考點14-等腰三角形與直角三角形-中考數(shù)學考點

考點14等腰三角形與直角三角形

q工知識整合

一、等腰三角形

1.等腰三角形的性質

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）.

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高重合.

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。.

2.等腰三角形的判定

定理；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）.這個判定

定理常用于證明同一個三角形中的邊相等.

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

推論2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

二、等邊三角形

1.定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.性質：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。.

3.判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

三、直角三角形與勾股定理

1.直角三角形

定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

性質：（1）直角三角形,兩銳角互余；

（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么,它所對的直角邊等于斜邊的一半；

（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

判定：（1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

2.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊。、6的平方和等于斜邊。的平方，即：

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊隊反。有關系：/+抉那么這個三角形是直角三角形.

很重點考向,

考向一等腰三角形的性質

1.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸.

2.等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45。.

3.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.

4.等腰三角形的三邊關系：設腰長為m底邊長為4則2<〃.

2

1QAO_/A

5.等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為NA,底角為N8、NC,則/4=180。-2/8,ZB=ZC=---------------.

2

典例引領

S______r

典例1等腰三角形的一個內(nèi)角為70。，它的一腰上的高與底邊所夾的角的度數(shù)是

A.35。B.20°

C.35?；?0。D.無法確定

【答案】C

【解析】70。是頂角，它的一腰上的高與底邊所夾的角的度數(shù)是35。，70。是底角，頂角是40。，它的一腰上

的高與底邊所夾的角的度數(shù)是20。，故選C.

典例2如圖，等腰三角形4BC中，NB4G90。，在底邊8C上截取8D=AB,過。作。E_L8C交AC于E,

連接40,則圖中等腰三角形的個數(shù)是

【答案】D

【解析】三角形ABC是等腰三角形，且NB4c=90。，所以NB=NC=45。，又OE_L8C,所以N￡>EC=NC=45。,

所以△EDC是等腰三角形，BD=AB,所以△48。是等腰三角形，ZBAD=ZBDA,而/￡4。=90。-/m0,

N￡￡>A=90。-N8D4,所以NE4Z）;NEDA,所以△E4。是等腰三角形，因此圖中等腰三角形共4個，故選D.

【名師點睛】此題考查了等腰三角形的性質和判定以及三角形的內(nèi)角和定理：由已知的條件利用相關的性

質，求得各個角的度數(shù)是正確解題的關鍵.

變式拓展

1.等腰三角形的周長為15cm,其中一邊長為3cm.則該等腰三角形的腰長為

A.3cmB.6cmC.3cm或6cmD.3cm或9cm

考向二等腰三角形的判定

1.等接三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等

關系的重要依據(jù).

2.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形.

典例引領

典例3如圖，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC于。，石是上的一點，E尸〃A。交CA的延長線于立

求證：△從￡〃是等腰三角形.

【解析】???4B=AC,AD1BC,：.ZBAD=ZCAD.

又?：M/EF,：.ZF=ZCAD,NFEA=/BAD,

：?4FEA=4F,

???△AEF是等腰三角形.學一科網(wǎng)

變式拓展

2.已知在△ABC中，A3=5,BC=2,且4?的長為奇數(shù).

(1)求△ABC的周長；

：2)判斷△ABC的形狀.

考向三等邊三角形的性質

1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質.

2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸.

3.等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合.

典例引領

典例4如圖，AABC是等邊三角形，P為BC上一點，在AC上取一點。，AD=AP,且NAPD=70。,

NPAB的度數(shù)是

A.10°B.15°D.25°

【答案】C

【解析】AD=AP,所以NW2"因為乙/2”70。，所以

所以22虱4180J70。-70，=40，，因為N5NC=6(T,所以NRW3=6070，=201故選C.

變式拓展

3.如圖，四邊形ABCO是正方形，△PAD是等邊三角形，則NBPC等于

A.20°B.30°D.40°

考向四等邊三角形的判定

在等腰一:角形中，只要有一個角是60。，無論這個角是頂角還是底角，這個一角形就是等邊三角形.

