為正

222

【詳解】.⑴如圖,

（.2）DC2+DB2=DE2

證明：VZCAB=ZDAE=90°,

：.ZBAE=ZCAD

"：DA=EA,CA=BA

：.ZC=ZABC^45°,AAEB^AADC

：.NEBA=NC=45°、EB=DC

ZEBC=ZEBA+ZABC=90°

?*-