數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：向量數(shù)乘運算及其幾何意義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。點C在線段AB上，且=，則=_______________。（）A。B。C.D。解析：=（)=+=-，即=-,故=-.答案:D2.[(2a+8b)-（4a-2b)］等于(）A。2a—bB。2b-aC。b-aD。a—解析：原式=（a+4b—4a+2b)=（6b—3a）=2b—a.答案：B3.向量a、b共線的有()①a=2e,b=-2e②a=e1—e2，b=—2e1+2e2③a=4e1—e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1—2e2A.①②③B。②③④C.①③④D。①②③④解析:對于①②③中的向量a與b，都存在一個相應(yīng)的實數(shù)λ,使a=λb，而④中的兩個向量，不存在實數(shù)λ使b=λa成立。答案：A4。(2006高考廣東卷，理4)如圖2—2-圖2A?！?B?！狢.D.+解析：+，故選A.答案：A10分鐘訓(xùn)練（強化類訓(xùn)練，可用于課中)1。(2005高考山東卷，文8）已知向量a，b，且=a+2b，=—5a+6b，=7a—2b，則共線的三點是（)A.A、B、DB.A、B、CC。B、C、DD。A、C、D解析：∵，∴.∴.∴A，B,D三點共線.答案：A2。下列四個命題：①對于實數(shù)m和向量a、b，恒有m（a-b)=ma—mb；②對于實數(shù)m,n和向量a，恒有(m-n)a=ma—na；③若ma=mb（m∈R)，則有a=b;④若ma=na(m、n∈R，a≠0），則m=n。其中正確命題的序號為_________________.解析:①②滿足實數(shù)與向量積的運算律；③中若m=0，則ma=mb=0，不一定有a=b；④中由ma=na，則（m—n)a=0，∵a≠0,∴m—n=0?！鄊=n。答案：①②④3.求實數(shù)λ,使得λa+b與2a+λb解：∵λa+b與2a+λb∴存在一個實數(shù),不妨設(shè)為m，使得（λa+b)=m(2a+λb),即（λ-2m)aV+（1-mλ）b=0∴解得λ=±。4。在平行四邊形ABCD中,=a，=b，求,。解法一:利用平行四邊形的性質(zhì)得==a，=BD=b?！?∴=ab.又∵,=，∴=a+b.解法二:將，視為未知量，由向量的加法、減法，得兩式相加得，∴=+=a+b。兩式相減得，∴==ab.5。一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船的實際速度.解：如圖，表示水流速度，表示船垂直于對岸方向行駛的速度,表示船的實際速度，∠AOC=30°,｜｜=5km/h，∵四邊形ABCD為矩形，∴｜|=｜｜cot30°=，||===10.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1.若3x-2(x—a）=0，則x等于（）A.2aB?！?aC。D。解析：∵3x-2(x-a)=0，∴x+2a=0,即x=—2a。答案：B2.設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A.a與-λa的方向相反B。｜-λa|≥｜a｜C。a與λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|解析：如果λ＞0則a與—λa的方向相反，如果λ＜0，則a與—λa的方向相同，A錯；如果｜λ｜＜1,則｜—λa｜＜｜a｜，B錯；｜—λa｜是一個大于或等于零的實數(shù)，而｜λ｜a是向量，它們之間不能比較大小,D錯.答案:C3。若｜a|=m，b與a的方向相反，且|b|=2,則a=_____________。解析：由，∴｜a|=｜b｜?！遙與a方向相反，∴b與a共線.∴a=。答案:4。如圖2—2—16，求證：M、N、C三點共線.圖2-2-16證明：設(shè)=a，=b，則=a+（-a+b）=a+b，=a+b，所以.所以M、N、C三點共線.5.設(shè)e1、e2是兩個不共線向量，已知=2e1+me2，=e1+3e2.若A、B、C三點共線,求實數(shù)m的值.解：∵A、B、C三點共線，∴、共線存在實數(shù)λ，使=λ,即2e1+me2=λ（e1+3e2）=λe1+3λe2，解得∴λ=2,m=6。6.如圖2-2—17所示，在△ABC中，=a，=b，AD為邊BC的中線，G為△ABC的重心，求向量圖2解法一：∵=a,=b,則==b，∴=a+b。而=，∴=a+b。解法二：過G作BC的平行線，交AB、AC于E、F.∵△AEF∽△ABC，==a，==b，==b，∴=a+b.7。如圖2—2—18，在△ABC中，C為直線AB上一點，=λ（λ≠—1)，求證：=圖2-2-18證明:因為,，又=λ，所以=λ(),即（1+λ）=+λ。又因為λ≠-1,即1+λ≠0,所以=。8。用向量方法證明：三角形兩邊中點連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊長度的一半.證明：已知右圖所示△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點,求證：DE∥BC，且DE=.證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴=，=?！?（)=。又D不在B