典例引領

S____r

典例5下列推理中，錯誤的是

A.VZ4=/?=/C,?,.△ARC是等邊二角形

B.-：AB=ACf且NB=NC,二/XABC是等邊三角形

C.VZA=60°,ZB=60°,，/XABC是等邊三角形

D.'：AB=ACtZB=60°,二/XABC是等邊三角形

【答案】B

【解析】A,?.?N%Z5=NC,是等邊三角形，故正確；

B,條件重復且條件不足，故不正確；

C,VZX-60%N5=60"...NC=60:.??AJ3C是等邊三角形60。，故正確；

D,根據(jù)有一個角是60：的等腰三角形是等邊三角形可以得到，故正確.故選B.

變式拓展

4.如圖，已知OA=5,P是射線ON上的一個動點，NAO260。.當。尸=時，AAOP為等邊三

考向五直角三角形

在直角三角形中，30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半，這個性質常常用于計算三角形的邊長，也是證明

一邊：30。角所對的直角邊）等于另一邊：斜邊）的一半的重要依據(jù).當題目中己知的條件或結論傾向于該

性質時，我們可運用轉化思想，將線段或角轉化，構造直角三角形，從而將陌生的問題轉化為熟悉的問題.

典例引領

S________r

典例6如圖，在RlZ\ABC中，NC=90。，AO平分NB4c交8C于點。，若NB=30。，BD=6,則CO的長

為.

CD

【答案】3

【解析】???在RlZ\A8C中，ZC=90°,Z5=30°,AZMC=60°.又A。平分NBAC,???NB4D=NCAD=30°,

AZBAD=ZB=30o,：.AD=BD=6,：,CD=-AD=3,故答案為：3.

2

變式拓展

5.已知直角三角形的兩條邊分別是5和12,則斜邊上的中線的長度為.

考向六勾股定理

1.應用勾股定理時，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶。2+〃二夕時，斜邊只能是C.若力為斜邊，則關系

式是東+~斗2；若。為斜邊，則關系式是按+^=".

2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時必須進行分類討論，以免漏解.學一科網(wǎng)

典例引領

S________r

典例7下列幾組數(shù)：①6,8,10；②7,24,25；③9,12,15；@n2~\,2〃，n2+l（〃）（〃是大于1的整

數(shù)），其中是勾股數(shù)的有

A.1組B.2組C.3組D.42且

【答案】D

【解析】①???62+82=100=102,??.6、8、10是勾股數(shù)；②???72+242=252,Z.7,24,25是勾股數(shù)；@V92+122=152,

2

...9,12,15是勾股數(shù)；④（M-1）2+（2〃）2=（n2+1）2,.?.話t,2n,n+l（w）（〃是大于1的整數(shù)）

是勾股數(shù)，故選D.

【名師點睛】本題考查了勾股數(shù)的判斷，解題的關鍵是根據(jù)勾股數(shù)的定義分別對每一組數(shù)進行分析.

變式拓展

6.如圖，一圓柱高8cm,底面半徑為9cm,一只螞蟻從點A爬到點8處吃食，要爬行的最短路程是

71

A.12cmB.10cm

C.8cmD.6cm

聲點沖關*

1.三角形的三邊長a,b,。滿足為〃=(a+b)2-/,則此三角形是

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

2.如圖，在△ABC中，AB=4C,點。在4c上，KBD=BC=AD,則NA等于

A

BAC

A.30°B.40°

C.45°D.36°

3.下列長度的線段中，能構成直角三角形的一組是

A.5"，6B.6,7,8

C.12,25,27D.273.2石，472

4.如圖，在△A8C中，AB=ACfZB=30°,ADA.AB,交BC干點、D,AO=4,則BC的長為

5.已知△ABC的三邊分別是a、b、c,下列條件中不能判斷△ABC為直角三角形的是

A.涼+代小B.ZA+ZB=90°

C.a=3,W,c=5D.ZA：Z5：ZC=3：4：5

6.(浙江省寧波市鄲州區(qū)2017屆九年級4月學業(yè)模擬)如圖，等腰直角△4BC的中線AE,C尸相交于點

G,若斜邊AB的長為6,則AG長為

G

c8

A.3B.372C.V10D.V13

7.如圖，/XABC中，AB=AC=5fBC=6,點。在8C上，且AO平分N34C,則4。的長為

8.如圖，A、8兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且△ABC

是等腰三角形，則符合條件是點C共有

A.8個B9個

C.10個D11個

9.如圖，RlaABC中，ZB=90,AB=9,BC=6,,將△4BC折疊，使A點與8C的中點。重合，折痕為

MN,則線段AN的長等于

10.（浙江省余姚市2018屆九年級第六次聯(lián)考）已知B。是△ABC的中線，AC=6,且NAOB=45。，ZC=30°,

則AB=

A.瓜B.2上

C.372D.6

11.等腰三角形的一腰的中線把三角形的周長分成16cm和12cm,則等腰三角形的底邊長為

12.如圖，在等邊AABC中，點D為邊上的點，DE_LBC交A8于E,。憶LAC于憶則NE￡＞尸的度數(shù)

為

13.（浙江省嘉興市秀洲區(qū)高照實驗學校2018屆九年級中考能力測試四）如圖，在aABC中，NA8C=90°,

。是AC上一點，AD=AB.若NA=50。，則NOBC=

14.若一個等腰三角形的周長為26,

15.如圖，在AABC中，AB=AC,D、E分別是BC、AC上一點，且4￡）=AE，NEDC=12。，則

ZBAD=

16.如圖，已知△ABC是等邊三角形，點8,C,D,E在同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則NEFZ）二

17.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=7,點E是A。上的一個動點，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊,

當點4的對應點4恰好落在N8C。的平分線上時，C4的長為.

18.〔2018年浙江省溫州市鹿城區(qū)中考模擬）如圖，在AABC中，AB=AC，CO是NACB的平分線,

DE//BC,交4c于點E.

C1）求證：DE=CE.學科+網(wǎng)

：2）若NCDE=35。,求N4的度數(shù).

19.如圖，一架2.5m長的梯子斜立在豎直的墻上，此時梯足B距底端。為0.7m.

U）求。4的長度;

：2）如果梯子頂端下滑0.4米，則梯子將滑出多少米?

20.如圖，Z\48C是等邊三角形，點。、E分別在邊BC、AC上，AE=BD,連接?！?過點E作

交線段8C的延長線于點立

（1）求證：CE=CF；

：2）若BD=LCE,AB=9,求線段。尸的長.

2

21.已知：如圖，有人在岸上點。的地方，用繩子拉船靠岸，開始時，繩長C8=10米，CA1AB,且CA=6

米，拉動繩子將船從點8沿曲方向行駛到點。后，繩長8=6點米.

U）試判定△AC。的形狀，并說明理由;

；2）求船體移動距離BD的長度.

22.12018年浙江省溫州市蒼南縣中考數(shù)學一模）如圖，5x5的正方形網(wǎng)格中隱去了一些網(wǎng)格線，AB,CD

間的距離是2個單位，CD,EF間的距離是3個單位，格點。在CO上（網(wǎng)格線的交點叫格點）.請

分別在圖①、②中作格點三角形使得NPO890。，其中點尸在AB上，點。在E尸上，且它們

不全等.

23.:浙江省杭州市蕭山區(qū)2017年數(shù)學一模）如圖，在等邊△ABC中，線段4例為BC邊上的中線.動點

。在直線AW上時，以。。為一邊且在CD的下方作等邊△CDE,連接BE.

Cl）填空：ZACB=度;

：2）當點O在線段AM上（點。不運動到點A）時，試求出一的值.

直通中考

L/—

1.（2018?湖州）如圖，AD,CE分別是AABC的中線和角平分線.若A6=AC,/CAD=20。，則

NACE的度數(shù)是

A.20°

C.40°D.70°

2.（2018?紹興）等腰三角形A8C中，頂角A為40。，點尸在以A為圓心，BC長為半徑的圓上，且3P=

BA，則NP8C的度數(shù)為.

3.（201X?嘉興）已知.在△4NC中，AB=AC,。為4c的中點，DEA.AB,DFLBC.垂足分

別為點E,F,且DE=DF.求證：AA8C是等邊三角形.

4.（2018?杭州）閱讀下列題目的解題過程：

已知a、b、c為△"（：的三邊，且滿足層/-吠2=八以試判斷△ABC的形狀.

解：a2c2-b2c人"-鞏A

Ac2（c^-tr）=（tz2+/>2）（a2-b2>）,B

，走出+乩c

/.△ABC是直角三角形.

問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：：

C2）錯誤的原因為：；

：3）本題正確的結論為：.

5.（2018?紹興）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：

例1等腰三角形ABC中，ZA=110%求的度數(shù).（答案：35°）

例2等腰三角形A8C中，NA=40。，求N3的度數(shù).（答案：40。或70。或100。）

張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題：

變式等腰三角形ABC中，ZA=80°,求N8的度數(shù).

（1）請你解答以上的變式題.

（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，NA的度數(shù)不同，得到NB的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC

中，設NA=x。，當N8有三個不同的度數(shù)時，請你探索工的取值范圍.

￡參考答案

變式拓展

一

1.【答案】B

【解析】當3cm是底時，則腰長是(15-3)+2=6(cm),此時能夠組成三角形；當3cm是腰時，則底

是15-3x2=9(cm),此時3+3<9,不能組成三角形，應舍去，故選B.

2.【解析】(1)由題意得：5~2<AB<5+2,即：3<AB<lt

?；A8為奇數(shù)，，A8=5,

:.XABC的周長為5+5+2=12.

⑵-：AB=AC=5f

???△ABC是等腰三角形.

3.【答案】B

【蟀析】:四邊形T3CD是正方形，A21D是等邊三角形，

?.ABAP=NBAD+NPAB=90°+60°=150°.

\'PA=AD,AB=AD,：.PA=AB,

,乙郎=180：5。°=]5。,

一

?.4PBe=Z.4BC-"BP=90°-15°=75°,

同理：ZPCB=75°,；.Z5PC=180°-75°-75°=30°.

4.【答案】5

【解析】已知/AON=60。，當OP=O4=5時，根據(jù)有一個角為60。的等腰三角形為等邊三角形，可得△AOP

為等邊三角形.故答案為：5.

5.【答案】6或6.5

【解析】分兩種情況：①5和12是兩條直角邊，根據(jù)勾股定理求得斜邊為13,利用直角三角形斜邊的

中線等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線的長度為6.5；②5是直角邊，12為斜邊，利用直角三角形斜

邊的中線等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線的長度為6,故答案為：6或6.5.

6.【答案】B

【解析】如圖，底面圓周長為2口，底面半圓弧長為“，即半圓弧長為：-x27tx—=6(cm),展開得：

2兀

VfiC=8cm,AC=6cm,根據(jù)勾股定理得：4斤后二手=10(cm),故選B.

考點沖關

1.【答案】c

【解析】???原式可化為d+/=/，???此三角形是直角三角形，故選C.

2.【答案】D

【解析】?:AD=BD,：.ZA=ZABD,.\Z5DC=2Z4.

'：BD=BC,AZC=Z^DC=2ZA.*：AB=AC,AZ4BC=ZC=2ZA,

由三角形內(nèi)角和定理，得NA+2NA+2NA=180。，即/A=36。.故選D.

3.【答案】D

【解析】A、（^）-（74）:=（75）故不是直角三角形，此選項錯誤夕

B、6--7-=8-,故不是直角三角形，此選項錯誤；

C、12「25號2不，故不是直角三角形，此選項錯誤；

D、（2JJ）二C/二=（48）故是直角三角形，此選項正確，改選D.

4.【答案】C

【解析】???AB=AC,，NB=NC=30°,??工8_14￡>,...BO=2AZ）=2x4=8,NB+NAO8=90°,??.NAO8=60°,

VZADB=ZDAC+ZC=60°,AZDAC=30°,:?/DAC=/C,；?DC=AD=4,：.BC=BD+DC=S+4=12f故

選C.

5.【答案】D

【解析】A.。2=6+/,符合勾股定理的逆定理，能夠判定△ABC為直角三角形，不符合題意：

B.NA+NB=NC,此時NC是直角，能夠判定△ABC是直角三角形，不符合題意；

C.52=32+42,符合勾股定理的逆定理，能夠判定△ABC為直角三角形，不符合題意；

D.NA：N8：NC=3：4：5,那么NA=45。、NB=60。、ZC=75°,ZVIBC不是直角三角形.故選D.

6.【答案】C

【解析】根據(jù)等腰直角三角形的勾股定理可得：AC=BC=3五，根據(jù)中線的性質可知：CE二巫,在

2

Rt^ACE中，由勾股定理可得：AE=當叵，根據(jù)重心的性質可知AG：AE=2：3,則

2

AG=-AE=-x^^-=y/\O,故選C.

332

7.【答案】C

【解析】*：AB=AC=5,AO平分NB4C,806,：?BD=CD=3,ZADB=90°.:?AD='AB?_BD2=4.故

選C.

①點C以點A為標準，48為底邊，符合點。的有5個；②點。以點8為標準，A8為等腰三角形的一

條邊，符合點C的有4個.所以符合條件的點C共有9個.故選B.

9.【答案】A

【解析】設4V=x，由翻折的性質可知。心⑷V=X,則BN=9F???。是BC的中點，."￡>=4'6=3.在

2

222

RtABDN中,由勾股定理得:ND=NB2+BD2,即/=（9-x）+3,解得x=f,AN=5,故選A.

10.【答案】C

因為NAO8=45。，ZC=30°,所以DE=x,CE=幣x,則x+3=6,一解得x=3+3^,所以

2

AE=ADDE=3->3應=3-3應在中，由勾股定理得：A^J^+BE2=

22

J(3-j應產(chǎn)+(3+；啰)2:3叵,故選C.

唱=12

【解析】設等腰三角形的腰長是心底邊是丁，根據(jù)題意得<

—+y=16

2

解得〈,經(jīng)檢驗，均符合三角形的三邊關系.

y=12

因此三角形的底邊是空cm或12cm.故答案為：—cm或12cm.

33

12.【答案】60n

【解析】是等邊三角形，??,44=/3=60，，???萬1月。交.好于E,。尸1NC于尸，，/瓦沃

NAFA90M;/?即是ZkB工的夕卜角,Z-4￡Z>Z5-ZBD￡=603-90°-150s,.'.Z￡DF=360°-Z-4-

/WED-ZU尸>3600-600-150。-90，=60:故答案為：60s.

13.【答案】25

1800-50°

【解析】因為ND-N3,Z.4-505,所以乙W孫——^^=65、因為乙”(％90?,所以NDBO900-

一

65。-25。,故答案為：25.

14.【答案】10

【解析】①當6為腰長時，則腰長為6,底邊=26-6-6=14,因為14>6+6,所以不能構成三角形；

②當6為底邊時，則腰長=(26-6)+2=10,因為6-6vl(X6+6,所以能構成三角形，故腰長為10.故答

案為：10.

15.【答案】24。

【解析】???NADC是三角形4B。的外角，NAEO是三角形OEC的一個外角，NCDE=x0,

???ZADC=ZBAD+/B=ZADE+ZEDC，ZAED=/EDC+ZC，

N3+NB4D=NADK+%。，Z4￡D=ZC+x°,

VAB=AC,D、E分別在BC、4c上，AD=AE^/CDE=R

???ZB=NC，ZA￡>E=ZA￡D=ZC+20o，AZC+ZBAZ>=ZC+x°4-x°,

VZEDC=12°,AZ^AP=24°，故答案為：24。.

16.【答案】15

【解析】?二△48。是等邊二角形，，/ACR=60°,/ACD=120°.*：CG=CD,：.7CDG=30°,/FDE=150°,

":DF=DE,：.ZE=\50.故答案為：15.

17.【答案】3夜或4垃

【解析】如圖，過點4作4M_LBC于點M.

?:點A的對應點4恰落在NBCD的平分線上，N8C￡>=90。，???N4cM=45。，即AAMC是等腰宜角三

角形，

???設CM=A^M=x,則BM=l-x.又由折疊的性質知AB=AiB=5,二在直角AAiMB中，由勾股定理得

^1^=/1152-^=25-(7-x)2,.*.25-(7-x)2=^,解得xi=3,&=4,二?在等腰RtZ\4CM中，CA尸&4M,

???C4=3a或4a.故答案為：3收或4&.學_科網(wǎng)

18.【解析】(1)???CO是NACB的平分線，

:?/BCD=/ECD.

VDE〃BC,

:,NEDC=/BCD、

:.ZEDC=ZECD,

:.DE=CE.

⑵,:NECD=NEDC=35。,

:.ZACB=2/ECD=70。.

*：AB=AC,

：,ZABC=ZACB=70°t

:.ZA=180。-70。-70。=40。.

19.【解析】在直角△ABO中，已知48=2.5m,BO=0.1m,

則AO=J2.52-O.72=2.4m,

,：AO=AA,+OA,,???0/r=2m,

?:在直角△Ab。中，AB=A,B',且4B為斜邊，

:‘OR'=\.5m,

?WO夕-08=1.5m-0.7m=0.8m.

答：梯足向外移動了0.8m.

20.【解析】(1):△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,ZBAC=^ABC=ZACB=600,

?:AE=BD,.\AC-AE=BC-BDt

:?CE=CD,且NACB=60。，

???△CDE是等邊三角形，

:.NECD=NDEC=60°,

，：EFIDE,：.ZDEF=90°,

:.ZCEF=30°,

,:ZDCE=ZCEF+ZCFE=60°,

:.NCEF=NCFE=30。,

：.CE=CF.

⑵-：BD=-CE,CE=CD,

2

：.BD=-CD

2f

'：AB=9,；?BC=9,

:.BD=3,CD=6,

?:CE=CF=CD,

:.CF=6,

：.DF=DC+CF=\2.

21.【解析】(1)由題意可得：AC=6m.006&m,ZCA￡>=90°,

可得AD=Jcz)2_A'2=6(m),

故△ACO是等腰直角三角形.

⑵*：AC=6m,BC=10m,ZCAD=90°,

22

：.AB=yjBC-AC=8(m),

則30=45-40=8-6=2(m).

答：船體移動距離BO的長度為2m.

22.【解析】APOQ加圖所示：

23.【解析】(1);△ABC是等邊三角形，

:.ZACB=60°.

[2)???△ABC與△OEC都是等邊三角形，

：.AC=BCfCD=CE,

NACB=NDCE=60。,

:.NACD+NDCB=NDCB+NBCE,

:./ACD=/BCE,

在△AC。與△BCE中，AC=BC,ZACD=ZBCEtCD=CE,

:.△ACD9XBCE(SAS),

:.AD;BE,

AD

BE

直通中考

1.【答案】B

【解析】:人。是△ABC的中線，AB=AC,ZCAD=20Q,/.ZCAB=2ZCAD=40°,ZB=Z4CB=-(180°-

2

ZC4B)=70°.是△48C的角平分線，,NACE='/ACB=35。.故選B.

2

2.【答案】30?；?10。

【解析】如圖:分兩種情況進行討論.

1800-40°

易證尸空A^BC，???ZABPuNaACu皿。，ZABC=------------=70°,

2

.*.ZPBC=ZABP+ZABC=110°.

1800-40°

同理：AAB尸且△BAC,???NAB尸=N84C=40。，ZABC=------------=70°,

Z.ZPBC=ZABC-ZABP=30°,故答案為：30。或110。.

3.【解析】???45=AC,:.NB=NC.

DEIAB,DF_LBC,/.ZDE4=ZDFC=90°.

???D為的AC中點，：.DA=DC.

又,：DE=DF,：.RtAAED^RtACDF(HL),

AZA=ZC,

???NA=NB=NC,

???△ABC是等邊三角形.

4.【解析】(1)由題目中的解答步驟可得，

錯誤步驟的代號為：C,

故答案為：C；

(2)錯誤的原因為：沒有考慮。=6的情況，

故答案為：沒有考慮折匕的情況；

(3)本題正確的結論為：△ABC是等腰三角形或直角三角形，

故答案為：△48C是等腰三角形或直角三角形.

5.【解析】(1)當ZA為頂角，則NB=50。，

當NA為底角，若N8為頂角，則NB=20。，

若N8為底角，則N8=80。，

.??/5=50?；?0。或80。.

(2)分兩種情況：

贈904工<180時，Nd只能為頂角,

???乙3的度數(shù)只有一個.

的0<xv90時，

若為頂角，貝］/3=(國三三)。，

若N2為底角，則N5=x°或〃=(180-2月。，

當竺2mHi80-2x且空二且180-2XHX,即XH60時，

/一

N3有三個不同的度數(shù).

綜上①②，當0vx〈90且XH60,NB有三個不同的度數(shù).

考點15多邊形與平行四邊形

一、多邊形

i.多邊形的相關概念

(1)定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

(2)對角線：從〃邊形的一個頂點可以引(〃-3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(〃-2)個三角

形；〃邊形對角線條數(shù)為也二21.

2

2.多邊形的內(nèi)角和、外角和

(1)內(nèi)角和：〃邊形內(nèi)角和公式為5-2>180。；

(2)外角和：任意多邊形的外角和為360。.

3.正多邊形

(1)定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.

(2)正一邊形的每個內(nèi)角為(〃-2)，”,每一個外角為幽.

nn

(3)正〃邊形有〃條對稱軸.學■科網(wǎng)

(4)對于正〃邊形，當〃為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當〃為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱

圖形.

二、平行四邊形的性質

1.平行四邊形的定義

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“u”表示.

2.平行四邊形的性質

（1）邊：兩組對邊分別平行且相等.

（2）角：對角相等，鄰角互補.

（3）對角線：互相平分.

（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱.

3.注意：

利用平行四邊形的性質解題時一些常用到的結論和方法：

（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.

（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經(jīng)常需結合三角形全等來解題.

（3）過平行四動形對稱中心的仟一育線等分平行四i方形的面積及周長.

4.平行四邊形中的幾個解題模型

（1）如圖①，AE平分/孫。，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到aABE為等腰三角形，即

AB=BE.

（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中

兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△A。。也△C0RZX4OB也△C。。；

根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可得經(jīng)過對稱中心。的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角

形全等，如圖②△AOEgZiCOP.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.

（3）如圖③，已知點E為4。上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得SMELSMB什SKDE.

（4）如圖④，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得/?CO.

三、平行四邊形的判定

（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

很重點考向,

考向一多邊形

多邊形內(nèi)角和：〃邊形內(nèi)角和公式為（片2>180。；多邊形外角和：任意多邊形的外角和為360。：

正多邊形是各邊相等，各角也相等的多邊形.

典例引領

S________,

典例1一個多邊形的內(nèi)角和為900。，則這個多邊形是

A.六邊形B.七邊形

C.八邊形D.九邊形

【答案】B

【解析】設這個多邊形是〃邊形，根據(jù)題意得：（〃—2）480'=900",解得：〃=7,

則這個多邊形是七邊形.故選B.

典例2如果一個多邊形的每一個外角都是60。，那么這個多邊形是

A.四邊形B.五邊形

C.六邊形D.八邊形

【答案】C

【解析】多邊形外角和為360。，此多邊形外角個數(shù)為：360°-60°=6,所以此多邊形是六邊形.

故選C.

【名師點睛】計算正多邊形的邊數(shù)，可以用外角和除以每個外角的度數(shù)得到.

變式拓展

1.一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原多邊形的邊數(shù)是

A.17B.16C.15D.16或15或17

2.（2018?玉環(huán)市一模）如圖，正五邊形的一個頂點正好是正六邊形的中心，則N1的度數(shù)為

1

A.22°18°C.15°D.12°

考向二平行四邊形的性質

平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分.

平行四邊形的性質為我們證明線段平行或相等，角相等提供了新的理論依據(jù).

典例引領

S________r

典例3在U4BCO中，NA：NB：NC：的值可能是

A.3：4：3：4B.5：2：2：5

C.2：3：4：5D.3：3：4：4

【答案】A

【解析】???四邊形ABCO是平行四邊形，=NC,NB=/D,???在UA8CD中，NA：NB：NC：N。

的值可能是：3：4：3：4.故選A.

【名師點睛】本題考查了平行四邊形的性質.熟記平行四邊形的對角相等是解決問題的關鍵.

變式拓展

3.（2018?余姚市模擬）如圖，在。A8CO中，點石是OC邊上一點，連接AE、BE,若AE、BE分別是N

DAB、NCBA的角平分線，且48=4,則%BCO的周長為

A.10B.80C.5逐D.12

考向三平行四邊形的判定

平行四邊形的判定方法有五種，在選擇判定方法時應根據(jù)具體條件而定.對于平行四邊形的判定方法，

應從邊、角及對角線三個角度出發(fā)，而對于邊又應考慮邊的位置關系及數(shù)量關系兩方面.

典例引領

S________r

典例4（2017?臺州模擬）如圖，點E,F是L1ABCO對角線上兩點，在條件①。斤BF；②NAOE=NC8尸;

③A尸二CE；④NAEB=NUT＞中，添加一個條件，使四邊形DE8尸是平行四邊形，可添加的條件是

【答案】D

【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形,

①不能證明對角線互相平分，只有②③④可以，故選D.

變式拓展

4.小玲的爸爸在制作平行四邊形框架時，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條AC,8。的中點重疊，

并用釘子固定，則四邊形就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

D.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

亨點沖關火

1.下面四個圖形中，是多邊形的是

A.7B.10

C.35D.70

3.〃邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和增加

A.180°B.360°

C.(n-2)180o

七邊形的外角和等于

A.180°

C.540。

5.（2018?溫州一模）如圖，弘4。力的邊上一動點P從點C出發(fā)沿C-D-A運動至點A停止，運動的路程

計為x,乙鉆尸與辦8C。重疊部分面積計為），，其函數(shù)關系式如圖所示，則58C。中，8c邊上的高為

V/

24

CO412x

6.如圖所示，在UA8CO中，E,尸分別為48,OC的中點，連接DE,EF,FB,則圖中共有個平行

四邊形.

7.如圖，在UABC。中，AC,B。相交于點O,4B=10cm,4O=8cm,ACLBC,則。B=cm.

8.一個平行四邊形兩對角之和為116。，則相鄰的兩內(nèi)角分別是和.

9.在UABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AB=8cm,BC=6cm.的周長是18cm,則&4。。的

周長是.

10.（2018?下城區(qū)二模）在"BC中，ZABC,ZACB的平分線交于點P,若/BPC=110。，則乙仁

II.：2018?上虞區(qū)一模）如圖的七邊形4BCOEFG中，AB.EO的延長線相交于。點.若圖中/I、N2、

N3、N4的外角的角度和為220。，則NBO。的度數(shù)為.

A

12.（2018?柯橋區(qū)模擬）長度分別為3,4,5,7的四條線段首尾相接，相鄰兩線段的夾角可調(diào)整，則任意

兩端點的距離最大值為.

13.：2017?鄲州區(qū)一模）在△A8C中，點。，E分別在AB,AC上，且CO與BE相交于點凡已知

的面積為6,aBC尸的面積為9,ZkCEF的面積為6,則四邊形AOFE的面積為.

14.：2018?蕭山區(qū)二模）在平面直角坐標系x